Сербо, Хриплович. Квантовая механика

- ï 䨧¨ª (Œ.: • 㪠, 1972 . ‘. 208). •â			§ ¢¨á¨¬®áâì (í¬¯¨à¨ç¥-
᪨© § ª®- ƒ¥©£¥à {•¥â⮫ ) ¨¬¥¥â ¢¨¤
	B
lg T1=2 = A +	p		;
		E

£¤¥ A ¨ B | ª®-áâ -âë, á« ¡® § ¢¨áï騥 ®â § àï¤ ï¤à Z (¤«ï Z =

90¨§¢¥áâ-® A = −51; 94; B = 139; 4 Œí‚1=2, ¥á«¨ T1=2 ¢ ᥪã-¤ å). •®ª § âì, çâ® ¤«ï -ç áâ¨æ, ¤¢¨¦ãé¨åáï ¢ ¬®¤¥«ì-®¬ ¯®â¥-æ¨ -

«¥	8		¯à¨ r < a
U(r) =		0
	<	=r	¯à¨ r > a
	:

¨ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ E =a, ¤®«¦¥- ¢л¯®«-пвмбп § ª®- ƒ¥©£¥а {•¥вв®« , ¨ - ©в¨ ¢¨¤ ª®ндд¨ж¨¥-в®¢ A ¨ B ç¥à¥§ ¯ à ¬¥âàë § ¤ ç¨.

13.2. • ©â¨ ¯®«®¦¥-¨¥ ¨ è¨à¨-ã ª¢ §¨ã஢-¥© ¢ ¯®«¥

U(x) =	8	1		a)	¯à¨ x < 0
	<	G (x	−		¯à¨ x > 0 :
	:

‘¯¥æ¨ «ì-® ®¡á㤨âì á«ãç © ¬ «®¯à®-¨æ ¥¬®£® ¡ àì¥à G h2=(ma) (áà. á § ¤ 祩 4.56 ƒŠŠ).

x14. Œ®¬¥-â ¨¬¯ã«ìá

‘¤¢¨£ ¨ ¯®¢®à®â

‘¤¢¨£ - à ááâ®ï-¨¥ a ¨ ¯®¢®à®â -

㣮« = n, £¤¥ n | ¯à®¨§-

¢®«ì-ë© ä¨ªá¨à®¢ --ë© ¥¤¨-¨ç-ë© ¢¥ªâ®à, ¨¬¥îâ àï¤ ®¡é¨å ç¥àâ.

•ãáâì ¯à¨ â ª®¬ ¯®¢®à®â¥ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à r ¯¥à¥å®¤¨â ¢ r0.

(r)

‚ x11 ¡ë«® ¯®ª § -®, çâ® ®¯¥à â®à ᤢ¨£ , ®¯à¥¤¥«¥--ë© ª ª T^a

(r+a), á¢ï§ - á ®¯¥à â®à®¬ ¨¬¯ã«ìá

p^ á®®â-®è¥-¨¥¬ T^a = exp(ia^=h).

‘®¢¥àè¥--® - «®£¨ç-® ¬®¦-® ¯®ª § âì, çâ® ®¯¥à â®à ¯®¢®à®â ,

®¯à¥¤¥«¥--ë© ª ª R^ (r)

(r0), á¢ï§ - á ®¯¥à â®à®¬ ¬®¬¥-â

¨¬-

¯ã«ìá M^ = r p^ á®®â-®è¥-¨¥¬ R^ = exp(i M^=h).

) = ei

kz

p

^

=

i

(

=

2

‘®¡á⢥-- ï äã-ªæ¨ï ®¯¥à â®à pz

− h@=@z à ¢-

k z

¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᮡá⢥--®¬ã §- ç¥-¨î hk. А- «®£¨ç-®, ᮡá⢥--

- ï äã-ªæ¨ï ®¯¥à â®à M^z = −ih@=@'

, £¤¥ ' |ei §¨¬ãâ «ì-ë© ã£®«

¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨- â å, à ¢- m(') = A

m' ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â

ᮡá⢥--®¬ã §- ç¥-¨î hm. •

í⮬, ®¤- ª®,

- «®£¨ï ¬¥¦¤ã ᤢ¨-

£®¬ ¨ ¯®¢®à®â®¬ ª®-ç ¥âáï.

41

‘®¡á⢥-- ï äã-ªæ¨ï ®¯¥à â®à	p^z ®¯à¥¤¥«¥- -	¢á¥© ¯àאַ©,
−1 < z < +1, ᯥªâà ®¯¥à â®à ¨¬¯ã«ìá -¥¯à¥àë¢-ë©,			¥£® ᮡ-
á⢥--ë¥ äã-ªæ¨¨ -®à¬¨à®¢ -ë -	-äã-ªæ¨î: R−11	k(z)	k0 (z) dz =

(k − k0). ‘®¡á⢥-- ï äã-ªæ¨ï ®¯¥à â®à M^z ®¯à¥¤¥«¥- ¢ ®£à -¨-

ç¥--®© ®¡« áâ¨, 0 ' 2 , âॡ®¢ -¨¥ ®¤-®§- ç-®á⨠m('+2 ) =m(') ¯à¨¢®¤¨â ª ¤¨áªà¥â-®¬ã ᯥªâàã m = 0; 1; 2; : : :. Žàâ®-®à-

¬¨à®¢ -- ï á¨á⥬ ᮡá⢥--ëå äã-ªæ¨© ®¯¥à â®à M^z â ª®¢ :

	eim'			Z02 m0 (') m(') d' = mm0 :
m(') =	p		;		(14:1)
		2
„ «¥¥, à §«¨ç-ë¥ ª®¬¯®-¥-âë ®¯¥à â®à ¨¬¯ã«ìá ª®¬¬ãâ¨àãîâ
¤àã£ á ¤à㣮¬, ¯«®áª ï ¢®«-				k(r) = eikr=(2 )3=2 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©

ᮢ¬¥áâ-ãî ᮡá⢥--ãî äã-ªæ¨î ®¯¥à â®à®¢ p^x; p^y ¨ p^z . • ¯à®-

⨢, à §«¨ç-ë¥ ª®¬¯®-¥-âë ®¯¥à â®à ¬®¬¥-â ¨¬¯ã«ìá	-¥ ª®¬¬ã-
â¨àãîâ ¤àã£ á ¤à㣮¬. ‚¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥à-ë© ®¯¥à â®à
^
M
^l h = −ir r :
•¥âàã¤-® ¯®ª § âì, çâ®
[^lj ; l^k] = i"jksl^s; [^lj ;^l2] = 0 :	(14:2)

Žâáî¤ ¢¨¤-®, çâ® ¬®¦-® ¨áª âì ᮢ¬¥áâ-ë¥ á®¡á⢥--ë¥ äã-ªæ¨¨ ®¯¥à â®à®¢ l^x ¨ ^l2 ¨«¨ ®¯¥à â®à®¢ l^z ¨ ^l2:

^l2 m = m ; l^z m = m m :

(14:3)

‘¢®©á⢠ᮡá⢥--ëå äã-ªæ¨© ¨ ᮡá⢥--ëå §- ç¥-¨© ®¯¥à - â®à®¢ l^z ¨ ^l2, á«¥¤ãî騥 ¨§ ª®¬¬ãâ 樮--ëå á®®â-®è¥-¨©

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ^l = l^x i ^ly , ⮣¤

l^z l^ = l^			^lz 1 ;			(14:4)
	[^l ;^l2] = 0 ;					(14:5)
^l2 = ^+^	+ ^2	^ = ^ ^+			2 ^	(14 6)
l l−	lz	− lz		l−l	+ ^lz + lz :	:

‘®®â-®è¥-¨¥ (14.4) ¬¥¦¤ã ®¯¥à â®à®¬ ^lz ¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ^l+ ¨ ^l− - - «®£¨ç-® á®®â-®è¥-¨ï¬ (7.1) ¬¥¦¤ã ®¯¥à â®à®¬ H^ ¨ ¯®¢ëè î騬

42

a^+ ¨ ¯®-¨¦ î騬 a^ ®¯¥à â®à ¬¨ ¤«ï ®á樫«ïâ®à . •®í⮬㠮¯¥à - â®àë l^+ ¨ ^l− ¡ã¤ãâ ¨£à âì à®«ì ¯®¢ëè îé¨å ¨ ¯®-¨¦ îé¨å ®¯¥à - â®à®¢ ¤«ï á®áâ®ï-¨© á ®¯à¥¤¥«¥--ë¬ §- ç¥-¨¥¬ l^z . „¥©á⢨⥫ì-®, ¨§ (14.4{5) á«¥¤ã¥â

^l2 l^ m = ^l m ; l^z ^l m = (m 1) ^l m ;

â® ¥áâì

		l^ m = m m 1 :	(14:7)
2	^l2	i, â® ¯à¨ § ¤ --®¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ì-®¥
•®áª®«ìªã hl^z i h
§- ç¥-¨¥ m, ®¡®§- 稬 ¥£® mmax = l. Ÿá-®, çâ® ^l+			l = 0, ®âáî¤ á

ãç¥â®¬ (14.6) ¯®«ãç ¥¬

l−l	l =	^l2 − ^lz	− lz	l = − l	2	− l	l = 0
^ ^+		2	^

¨«¨

= l(l + 1) :

•à¨¬¥-ïï n à § ¯®-¨¦ î騩 ®¯¥à â®à l^− ª á®áâ®ï-¨î á - ¨¡®«ì- 訬 mmax = l, ¬ë ¯®«ã稬 (^l−)n l / l−n. “¢¥«¨ç¨¢ ï n, ¬ë ¯à¨- ¤¥¬ ª - ¨¬¥-ì襬㠧- ç¥-¨î mmin = −l, ¢ í⮬ á«ãç ¥ l − n = −l, â® ¥áâì

2l − 楫®¥ ç¨á«® :

(14:8)

• ©¤¥¬ ¬ âà¨ç-ë¥ í«¥¬¥-âë ®¯¥à â®à®¢ l^ . •ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì á®áâ®ï-¨¥ m á = l(l + 1) ª ª jlmi ¨ ãá।-¨¬ (14.6) ¯® í⮬ã á®- áâ®ï-¨î, ⮣¤

l(l +1) = hlmj^l+l^−jlmi+m2 −m = hlmjl^+jlm −1ihlm −1jl^−jlmi+m2 −m ;

â® ¥áâì

jhlmj^l+jlm − 1ij2 = l2 + l − m2 + m :

Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®

q

hlmj l^+ jlm − 1i = hlm − 1j l^− jlmi = (l + m)(l − m + 1) :

ˆ§¢«¥ª ï ª¢ ¤à â-ë© ª®à¥-ì, ¬ë ¢ë¡à «¨ ®¯à¥¤¥«¥--ë© (¯®«®- ¦¨â¥«ì-ë©) §- ª, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 䨪á¨à®¢ -¨î ä §®¢ëå á®®â- -®è¥-¨© ¬¥¦¤ã à §«¨ç-묨 á®áâ®ï-¨ï¬¨ jlmi á ¤ --ë¬ l.

•®«ãç¥--ë¥ ä®à¬ã«ë ®¯à¥¤¥«ïîâ â ª¦¥ ¨ ª®íää¨æ¨¥-âë C ¢ á®- ®â-®è¥-¨¨ (14.7)

q

l^+ jlmi = (l + m + 1)(l − m) jlm + 1i ;

43

q

l^− jlmi = (l + m)(l − m + 1) jlm − 1i : (14:9)

‚ § ª«îç¥-¨¥ í⮣® à §¤¥« 㪠¦¥¬, çâ® -¥âàã¤-® ¯à®¢¥à¨âì á«¥- ¤ãî騥 ®¡®¡é¥-¨¥ ª®¬¬ãâ 樮--ëå á®®â-®è¥-¨© (14.2):

[^lj; A^k ] = i"jksA^s; [^lj ; A^2] = 0 ;

(14:10)

£¤¥ A^ = r, ¨«¨ p^, ¨«¨ ^l ¨«¨ ¢¥ªâ®à- ï äã-ªæ¨ï ¢¨¤

A = r f1 + p^ f2 +^lf3 ; fj fj (r2 ; ^p2; r^p + pr)^ :

‘ä¥à¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨

„«ï ¯®«ãç¥-¨ï ª®-ªà¥â-®£® ¢¨¤ ᮡá⢥--ëå äã-ªæ¨© 㤮¡-® ¨á- ¯®«ì§®¢ âì áä¥à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨- âë, ¢ ª®â®àëå

!

^lz = −i@'@ ; ^l = e i' @@ + i ctg @'@ ;

^l2 =	2	1		@	sin	@	+
						@
	− 4sin @

	1 @2			3	:
	sin2 @'
				5

‘®¢¬¥áâ-ë¥ á®¡á⢥--ë¥ äã-ªæ¨¨ ®¯¥à â®à®¢ ^l2 ¨ l^z 㤮¡-® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ Ylm( ; ') = lm( ) m('), £¤¥ äã-ªæ¨ï m(') ®¯à¥¤¥«¥- ¢

(14.1) á m = 0; 1; 2; : : : ; l. „«ï - 宦¤¥-¨ï äã-ªæ¨¨ lm( ) ¬®¦- -® ¨á¯®«ì§®¢ âì â ª®© ¯à¨¥¬. “á«®¢¨¥ ^l+ Yll = 0 ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢-¥- -¨î

	d	−	l ctg !	ll ( ) = 0 ;
	d

®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬ Yll = const eil' sinl . •®á«¥¤®¢ ⥫ì-® ¯à¨¬¥-ïï ¯®- -¨¦ î騩 ®¯¥à â®à ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (14.9), ¯®«ã稬 áä¥à¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨

Y

( ; ') = (

1)m

2jmj v

2l + 1 (l − jmj)! P m(cos ) eim' ;

lm

−

u

l

4 (l +

m )!

+

u

t

j

j

£¤¥ Plm(x) | ¯à¨á®¥¤¨-¥--ë¥ ¯®«¨-®¬ë ‹¥¦ -¤à . ‘ä¥à¨ç¥áª¨¥ äã-ªæ¨¨ ®¡à §ãîâ ®àâ®-®à¬¨à®¢ -ãî á¨á⥬ã

Z

Yl0m0 Ylm d = ll0 mm0 :

Žâà ¦¥-¨¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â r ! −r ¢ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨- - â å ¢ë£«ï¤¨â â ª: r ! r, ! − , ' ! ' + . •à¨ í⮬

Ylm(−n) = (−1)l Ylm(n) :

44

•à¨¬¥àë

Y00 = v

Y10 = v

cos = v

1

;

3

3

nz ;

4

4

u

u

u

4

u

u

u

t

t

t

Y1 1 =

v

sin e i' =

v

3

3

(nx

iny) :

8

8

u

u

u

u

t

t

‚Ž••Ž‘›

14.1. ‚ á®áâ®ï-¨¨ ç áâ¨æë, § ¤ --®¬ ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¥© = A cos2 ', - ©â¨ ¢¥à®ïâ-®áâ¨ à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨© m ¯à®¥ªæ¨¨ ¬®-

¬¥-â -	®áì z ¨ hlzi. ’® ¦¥ ¤«ï = A ei' cos2 ':
14.2.	Ž¡á㤨âì ¢®¯à®á ® ⮬, ªã¤ - ¯à ¢«¥- ¢¥ªâ®à h j^lj i ¢

á®áâ®ï-¨ïå = Yll ¨ = p12 (Y11 + Y1−1): •®ª § âì, çâ® ¢ á®áâ®ï-¨¨ m á ®¯à¥¤¥«¥--®© ¯à®¥ªæ¨¥© ¬®¬¥-â m - ®áì z á।-¨¥ §- ç¥-¨ï

hlxi = hlyi = 0.

14.3. ˆáá«¥¤®¢ âì ª ç¥á⢥--® 㣫®¢®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¯«®â-®á⨠¢¥à®ïâ-®á⨠¤«ï á®áâ®ï-¨©, ®¯¨áë¢ ¥¬ëå áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ äã-ªæ¨ï- ¬¨ Yl;m=l ¨ Yl;m=0, áç¨â ï l 1.

14.4. “ª § âì, ¯à¨ ª ª¨å m ¨ m0 ¬®£ãâ ¡ëâì ®â«¨ç-ë ®â -ã«ï ¬ - âà¨ç-ë¥ í«¥¬¥-âë ¤¨¯®«ì-®£® hm0j xi jmi ¨ ª¢ ¤à㯮«ì-®£® hm0j xixj − (1=3) ijr2 jmi ¬®¬¥-⮢.

14.5. — áâ¨æ - 室¨âáï ¢ á®áâ®ï-¨¨ á ¬®¬¥-⮬ l = 1 ¨ ¥£® ¯à®- ¥ªæ¨¥© m (m = 0; 1) - ®áì z. • ©â¨ ¢¥à®ïâ-®á⨠W (m0; m) à §«¨ç-

-ëå §- ç¥-¨© ¯à®¥ªæ¨¨ ¬®¬¥-â m0 - ®áì z0, б®бв ¢«пойго г£®« б ®бмо z. • áᬮâà¥âì, ¢ ç áâ-®áâ¨, á«ãç ©, ª®£¤ ®áì z0 ¯¥à¯¥-¤¨- ªã«ïà- ®á¨ z (§ ¤ ç 3.24 ƒŠŠ).

x15. –¥-âà «ì-®¥ ¯®«¥

„«ï æ¥-âà «ì-®£® ¯®«ï 㤮¡-ë áä¥à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨- âë. “˜ ¢ -¨å ¨¬¥¥â ¢¨¤

2	h2	0	@2	+	2	@	1	+	h2^l2	+ U (r)3	(r; ; ') = E (r; ; ') :
									2mr2
4−	2m @ @r2				r @r A					5

45

…£® ¬®¦-® «¥£ª® ¯®«ãç¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ⮦¤¥á⢮

h2^l2	1		1
	= − [^p r]		[r p]^ = p^2 − (^p r)		(r p)^
r2		r2		r2

• §¤¥«ïï ¯¥à¥¬¥--ë¥ = R(r) Ylm( ; '); ¯®«ã稬 ¤«ï à ¤¨ «ì-®© äã-ªæ¨¨ ãà ¢-¥-¨¥

2	h2	0	@2	+	2	@	1	+ Uíä(r)3	Rl = El Rl ; Uíä = U(r) +	h2l(l + 1)	:
										2mr2
4−	2m @ @r2				r @r A			5

Žâ ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤-®© ¯® r ¬®¦-® ¨§¡ ¢¨âìáï § ¬¥-®© Rl = l=r. „«ï l (r) ¯®«ãç ¥¬ ®¡ëç-®¥ ®¤-®¬¥à-®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ˜à¥¤¨-£¥à

−2hm2 00l + Uíä(r) l = El l ;

-® á íä䥪⨢-ë¬ ¯®â¥-æ¨ «®¬ Uíä(r), § ¢¨áï騬 ®â l. ˆ§ ⮣®, çâ® Rl(r) ª®-¥ç-® ¢ -ã«¥, á«¥¤ã¥â l (0) = 0. “á«®¢¨¥ -®à¬¨à®¢ª¨ â ª®¢®:

Z 1 j l (r)j2 dr = 1 :

0

’¥à¬¨-®«®£¨ï. l = 0; 1; 2; 3; :::(s; p; d; f; : : :) | §¨¬ãâ «ì-®¥, m | ¬ £-¨â-®¥ ª¢ -â®¢ë¥ ç¨á« . • ¤¨ «ì-®¥ ª¢ -⮢®¥ ç¨á«® nr à ¢-ï- ¥âáï ç¨á«ã 㧫®¢ äã-ªæ¨¨ l(r) (ªà®¬¥ â®ç¥ª r = 0 ¨ r = 1).

•®¢¥¤¥-¨¥ ¯à¨ r ! 0. •ãáâì r2U (r) ! 0 ¯à¨ r ! 0, ⮣¤

à¥è¥-¨-

ﬨ ãà ¢-¥-¨ï

00 =

l(l + 1)

l

l

r2

á«ã¦ â

= arl+1

(â® ¥áâì R = arl)

¨

b

b

=

R

=

:

rl

l

l

l

(â® ¥áâì

l

rl+1 )

‚â®à®¥ à¥è¥-¨¥ á¨-£ã«ïà-® ¨ ¯®í⮬ã -¥ £®¤¨âáï. Žâ¬¥â¨¬, çâ®

(0) 6= 0 «¨èì ¤«ï l = 0.

•®¢¥¤¥-¨¥ ¯à¨ r ! 1. ‘ç¨â ï, çâ® ¯®«¥ ã¡ë¢ ¥â ¤®áâ â®ç-® ¡ë-

	áâà®, ¯®«ã稬
			00		−	2mE	;
				=		h2
	â ª çâ®		l				l
		8 e r	¨«¨	sin(kr + l ) ¯à¨ E > 0 ;
	l
		ikr
		/ < e−					¯à¨ E < 0 :
		:

46

‘¢®¡®¤-®¥ ¤¢¨¦¥-¨¥

•à¨ l = 0 à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï 00 + k2 = 0 á £à -¨ç-ë¬ ãá«®¢¨¥¬(0) = 0 á«ã¦¨â

k0(r) = A sin kr :

•®à¬¨à®¢ª

-

-äã-ªæ¨î \¯® èª «¥ k":

(k − k0) = Z01

A

Z01 ei(k+k0

)

r + e−i(k+k0

)

r − (k

! −k) dr =

k0 k dr = − 4

h

i

A2

Z 1

ei(k+k0

)

A2

= −

r dr + (k ! −k) = −

[2 (k + k0) − 2 (k − k0) ] ;

4

4

−1

®âáî¤

á«¥¤ã¥â

A = v

2

:

u

u

t

‚ ¨â®£¥

Œ®¦-® ¯®ª

v u

u

k0 = t 2 sin kr :

§ âì (á¬. ŠŒ x 33), çâ® ¯à¨ l > 0

kl (r) = rl l

1 d !l k0(r) =

+1

−r

k

dr

r

®âáî¤

v

8

(2l + 1)!!

kl(r)

2

!

u

>

(kr)l+1

>

l

u

<

t

sin kr

−

2

>

>

:

p krJl+1=2(kr) ;

¯à¨ r ! 0;

¯à¨ r ! 1 :

…᫨ ¯®«¥ ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ r ! 1 ¤®áâ â®ç-® ¡ëáâà®, â® ¯à¨ E > 0 ¨ ¡®«ìè¨å r ¤¢¨¦¥-¨¥ áâ -®¢¨âáï ᢮¡®¤-ë¬, ¯®í⮬ã

kl(r)	v						l + l		;
			2 sin kr
	u					−	!
	u						2
	t

§¤¥áì l | â ª - §ë¢ ¥¬ ï ä § à áá¥ï-¨ï.

‚Ž••Ž‘›

15.1.•®ª § âì, çâ® § ¤ ç 1 ¨§ x 33 ŠŒ ᢮¤¨âáï ª ¢®¯à®áã 5.1.

15.2.‡ ¤ ç 3 ¨§ ⮣® ¦¥ x 33.

15.3.‡ ¤ ç 4.20 ƒŠŠ. Š ª ¬¥-повбп §- з¥-¨п Enr l í-¥à£¥â¨ç¥- ᪨å ã஢-¥© ç áâ¨æë ¢ ¤¨áªà¥â-®¬ ᯥªâà¥:

47

) ¯à¨ 䨪á¨à®¢ --®¬ §- ç¥-¨¨ l á 㢥«¨ç¥-¨¥¬ nr ; ¡) ¯à¨ 䨪á¨à®¢ --®¬ §- ç¥-¨¨ nr á 㢥«¨ç¥-¨¥¬ l?

15.4.‡ ¤ ç 4.21 ƒŠŠ. „«ï ç áâ¨æë, - 室ï饩áï ¢ æ¥-âà «ì-®¬

¯®«¥, ) ¬®£ãâ «¨ ¡ëâì ¤¢ãªà â-® ¢ë஦¤¥--ë¥ ã஢-¨;

¡) ª ªãî ªà â-®áâì ¢ë஦¤¥-¨ï ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¯¥à¢ë© ¢®§¡ã¦¤¥--ë© ã஢¥-ì?

15.5.‡ ¤ ç¨ 4.23 ƒŠŠ ¨ 4.24 ƒŠŠ. • ©â¨ ã஢-¨ í-¥à£¨¨ ¨ -®à- ¬¨à®¢ --ë¥ ¢®«-®¢ë¥ äã-ªæ¨¨ áâ 樮- à-ëå á®áâ®ï-¨© áä¥à¨ç¥- ᪮£® ®á樫«ïâ®à U (r) = kr2=2, ¨á¯®«ì§ãï ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨- âë. Ž¯à¥¤¥«¨âì ªà â-®áâì ¢ë஦¤¥-¨ï ã஢-¥©.

•à®¨§¢¥á⨠ª« áá¨ä¨ª æ¨î ç¥âëà¥å -¨¦-¨å ã஢-¥© ®á樫«ïâ®-

௮ nr; l ¨ ç¥â-®áâ¨, ¨á室ï ⮫쪮 ¨§ ¨§¢¥áâ-®£® §- ç¥-¨ï ªà â- -®á⨠¢ë஦¤¥-¨ï ã஢-¥©.

Š ª ï ª®¬¡¨- æ¨ï ¢®«-®¢ëå äã-ªæ¨© n1n2n3 ®â¢¥ç ¥â á®áâ®ï-¨î ®á樫«ïâ®à á ¬®¬¥-⮬ l = 0 (¯à¨ N = n1 + n2 + n3 = 2)?

x16. А⮬ ¢®¤®à®¤

‡ ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¤¢¨¦¥-¨î ç áâ¨æë ¯à¨¢¥¤¥--®© ¬ ááë m = memp=(me+ mp) ¢ ¯®«¥ U = −e2=r, -¨¦¥ à áᬠâਢ ¥âáï ⮫쪮 á«ãç © E <

0 (á¢ï§ --ë¥ á®áâ®ï-¨ï). …áâ¥á⢥-- ï á¨á⥬ ¥¤¨-¨æ ¢ª«îç ¥â h; e; m. ˆ§ -¨å áâà®ïâáï ¥¤¨-¨æë

¤«¨-ë (¡®à®¢áª®© à ¤¨ãá)

aB = meh22 = 0; 53 10−8 ᬠ;

í-¥à£¨¨ (㤢®¥--ë© •¨¤¡¥à£)

E â = me4 = 27; 2 í‚ = 2 Ry ; h2

¢à¥¬¥-¨

t â = meh34 = 2; 4 10−17 á ;

᪮à®áâ¨

v â = eh2 = c ;

£¤¥

= e2 1 hc 137

48

e2 r

| â ª - §ë¢ ¥¬ ï ¯®áâ®ï-- ï â®-ª®© áâàãªâãàë. (• ©¤¨â¥ ¥¤¨-¨æë

¨¬¯ã«ìá , ᨫë, - ¯à殮--®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨ ¬ £-¨â-®£® ¯®- «¥©.) •¥à¥å®¤ï ª ¡¥§à §¬¥à-ë¬ ¢¥«¨ç¨- ¬ r0 = r=a¢, E0 = E=E â,

¯®«ã稬 “˜ ¢ ¢¨¤¥

d

2l

+ 22E0 + 2

l(l

2

3 l = 0:

2

−

+ 1

4

5

dr0

r0

r0

‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ èâà¨å¨ ®¯ã᪠¥¬.

e− r ¯à¨ r ! 1 (§¤¥áì

Œë §- ¥¬, çâ® l

rl+1 ¯à¨ r ! 0 ¨ l

= p

2

E). •®í⮬㠨饬 à¥è¥-¨¥ ¢ ¢¨¤¥

−

l = rl+1 e− r w(r) :

„«ï w(r) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢-¥-¨¥

rw00 + 2(l + 1 − r)w0 + 2(1 − − l)w = 0 :

…£® à¥è¥-¨¥ ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ w = P1s=0 asrs. •¥ªãàà¥-â-®¥ á®®â-®-

è¥-¨¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ â ª®¢®:

(s + l + 1) − 1 as+1 = 2(s + 1)(s + 2l + 2)as :

ˆ§ -¥£® ¯®«ãç ¥¬

2

as+1 ! s + 1as ¯à¨ s ! 1 :

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, as (2 )2=s! ¨, ¥á«¨ àï¤ -¥ ®¡®à¢ âì, ®- á室¨âáï ª w ¯à¨ r ! 1. —⮡ë l(r) ! 0 ¯à¨ r ! 1, -¥®¡å®¤¨¬® ®¡®à¢ âì àï¤ - -¥ª®â®à®¬ s = nr . •à¨ í⮬ (nr + l + 1) − 1 = 0 ¨ w(r) = Lnr (r) | ¯®«¨-®¬ á⥯¥-¨ nr , ¨¬¥î騩 nr 㧫®¢ (®- ᢮¤¨âáï ª ¯®«¨-®¬ã ‹ £¥àà ). ‚ ¨â®£¥,

E

=

−

1

;

= R

(r) Y

( ; ') ; R

= rl e−r=n L

(r) ;

2n2

n

nlm

lm

lm

nl

nr

n = nr + l + 1 = 1; 2; 3; : : : ;

nr = 0; 1; 2; : : : ;

l = 0; 1; : : : ; n − 1 :

Šã«®-®¢áª®¥ ¢ë஦¤¥-¨¥. “஢-î En á ¤ --ë¬ £« ¢-ë¬ ª¢ -- â®¢ë¬ ç¨á«®¬ n ᮮ⢥âáâ¢ã¥â

n−1

X

(2l + 1) = n2

l=0

49

à §«¨ç-ëå á®áâ®ï-¨© (à §«¨ç-ëå ¢®«-®¢ëå äã-ªæ¨©).

‘®áâ®ï-¨ï á l = n − 1. „«ï -¨å nr = 0 ¨ Lnr (r) | ¯à®áâ® ª®-- áâ -â , ª®â®àãî «¥£ª® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§ ãá«®¢¨ï -®à¬¨à®¢ª¨, ¨á¯®«ì-

§ãï ¨§¢¥áâ-ë© ¨-â¥£à «

Z01 xne− x dx =

n!

:

n+1

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã稬

−r=nv

R

1 = rn−1

e

1

2

2n+1:

(16:1)

n;n

−

u

(2n)! n

!

u

u

t

Žâáî¤

- ©¤¥¬, çâ® ¢ ¤ --®¬ á®áâ®ï-¨¨

2 1+ 1 :

r

= n n + 1!

;

r =

h i

2

r

p

n

“ ®á-®¢-®£® 1s á®áâ®ï-¨ï

h i

3

r

1

hri = 2 ;

= p

60% :

r

h

i

3

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, §¤¥áì -¥â á室áâ¢

á ¬®¤¥«ìî •®à , ¤«ï ª®â®à®©

hri = 1;

r = 0 (-¥ £®¢®àï 㦥 ® ⮬, çâ® ¢ 1s á®áâ®ï-¨¥ ¬®¬¥-â

M = 0,

¢ ¬®¤¥«¨ •®à ¢ ®á-®¢-®¬ á®áâ®ï-¨¨ M = h).

•à¨ l = m = n − 1 1, - ¯à®â¨¢, ª¢ -⮢ ï ¬¥å -¨ª ¤ ¥â ®â- ¢¥â, ¡«¨§ª¨© ª ¡®à®¢áª®© ¬®¤¥«¨. А ¨¬¥--®, á।-¨© àp¤¨ãá ¢¥«¨ª:

hri n2, ®â-®á¨â¥«ì- ï ¤¨á¯¥àá¨ï ¬ « : r=hri 1= 2n, ¢ 㣫®- ¢®¬ à á¯à¥¤¥«¥-¨¨ jYn−1;n−1j2 / sin2n−2 ¢¥à®ïâ-®áâì - ©â¨ í«¥ª- âà®- ᪮-æ¥-âà¨à®¢ - ¢ 㧪®¬ ¨-â¥à¢ «¥ 㣫®¢ ¢¡«¨§¨ = =2, çâ®

®ç¥-ì ¯®å®¦¥ - ª« áá¨ç¥áªãî âà ¥ªâ®à¨î ¢ ä®à¬¥ ®ªàã¦-®á⨠à - ¤¨ãá n2 ¢ ¯«®áª®á⨠xy.

•¥à¢ë© ¢®§¡ã¦¤¥--ë© ã஢¥-ì n = 2. ‚®«-®¢ ï äã-ªæ¨ï á®áâ®ï- -¨ï 2p á l = 1 (á¬. (16.1))

R21 = pr e−r=2

24

-¥ ¨¬¥¥â 㧫®¢. „«ï 2s á®áâ®ï-¨ï ४ãàà¥-â-®¥ á®®â-®è¥-¨¥ ¤ ¥â

a1 = −	1	0						p2 , ¨â®£®
	2 a , ãá«®¢¨¥ -®à¬¨à®¢ª¨ a
							0 = 1
		R20 =	1			1		1 r! e−r=2 ;
			p2				−	2

50