Сербо, Хриплович. Квантовая механика

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22.1.	‚ëç¨á«¨âì á¥ç¥-¨¥ à áá¥ï-¨ï ¬¥¤«¥--ëå ç áâ¨æ ¢ ¯®«¥
U(r) =	−G (r − a) ¢ ãá«®¢¨ïå १®- -á ¢ s-¢®«-¥ (§ ¤ ç 13.34
ƒŠŠ).

22.2. • ©â¨ á¥ç¥-¨¥ à áá¥ï-¨ï ¬¥¤«¥--ëå ç áâ¨æ ¢ á«ãç ¥:

)áä¥à¨ç¥áª®© ¯àאַ㣮«ì-®© ¯®â¥-æ¨ «ì-®© ï¬ë (¢ª«îç ï ¨

१®- -á-®¥ à áá¥ï-¨¥ | á¬. § ¤ çã 13.35 ƒŠŠ);

¡) áä¥à¨ç¥áª®£® ¯àאַ㣮«ì-®£® ¯®â¥-æ¨ «ì-®£® ¡ àì¥à .

22.3. • ©â¨ ä §®¢ë¥ ᤢ¨£¨ l(k) ¢ ¯®«¥ U (r) = =r2, > 0. ‚ë- ¯®«-¨âì á㬬¨à®¢ -¨¥ àï¤ , ¯à¥¤áâ ¢«ïî饣® à §«®¦¥-¨¥ ¬¯«¨- âã¤ë ¯® ¯ àæ¨ «ì-ë¬ ¢®«- ¬, ¢ á«ãç ¥ m =h2 1 ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì- -ëå 㣫 å à áá¥ï-¨ï. • ©â¨ d =d ¨ ( § ¤ ç 13.29 ƒŠŠ). ‘à ¢- -¨âì á ª« áá¨ç¥áª¨¬ à áá¥ï-¨¥¬ - ¬ «ë¥ 㣫ë.

22.4. Š ª ¢¥¤¥â ᥡï á¥ç¥-¨¥ -¥ã¯à㣮£® à áá¥ï-¨ï ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¬ - «ëå ᪮à®á⥩?

x23. ƒ ©§¥-¡¥à£®¢áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

‚ ®¡ëç-®¬ (è।¨-£¥à®¢áª®¬) ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ ®¯¥à â®àë r ¨ p^ = −ihr -¥ § ¢¨áïâ ®â t, ®¯¥à â®à 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨-ë A^(r; p^; t) ¬®- ¦¥â § ¢¨á¥âì ®â t «¨èì ç áâ-ë¬ ®¡à §®¬. ‡ ¢¨á¨¬®áâì á।-¥£® §- - ç¥-¨ï í⮩ ¢¥«¨ç¨-ë ®â ¢à¥¬¥-¨

Z

hA(t)i = (r; t) A^ (r; t) d3r = h (t)j A^ j (t)i ;

á¢ï§ - ¢ ®á-®¢-®¬ á ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¥© (r; t), ª®â®à ï 㤮¢«¥â¢®-

àï¥â “˜

ih@t@ (r; t) = H^ (r; t) :

•à¥¤áâ ¢¨¬ ¢®«-®¢ãî äã-ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥

X	n(r) = U^(t) (r; 0); U^(t) = e−iHt=^ h
(r; t) = an e−iEnt=h
n

¨«¨

j (t)i = U^(t) j (0)i :

’®£¤ á।-¥¥ §- ç¥-¨¥ hA(t)i ¬®¦-® § ¯¨á âì â ª:

hA(t)i = h (0)j A^H (t) j (0)i ;

71

£¤¥

A^H (t) = U^−1(t) A^ U^ (t)

| íâ® ®¯¥à â®à ¢ £ ©§¥-¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥-¨ ¢ £ ©§¥-¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ ¯¥à¥-¥- á¥- á ¢®«-®¢ëå äã-ªæ¨© - ®¯¥à â®àë. •à¨ í⮬

−1 ^

H^H = U^ HU^ = H^ :

‹¥£ª® ¯®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥-¨¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤-®© ¯® ¢à¥¬¥-¨ ®â ®¯¥-

àâ®à ¢ £ ©§¥-¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨:

dA^		i		@A^
H	=		hH;^ A^H i +	H	:
dt		h		@t

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23.1. ‡ ¤ ç¨ 7.29-7.31 ƒŠŠ. • ©â¨ ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨- âë ¨ ¨¬- ¯ã«ìá ¢ £ ©§¥-¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨ ¤«ï «¨-¥©-®£® £ ମ-¨- ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à .

‡ ¤ ç㠯।« £ ¥âáï à¥è¨âì ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨:

) ¨á¯®«ì§ãï ã-¨â à-®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥, á¢ï§ë¢ î饥 ®¯¥à â®- àë 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨- ¢ £ ©§¥-¡¥à£®¢áª®¬ ¨ è।¨-£¥à®¢áª®¬ ¯à¥¤- áâ ¢«¥-¨ïå;

¡) -¥¯®á।á⢥--ë¬ à¥è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨© ¤¢¨¦¥-¨ï ¤«ï £ ©§¥--

¡¥à£®¢áª¨å ®¯¥à â®à®¢.

23.2.‡ ¤ ç¨ 7.34 ƒŠŠ. • ©â¨ §- ç¥-¨¥ \à §-®¢à¥¬¥--®£®" ª®¬- ¬ãâ â®à ¨¬¯ã«ìá ¨ ª®®à¤¨- âë [^p(t); x^(t0)] ¤«ï: ) ᢮¡®¤-®© ç -

áâ¨æë; ¡) ç áâ¨æë ¢ ®¤-®à®¤-®¬ ¯®«¥; ¢) «¨-¥©-®£® ®á樫«ïâ®à .

23.3.‡ ¤ ç 7.36 ƒŠŠ. ˆá¯®«ì§ãï ¢¨¤ £ ©§¥-¡¥à£®¢áª¨å ®¯¥à â®-

஢ p^(t), x^(t), - ©â¨ § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥-¨ á«¥¤ãîé¨å á।-¨å:

h x(t) i; h p(t) i; h ( x(t))2 i; h ( p(t))2 i

¤«ï «¨-¥©-®£® ®á樫«ïâ®à ¢ á®áâ®ï-¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®¬ ¢®«-®¢®© äã-ª- 樥© ¢¨¤

	(x) = A exp	2	ip0x	−	(x − x0)2	3	:
			h
		4			2a2	5

72

x24. Ž¯ëâ ˜â¥à- {ƒ¥à« å . ‘¯¨-

‚ ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¬ £-¨â-ë© ¬®¬¥-â ⮬

				c X		e r
			= 1						v
				2	a	a a			a
®¡ãá«®¢«¥- ¢ ®á-®¢-®¬ ¤¢¨¦¥-¨¥¬ í«¥ªâà®-®¢
						jej	M ;
¨¬®¤¥©á⢨P				−2mec
		¥ -¥©âà «ì-®£® ⮬				á® ¢-¥è-¨¬ ¬ £-¨â-ë¬ ¯®«¥¬ B
£¤¥ M =	e re		pe { ®à¡¨â «ì-ë© ¬®¬¥-â ¨¬¯ã«ìá í«¥ªâà®-®¢. ‚§ -

®¯¨áë¢ ¥âáï ¤®¡ ¢ª®©

V = − B

ª äã-ªæ¨¨ ƒ ¬¨«ìâ®- . ‚® ¢-¥è-¥¬ -¥®¤-®à®¤-®¬ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ - â ª®© ⮬ ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ

F= −rV = ( r)B :

‚®¯ëâ å ˜â¥à- ¨ ƒ¥à« å (1921 £.) -¥©âà «ì-ë© â®¬ ¯à®«¥â «

ç¥à¥§ ¯®¯¥à¥ç-®¥ -¥®¤-®à®¤-®¥ ¬ £-¨â-®¥ ¯®«¥. ‚ ª« áá¨ç¥áª®©

í«¥ªâத¨- ¬¨ª¥ á।-ïï ¤¥©áâ¢ãîé ï - ⮬ ᨫ Fz = z@Bz=@z ¬®¦¥â ¯à¨-¨¬ âì «î¡ë¥ §- ç¥-¨ï ¨§ ¨-â¥à¢ « − j@Bz=@tj Fz + j@Bz=@zj, çâ® ¯à¨¢®¤¨«® ¡ë «¨èì ª à §¬ëâ¨î - ¯« áâ¨-ª¥ «¨- -¨¨, ¢¤®«ì ª®â®à®© ®á ¦¤ «¨áì ¯à®«¥â¥¢è¨¥ ⮬ë.

‚ ª¢ -⮢®© ¬¥å -¨ª¥ M^ = hL^ ¨ ¯®â®¬ã ®¯¥à â®à

jejh

^L = − BL^ ; £¤¥ B = 2mec

|¬ £-¥â®- •®à .

‚¥«¨ç¨- ^z = − BL^z ¯à¨-¨¬ ¥â ¤¨áªà¥â-ë© àï¤ §- ç¥-¨©

− Bl; B(l − 1); ::: ; + Bl ;

çâ® ¤®«¦-® ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®ï¢«¥-¨î - ¯« áâ¨-ª¥ 2l + 1 ¯®«®á. Ž¯ëâ ç áâ¨ç-® ¯®¤â¢¥à¤¨« íâ® ¯à¥¤áª § -¨¥, -® ¤«ï ¢®¤®à®¤ ¨ á¥à¥¡à

-	¯« áâ¨-ª¥ ®ª § «®áì ¤¢¥ ¯®«®áë, çâ® ä®à¬ «ì-® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â
à	¢¥-áâ¢ã 2l + 1 = 2, â® ¥áâì l = 1=2.

73

ƒ¨¯®â¥§ “«¥-¡¥ª ¨ ƒ ã¤á¬¨â (1925 £.): í«¥ªâà®- ¨¬¥¥â ᮡ- á⢥--ë© (-¥ á¢ï§ --ë© á ¢à é¥-¨¥¬ ¢®ªà㣠ï¤à ) ¬®¬¥-â ¨¬¯ã«ì- á ¨«¨ ᯨ- h^s, ¯à¨ç¥¬ s^z ¨¬¥¥â ᮡá⢥--ë¥ §- ç¥-¨ï 1=2. ‘«¥- ¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¬¥å -¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì í«¥ªâà®- : è ਪ à ¤¨ã-

á re = e2=(mec2) ¢à é	¥âáï ¢®ªà㣠᢮¥© ®á¨, -¥á®áâ®ï⥫ì- , â ª
ª ª ¬®¬¥-âã ¨¬¯ã«ìá	h=2 merev ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᪮à®áâì ¢à é¥-

-¨ï v h=(mere ) hc2=e2 137 c !

Š®¬¬гв ж¨®--л¥ б®®в-®и¥-¨п (14.2) ¤«п ª®¬¯®-¥-в ®а¡¨в «м- -®£® ¬®¬¥-в ®¯а¥¤¥«повбп «¨им ®¡й¨¬¨ б¢®©бв¢ ¬¨ ®¯¥а ж¨¨ ¯®- ¢®а®в , ¯®нв®¬г ¯®«гз¥--л¥ ¢ x 14 ®¡é¨¥ ä®à¬ã«ë á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¨ ¤«ï ᯨ- .

‚ ç áâ-®áâ¨,

		[^sm; s^n] = i"mnks^k ;
®âªã¤		á«¥¤ã¥â, çâ® [^sz; s^2] = 0 ¨ ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ãîâ ᮢ¬¥áâ-ë¥
ᮡá⢥--ë¥ äã-ªæ¨¨ s^2 ¨ s^z :
		3							1
s^2 js; mi = s(s+1) js; mi = 4 js; mi; s^z js; mi = m js; mi; m = s =									2 :
‚¢¥¤¥¬ ªà ⪨¥ ®¡®§- ç¥-¨ï js				= 1	= 1	= +	js	= 1	=
				2 ; m	2 i	j i,		2; m
1	=	j−i. ‹î¡®¥ ᯨ-®¢®¥ á®áâ®ï-¨¥ j i ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
−2i
		j i = a1j+i + a2j−i ;						(24:1)
¯à¨ç¥¬ ja1j2 + ja2j2 = 1.
		1 +
ˆ§ s^z j+i = 2 j i á«¥¤ã¥â
		1		h−js^zj+i = 0 ;
		h+js^zj+i = 2	;
- «®£¨ç-®,					1
		h+js^zj−i = 0;
			h−js^zj−i = −2			:

• ¡®à ¬ âà¨ç-ëå í«¥¬¥-⮢ hs; m0j s^z js; mi 㤮¡-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¬ âà¨æë

0 h+js^zj+i;	h+js^z j−i	1	= 1	0	1	0	1	:
@ h−js^zj+i;	h−js^z j−i	A	2	@	0	−1	A

„«ï ®¯¥à â®à®¢ l^ = ^lx il^y ¬ë ¢ë¢®¤¨«¨ á®®â-®è¥-¨¥

q

l^ jl; mi = (l m)(l m + 1) jl; m 1i :

74

•®¤®¡-ë¬ ¦¥ ®¡à §®¬ ¯®«ã稬 s^+ j+i = 0; s^+ j−i = j+i, â® ¥áâì

	s^+ =		0	0		1	1	; s^ = (^s+)+ =				0	0	0		1 ;
			@	0		0	A			−		@	1	0		A
s^x =	s^+ + s^−	=		1	0	0		1	1	; s^y =	s^+ − s^−		=		1	0 0 −i 1		:
2				2 @		1		0	A		2i				2 @ i 0		A

„¥©á⢨¥ «î¡®£® ®¯¥à â®à s^m - ¯à®¨§¢®«ì-®¥ á®áâ®ï-¨¥ (24.1) ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á -®, ª ª ¤¥©á⢨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 í⮬㠮¯¥à â®- àã ¬ âà¨æë - ᯨ-®à

01

a1	A :
= @ a2

x25. Œ âà¨æë • 㫨. “à ¢-¥-¨¥ • 㫨

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬ âà¨æë • 㫨 x; y; z á®®â-®è¥-¨¥¬ ^s = 1 , ⮣¤
											2
x = 0	0	1	1 ; y =	0 0 −i 1		; z =	0	1	0	1	:
@	1	0	A	@ i 0	A		@	0	−1	A
ˆå ᢮©á⢠:
m n = I mn + i"mnk k; Sp m = 0;							Sp I = 2 :
‹î¡ãî ª¢ ¤à â-ãî 2 2 ¬ âà¨æã A ¬®¦-® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
A = a0 I + a ; a0 = 1 Sp A; a = 1 Sp (A ):
				2		2

Œ £-¨â-ë© ¬®¬¥-â § à殮--®© ç áâ¨æë, ®¡ãá«®¢«¥--ë© ¥¥ ®à- ¡¨â «ì-ë¬ ¤¢¨¦¥-¨¥¬, ^l á¢ï§ - á ¥¥ ®à¡¨â «ì-ë¬ ¬®¬¥-⮬ ^l á®- ®â-®è¥-¨¥¬

^

=

eh

^l:

l

2mc

‘¢ï§ì ¦¥ ᮡá⢥--®£® ¬®¬¥-â

ç áâ¨æë ^s á ¥¥ ᯨ-®¬ ^s, ª ª ¯®-

ª §ë¢ ¥â ®¯ëâ, § ¢¨á¨â ®â ¢¨¤

ç áâ¨æë

^

=

−

1; 001 159 625 B 2^s

−

B 2^s;

B =

jejh

;

e

2mec

^

p

= 2; 79 ï 2^s; ^

n

=

−

1; 91 ï 2^s;

ï =

jejh

:

2mpc

75

‘ ãç¥â®¬ ¬ £-¨â-®£® ¬®¬¥-â

ãà ¢-¥-¨¥ ¤«ï ¤¢¨¦¥-¨ï ç áâ¨æë

¢ í«¥ªâ஬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ ¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤ (• 㫨, 1927 £.)

ih

@

= H^ ;

H^ =

1

p^

e

A!2

+ e'

−

^sB ;

(25:1)

@t

2

m

− c

¢ ª®â®à®¬ ¢®«-®¢ ï äã-ªæ¨ï | ¤¢ã媮¬¯®-¥-â-ë© á¯¨-®à

=

0 1(r; t) 1

;

ãá«®¢¨¥ -®à¬¨à®¢ª¨ â ª®¢®:

@ 2(r; t) A

Z

j 1j2 + j 2j2 d3r = 1 :

“à ¢-¥-¨¥ ¤¢¨¦¥-¨ï ᯨ-

í«¥ªâà®-

¢ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥

d^s

i

2 B

hH;^ ^si =

1

=

^e B −

^s B :

dt

h

h

h

‚ á«ãç ¥ ª¢ §¨ª« áá¨ç-®á⨠¤¢¨¦¥-¨ï í«¥ªâà®- , ãá।-ïï íâ® ãà ¢¥-¨¥ ¯® ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ã ¢®«-®¢®¬ã ¯ ª¥âã, ¯®«ã稬 ¤«ï á।-

-¨å §- ç¥-¨©

ddts mce s B :

А- «®£¨ç-®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¤«ï ᪮à®áâ¨ í«¥ªâà®- ¨¬¥¥â å®à®è® ¨§-

¢¥áâ-ë© ¢¨¤

ddtv = mce v B :

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ B ª ª ¢¥ªâ®à ᪮à®áâ¨, â ª ¨ ¢¥ª- â®à ᯨ- í«¥ªâà®- ¯à®æ¥áá¨àãîâ ¢®ªà㣠- ¯à ¢«¥-¨ï ¬ £-¨â-®£® ¯®«ï B á ®¤-®© ¨ ⮩ ¦¥ (横«®âà®--®©) ç áâ®â®©

eB !c = −mc :

•®í⮬㠯஥ªæ¨ï ᯨ- - - ¯à ¢«¥-¨¥ v ®áâ ¥âáï -¥¨§¬¥--®© (ãç¥â ¬ «®£® ®â«¨ç¨ï ^e ®â −2 B^s ¯à¨¢®¤¨â ª -¥¡®«ì讬ã à áᮣ« ᮢ - -¨î íâ¨å ᪮à®á⥩).

•®ª ¦¨â¥, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â-®è¥-¨¥

H^ =

1

p^

e

A!2

+ e'

−

eh

B =

1

p^

e

A!!2

+ e' : (25:2)

2

2

2

m

− c

mc

m

− c

(Ž-® ®ª ¦¥âáï ¯®«¥§-ë¬ ¢ ¤ «ì-¥©è¥¬.)

76

x26. ‘«®¦¥-¨¥ ¬®¬¥-⮢

• áᬮâਬ ¤¢¥ ¯®¤á¨á⥬ë á § ¤ --묨 ¬®¬¥-â ¬¨ j1 ¨ j2. ‘ã¬-

¬ à-ë© ¬®¬¥-â ^j = ^j1 + ^j2, ¢¥«¨ç¨-		¥£® j ¬®¦¥â ¯à¨-¨¬ âì à §«¨ç-
-ë¥ §- ç¥-¨ï. •à¨¬¥àë: á¨á⥬	¯à®â®- ¨ -¥©âà®- ¢ s-á®áâ®ï-¨¨
(¯à¨ í⮬ j1 = s1 = 1=2, j2 =	s2	= 1=2, ^j = ^s1 + ^s2 | ¯®«-ë©

ᯨ- á¨á⥬ë); ®à¡¨â «ì-ë© ¨ ᯨ-®¢ë© ¬®¬¥-â í«¥ªâà®- ¢ â®- ¬¥ (j1 = l; j2 = s = 1=2; ^j = ^l +^s) ¨ â.¤. ‘®áâ®ï-¨¥ ¯®¤®¡-®© á¨á⥬ë

¬®¦-® ®¯¨á âì ¤¢ã¬ï à §«¨ç-묨 ᯮᮡ ¬¨:
	1) • ¡®à®¬ ᮡá⢥--ëå äã-ªæ¨© ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å ®¯¥à â®à®¢
^j2	; ^j1	z	; ^j22; ^j2	z	á ᮡá⢥--묨 §- ç¥-¨ï¬¨ j1(j1 + 1); m1; j2(j2 + 1); m2:
1

m1m2 = jj1m1i jj2m2i ;

¨¬¥¥âáï ¢á¥£® N = (2j1 + 1)(2j2 + 1) â ª¨å äã-ªæ¨©.

2) • ¡®à®¬ ᮡá⢥--ëå äã-ªæ¨© ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å ®¯¥à â®à®¢

^j2; j^z; ^j21; ^j22 á ᮡá⢥--묨 §- ç¥-¨ï¬¨ j(j+1); m; j1(j1+1); j2(j2 +1):

jm = jjmj1j2i :

•à¨ ª ¦¤®¬ j

¨¬¥¥âáï 2j + 1 à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨© m

= −j; −j +

1; ::: ; j, ¯®í⮬ã ç¨á«® â ª¨å äã-ªæ¨© (à

¢-®¥, ª®-¥ç-®, N ) ¥áâì

j1 ¨ jP§- ç¥-¨ïå j.

N =

j (2j + 1), £¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¯à¨ ¤ --ëå

2

”ã-ªæ¨¨ m1m2

¨ jm ¤®«¦-ë ¡ëâì á- ¡¦¥-ë â ª¦¥ ¨-¤¥ªá ¬¨ j1

¨ j2, -® â ª ª ª í⨠§- ç¥-¨ï 䨪á¨à®¢ -ë, ¬ë ¨å ¤«ï ã¯à®é¥-¨ï

ä®à¬ã« -¥ ¢ë¯¨áë¢ ¥¬ ï¢-®.

•®¤ ¯à®¡«¥¬®© á«®¦¥-¨ï ¬®¬¥-⮢ ¯®-¨¬ îâáï á«¥¤ãî騥 § -

¤ ç¨:

) ª ª¨¥ §- ç¥-¨ï m ¢®§¬®¦-ë ¯à¨ § ¤ --ëå m1 ¨ m2?

¡) ª ª¨¥ §- ç¥-¨ï j ¢®§¬®¦-ë ¯à¨ ¤ --ëå j1 ¨ j2?

¢) ïá-®, çâ® «î¡ ï äã-ªæ¨ï jm ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥- ç¥à¥§ «¨-

-¥©-ë¥ ª®¬¡¨- 樨 äã-ªæ¨© m1m2 , ¨ - ®¡®à®â:

X

X

jm

=

Cjm

m1m2

;

m1m2

=

C~jm

:

m1m2

m1m2

jm

m1m2

jm

Š ª - ©â¨ ª®íää¨æ¨¥-âë C ¨ C~ (¨å - §ë¢ îâ ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ Š«¥¡è {

ƒ®à¤ - )?

‘ä®à¬ã«¨à㥬 ®â¢¥âë -

í⨠¢®¯à®áë:

77

) ’ ª ª ª j^z = j^1z + j^2z , â®

m = m1 + m2:

¡) ‚¥«¨ç¨- j ¯à¨-¨¬ ¥â 2j1 + 1 (¯à¨ j2>j1) ¨«¨ 2j2 + 1 (¯à¨ j2<j1) §- ç¥-¨©

j = jj1 − j2j; jj1 − j2j + 1; : : : ; j1 + j2 ;

¯à¨ç¥¬ ¨-â¥à¢ « §- ç¥-¨© j ¬¥¦¤ã - ¨¬¥-ì訬 jmin = jj1 − j2j ¨ - ¨¡®«ì訬 jmax = j1 + j2 §- ç¥-¨ï¬¨ â ª®¢, ª ª ¥á«¨ ¡ë ®â१ª¨ ¤«¨-®© j1; j2 ¨ j á®áâ ¢«ï«¨ âà¥ã£®«ì-¨ª.

¢) •®áª®«ìªã

jm			jm
Cm1m2 = h jmj m1m2 i; C~m1m2 = h m1m2 j jmi ;
â®
C~jm	= (Cjm			) :
m1m2			m1m2
…᫨ ¢ë¡à âì ª®íää¨æ¨¥-âë Cjm			¢¥é¥á⢥--묨, â®
	m1m2
C~jm		= Cjm		:
m1m2			m1m2

Š®-áâàãªâ¨¢-ë© á¯®á®¡ - 宦¤¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ Š«¥¡è {ƒ®à¤ - ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ®â¢¥â - ¢®¯à®á ¡) ¬ë 㪠¦¥¬ - ¤¢ãå ¯à®áâëå ¯à¨¬¥à å.

•à¨¬¥àë

1. j1 = s1 = 1=2; j2 = s2 = 1=2; ^j ^S = ^j1 + ^j2 :

ˆ¬¥¥âáï ç¥âëॠäã-ªæ¨¨:

2 2		j ""i;	2	−2		j "#i; −	2 2		j #"i; −	2	−2		j ##i :
1 1	=		1	1	=		1 1	=		1	1	=

’ ª ª ª max S = max m = max (m1 + m2) = 1, â® ¢ - 襩 á¨á⥬¥ ¤®«¦¥- áãé¥á⢮¢ âì âਯ«¥â S = 1, m = 1; 0; −1, ¯à¨ç¥¬

11 = 1 1 = j ""i :

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		= 1			1	1	+ 1 1

	+					−1 = −2	−			j ##i :
	= j "#ip		2j #"i;		1			2
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78

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…é¥ ¯à®é¥: j ""i ¨ j ##i ᮮ⢥âáâ¢ãîâ S = 1, m = 1 ¨ ᨬ- ¬¥âà¨ç-ë ¯® ᯨ- ¬. ‘¨¬¬¥âà¨ï äã-ªæ¨¨ -¥ § ¢¨á¨â ®â ¯à®¥ªæ¨¨ ¬®¬¥-â . •®í⮬ã ᨬ¬¥âà¨ç- ï (-®à¬¨à®¢ -- ï) äã-ªæ¨ï á m = 0

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á m = 0 ¨¬¥¥â S = 0.

2. j1 = l, j2 = s = 1 , ^j = ^l + ^s.

2

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1

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Yl;−l − ;

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’ ª ª ª jmax = max (m1 + m2) = l + 1=2, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¬ã«ì⨯«¥â ¨§

2jmax + 1 = 2l + 2 äã-ªæ¨© l+ 1 ;m, ¯à¨ç¥¬

2

l+1=2; l+1=2 = Yll + =

0 Yll

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¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥-ë ¤¥©-

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j^− = l^− + s^−. ‚ ç áâ-®áâ¨,

p

p

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l+1=2; l−1=2

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j− l+1=2; l+1=2 =

l

ˆ§ ¤¢ãå äã-ªæ¨© m1m2

á m = l − 1=2, ¯®¬¨¬® 㪠§ --®© ¢ëè¥ ª®¬-

¡¨- 樨, ¬®¦-® ¯®áâநâì ¥é¥ ®¤-ã, ®à⮣®- «ì-ãî ª l+ 1 ;l+ 1 :

Yll−1 + − p

2

2

Yll − :

2l

79

Ÿá-®, çâ® íâ ª®¬¡¨- æ¨ï ¯à¨- ¤«¥¦¨â ª ¬ã«ì⨯«¥âã á j = max (m1+

2) =	l−	1 , ᮤ¥à¦ 饬ã 2 +1 = 2		l	äã-ªæ¨¥©	1	; m	.’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
m		2	j		l−	2
í⨠¤¢	¬ã«ì⨯«¥â		¤ îâ - ¡®à ¨§ 2l + 2 + 2l = (2l + 1) 2 äã-ªæ¨©

jm á j = l + 1=2 ¨ j = l − 1=2.

•®ª ¦¨â¥, çâ®

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l+ 1 ;m+ 1

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2

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0 p

l

1 ;m+ 1

1

l − m

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1

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1

Ylm A :

Ylm+1

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^Ylm +, ¢â®-

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l

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+ l + 1

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á j = l + 1=2.

x27. •à ¢¨« ®â¡®à ¤«ï ¬ âà¨ç-ëå í«¥¬¥-⮢

᪠«ïà-ëå ¨ ¢¥ªâ®à-ëå ®¯¥à â®à®¢

„«ï ª ¦¤®£® ᪠«ïà-®£® ®¯¥à â®à S^, ¯®áâ஥--®£® ¨§ ®¯¥à â®à®¢ r2; p^2; r^p; ^l2; ^l^s ¨ â.¤., á¯à ¢¥¤«¨¢®

[J^; S^] = 0

¨«¨

[J^z; S^] = 0;	[J^2; S^] = 0 ;
£¤¥ J^ | ®¯¥à â®à ¯®«-®£® ¬®¬¥-â	¨¬¯ã«ìá	á¨á⥬ë. •ãáâì jJM i
| ᮡá⢥-- ï äã-ªæ¨ï ®¯¥à â®à®¢ J^2 ¨ J^z		á ᮡá⢥--묨 §- ç¥-
-¨ï¬¨ J (J + 1) ¨ M ᮮ⢥âá⢥--®, - ¡®à ª¢ -⮢ëå ç¨á¥« å à ª-

â¥à¨§ã¥â ¤à㣨¥ ¢®§¬®¦-ë¥ ä¨§¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨-ë, ¨¬¥î騥 ®¯à¥- ¤¥«¥--ë¥ §- ç¥-¨ï ¢ í⮬ á®áâ®ï-¨¨. ˆ§ á®®â-®è¥-¨ï

hJ0M0 0jJ^zS^ − S^J^zjJM i = (M0 − M)hJ0M0 0jS^jJM i = 0

80