пособие по физике формат pdf / Глава 5. Оптика

(5.19) будет наблюдаться максимум.

разность хода двух лучей	x
	2

При удалении

x	x	будет
1

от точки О постепенно

увеличиваться, а на экране согласно (5.19) будет иметь место чередование светлых и тёмных полос, параллельных осям щелей S, S1 и S2.

			A
		S1	x1
		S
		x2	O
И		S2
		Δx
1	2	3	4
		Рис. 5.6. Интерферометр Юнга

Интерференция может возникать в тонких плёнках за счёт отражения и преломления с последующим отражением от задней границы плёнки падающего на плёнку света (рис. 5.7).

Л	1	Р
1		2
D	2
α α α	α	no=1
А	C
γ	n > 1

d

B

Рис. 5.7. Образование двух когерентных световых лучей в плёнке

Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d под углом α (рис. 5.7) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке А луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, а частично преломится под углом γ, который определится из выражения

185

	n	sin	.
		sin

Преломленный луч, дойдя до точки В, частично

преломится в воздух (nо = 1), а частично отразится и пойдёт к точке С. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом α. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны. Если на их пути поставить собирающую линзу Л, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы. В результате возникает интерференционная картина, которая определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.

Геометрическая разность хода этих лучей будет равна (рис.5.7):

AB BC AD.
При составлении оптической разности хода следует учесть, что
в плёнке скорость света и длина волны в n	раз меньше чем в воздухе.

Поэтому путь, пройденный лучом в плёнке надо умножить на

показатель преломления плёнки

n.

Кроме того, при отражении от

оптически более плотной среды (с большим

n ) фаза волны скачком

изменяется на противоположную, что требует добавления к ходу

отражаемой волны величины . Тогда оптическая разность хода
	2
волн 1 и 2 (рис.5.7) определится выражением:
x	x ( AB BC )n AD		.	(5.20)
2	1	2

Длина отрезка АВ (рис. 5.7) равна		AB			d	. По известному
					cos
правилу угол падения равен углу отражения,					поэтому треугольник

АВС равнобедренный, и

	AB BC	2d	, AC 2dtg .
		cos

Из

прямоугольного треугольника

AD AC sin 2dtg sin .	Подставляя
длин отрезков в (5.20), получим

АСD найдём найденные значения

				n
	x2 x1 2d				tg sin		2	.	(5.21)
			cos
	Используя n	sin	, выражение в скобках можно упростить:
		sin

186

sin		sin		sin		1				sin
			sin					sin			cos n cos .
cos sin		cos		cos sin						sin

Тогда получим
x	x	2dn cos		2d	n2 sin 2		.
2	1		2			2

(5.22)

Из (5.22) следует, что разность хода волн (следовательно, и интерференционная картина) зависит от толщины плёнки d и угла падения лучей α. Если плёнка имеет строго одинаковую толщину и освещается рассеянным пучком света, то максимумы интерференции наблюдаются только для тех углов падения, для которых разность хода составляет целое число волн. Такие интерференционные полосы называют полосами равного наклона.

Если толщина плёнки не является постоянной, то при освещении её параллельным пучком света максимумы и минимумы будут наблюдаться только при определённых значениях толщины d. Такие интерференционные полосы называют полосами равной толщины.

В связи с этим интерференция применяется для проверки качества обработки поверхностей и при сверхточных измерениях размеров и малых расстояний. С помощью плёночных покрытий можно осуществлять просветление оптики. Если на поверхность линзы нанести тонкую плёнку с показателем преломления меньшим, чем у стекла линзы, и толщиной, равной нечётному числу полуволн, то лучи, отражённые от поверхности плёнки и от границы раздела плёнка-стекло, будут гасить друг друга. За счёт этого доля прошедшей через линзу световой энергии увеличится.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое интерференция?

2.При каких условиях наложение двух волн даёт интерференционную картину?

3.Какие волны называются когерентными?

4.Выведите волновое уравнение интерференции двух когерентных волн.

5.Что представляет собой интерферометр Юнга?

6.Объясните – почему в тонких плёнках можно наблюдать явление интерференции?

7.Где явление интерференции может быть применено?

187

§5.4. Дифракция. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Дифракция Фраунгофера. Дифракционные решётки

Явление отклонения света от прямолинейного распространения, огибание волнами препятствий называется дифракцией.

Основоположник волновой теории света Гюйгенс1 в 1678 году выдвинул такой принцип своей теории: каждая точка поверхности,

достигнутая световой волной, является вторичным источником световых волн. Огибающая вторичных волн становится фронтом волны в следующий момент времени.

Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса-Френеля и дифракционные явления. Этот принцип теперь формулируется следующим образом: каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Различают два частных случая дифракции. Дифракция в сходящихся и расходящихся пучках называется дифракцией Френеля, а в параллельных пучках – дифракцией Фраунгофера2.

Френель рассматривал сферическую волну, возбуждаемую точечным источником И (рис. 5.8) и предложил разбить сферический фронт волны на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от краёв каждой зоны до точки наблюдения Р отличались на половину длины волны (во всех точках фронта – волновой поверхности – колебания происходят в одинаковой фазе). При таком разбиении каждому малому участку одной зоны найдётся соответствующий участок соседней, расстояния которых до точки

1 Христиан Гюйгенс ван Зёйлихем (Christiaan Huygens, 1629 - 1695) - нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель.

2 Йозеф Фраунгофер ( Joseph Fraunhofer , 1787, 1826) — немецкий физик, знаменитый оптик.

188

наблюдения Р будет отличаться на

		,
	2

и волны от этих участков

будут приходить в эту точку в противофазе и гасить друг друга.

	Э
		b m / 2
rm
И		b / 2
О	О1	P
	Э
	a	b
Рис. 5.8. Зоны Френеля

Изменение фазы на противоположную можно рассматривать как изменение знака амплитуды колебаний на противоположный.

Амплитуду волны от i-й зоны Френеля обозначим через амплитуда волны, пришедшая в точку Р из первой зоны,

второй – ( E	2	).
В этом случае амплитуда результирующей волны

будет равна алгебраической сумме амплитуд волн от Френеля:

E	рез	E	E	E	E	... E	E
		1	2	3	4	2m	2m1

Ei .	Тогда
E ,	а	из
1
в точке		Р
всех зон
...	(5.23)

При этом с возрастанием номера зоны световых волн медленно монотонно убывают (

		Если переписать (5.23) в виде:
			E		E				E				E
E	рез		1		1	E	2		3		...		2m 1
		2		2				2					2

амплитудные значения

E	E ).
i1	i

			E
E	2m		2m 1		...,
			2

189

то ввиду медленного убывания амплитуд выражения в скобках будут пренебрежимо малы, и тогда окажется, что амплитуда результирующей волны в точке Р будет равна половине амплитуды волны от первой зоны:

E			1	E .
	рез
			2	1

(5.24)

Из только что полученного результата следует парадоксальный на первый взгляд вывод: если на пути света поставить экран Э (рис. 5.8), закрывающий все зоны, кроме первой, то амплитуда волны в точке наблюдения Р возрастёт в два раза, а интенсивность света согласно формуле (5.9) – в четыре. Если отверстие экрана будет открывать только первую и вторую зоны, то в точке наблюдения амплитуда будет близка к нулю, т.к. амплитуды волн из этих зон будут в этой точке в противофазе.

Если на пути света поставить кольцевой экран, закрывающий все чётные зоны Френеля (на рис. 5.8 эти зоны заштрихованы), то амплитуда результирующей волны в точке Р резко возрастёт, т.к. её значение из выражения (5.22) будет равно сумме только одних

положительных величин:	E	рез	E	E	... E	...	Такой
			1	3	2m1

экран называется зонной пластинкой.

Если на пути света поставить непрозрачный диск, закрывающий несколько зон (с первой по (m 1) ю), то в центре геометрической тени от диска в точке наблюдения будет светлое пятно, обусловленное

результирующей световой волной с амплитудой

E			1	E .
	рез
			2	m

Описанные выше явления дифракции Френеля наблюдаются лишь при выполнении следующих условий: свет должен быть монохроматическим; центр О отверстия (О1 диска) должен лежать на прямой, соединяющей источник света И с точкой наблюдения Р; края преграды должны быть гладкими (царапины должны быть меньше ширины ближайшей открытой зоны). Поскольку ширина кольцевой зоны уменьшается с увеличением её номера, для выполнения последнего условия на отверстии (диске) должно укладываться небольшое число зон Френеля.

Дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах. Пусть на щель шириной b нормально падает параллельный пучок света (рис. 5.9). Его фронт имеет плоскую поверхность. Разобьём открытую часть волновой поверхности на ряд параллельных полосок

– зон. При угле дифракции 0 волны от всех зон будут распространяться в одинаковой фазе и в точке наблюдения, в которой

190

их можно собрать с помощью линзы,

(график зависимости интенсивности

I

будет наблюдаться максимум

э	от	sin	представлен на рис.

5.10).

		b
A		B		Щель
φ		φ
		C

		2
		b

Рис. 5.9

b

Iэ

O

Рис. 5.10

1,5λ/b

	sinφ
	2
b	b

	Пусть фронт волны	разбит	на	2m		равных по	ширине зон.
Ширина каждой такой зоны будет равна					b	. При некотором другом
	дифракции, при				2m
угле		котором	две		соседние зоны		будут иметь

волны, находящиеся в противофазе (при этом разность хода от их левых (правых) краёв будет равна λ/2), в точке наблюдения будет иметь место минимум. Данное значение угла найдём из

треугольника АВС:	sin			BC						,	где
				AB					b 2

	m
		2

разность

хода между волнами в точках А и С (рис. 5.9). Тогда точки минимума графика интенсивности (рис. 5.10) найдутся по формуле

	sin	m
		b

В общем виде условие выражением:

bsin m ,

, где m 1,2,...

минимума можно

где	m 1, 2,...

(5.25)

представить

(5.26)

Если разбить пучок света на три равные по ширине зоны и найти такой угол дифракции, при котором две соседние зоны будут

иметь волны, находящиеся в противофазе, то в точке наблюдения

191

будет иметь место уже не минимум, а максимум, поскольку только две волны, находящиеся в противофазе погасят себя, а волна от третьей зоны не будет погашена. Условие такого максимума:

bsin

щели

3( 2) 1,5 (рис. 5.10).

Общее условие максимумов, кроме нулевого, при дифракции от имеет вид:

	b sin (2m 1)		,
		2

где

m 1, 2,...

(5.27)

Дифракционная решётка – это оптический прибор,

работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Фронт световой волны разбивается штрихами решётки на отдельные пучки когерентного света. Эти пучки претерпевают дифракцию на штрихах и интерферируют друг с другом. Так как для разных длин волн максимумы интерференции оказываются под разными углами (определяемыми разностью хода интерферирующих лучей), то белый свет раскладывается в спектр. Дифракционные решётки могут быть двух видов:

1)отражательные: штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность, и наблюдение ведётся в отражённом свете

2)прозрачные: штрихи нанесены на прозрачную поверхность (или вырезаются в виде щелей на непрозрачном экране), наблюдение ведётся в проходящем свете.

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке,

называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d.

Если известно число N штрихов, приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки

d N1 мм.

Условия интерференционных максимумов дифракционной решётки, наблюдаемых под определёнными углами, имеют вид:

			d sin m ,		(5.28)
где		угол	максимума данного	цвета	(длины волны );
m 1,2,3,...			порядок максимума,	то есть	порядковый номер

максимума, отсчитанный от центрального максимума при 0. Если же свет падает на решётку под углом , то:

192

d (sin sin ) m .		(5.29)
Угол максимума с изменением длины волны		будет

меняться.

Скорость этого изменения характеризуется угловой дисперсией

	решётки D	d	. После дифференцирования (5.29) для вычисления
		d

этой характеристики решётки получается такая формула:

	D	m	.
		d cos

Рис. 5.11

Рис. 5.12

(5.30)

Дифракционной решёткой можно считать нарезку на DVD (рис. 5.11). Эта нарезка представляет собой дорожку в виде спирали с шагом 1,6 мкм между витками. Примерно треть ширины этой дорожки занята углублением, рассеивающим падающий на него свет, примерно две трети – нетронутая подложка, отражающая свет. Таким образом, это отражательная дифракционная решётка с периодом 1,6 мкм.

На рис. 5.12 представлено, как выглядит свет лампы накаливания фонарика, прошедший через прозрачную дифракционную решётку. Нулевой максимум (m=0) соответствует свету, прошедшему сквозь решётку без отклонений. В силу дисперсии решётки в первом (m=±1) максимуме можно наблюдать разложение света в спектр. Угол отклонения возрастает с ростом длины волны (от фиолетового цвета к красному)

Хорошие решётки требуют очень высокой точности изготовления. Если хоть одна щель из множества будет нанесена с ошибкой, то решётка будет бракована. Машина для изготовления решёток прочно и глубоко встраивается в специальный фундамент. Перед началом непосредственного изготовления решёток, машина работает 5-20 часов на холостом ходу для стабилизации всех своих

193

узлов. Нарезание решётки длится до 7 суток, хотя время нанесения штриха составляет 2-3 секунды.

Дифракционную решётку применяют в спектральных приборах, также в качестве оптических датчиков линейных и угловых перемещений (измерительные дифракционные решётки), поляризаторов и фильтров инфракрасного излучения, делителей пучков в интерферометрах и так называемых «антибликовых» очках.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое дифракция?

2.Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.

3.Где можно наблюдать дифракцию Френеля?

4.Чему будет равна амплитуда результирующей волны в точке наблюдения дифракции Френеля, если на пути луча поставить непрозрачный диск, закрывающий первые две зоны Френеля?

5.Где наблюдается дифракция Фраунгофера?

6.Запишите в общем виде условия минимумов и максимумов интенсивности света для дифракции от щели.

7.Что такое дифракционная решётка, и какие её разновидности вам известны?

8.Что является периодом, угловой дисперсией, интерференционными максимумами дисперсионной решётки? Как их вычислить?

9.Где применяются дифракционные решётки?

§5.5. Прямолинейное распространение света

В тех случаях, когда препятствия и щели, стоящие на пути светового пучка имеют размеры, значительно превышающие длины волн видимого диапазона, явлением дифракции можно пренебречь и считать, что световой луч – это прямая линия, указывающая направление распространения световой энергии. При переходе из одной среды в другую эта линия может преломляться и раздваиваться на преломлённую и отражённую, а в однородной среде луч распространяется прямолинейно.

На этих положениях и законах отражения и преломления света основана геометрическая оптика.

Закон отражения: падающий и отражённый лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к границе двух сред, восстановленным в точке падения луча; отсчитанные от этого перпендикуляра углы падения и отражения равны (рис. 5.13).

194