5.2. Статический расчет плоской фермы

Нагрузка, действующая на стальную ферму покрытия, собирается с грузовой полосы шириной b = 6 м и составляет:

q_n = p_n b= 2,61·6 = 15,66 кН/м – нормативная погонная;

q = pb = 3,43·6 = 20,6 кН/м – расчетная погонная.

Конструкции покрытия включают прогоны, которые передают погонную нагрузку на ферму через ее верхние узлы (рис.12, а):

F_n = q_nd = 15,66·3 = 46,98 = 47,0 кН – нормативная узловая;

F = qd = 20,6·3 = 61,8 кН – расчетная узловая.

Рис. 12. Схемы для статического расчета фермы: а – нагрузка на ферму; б – балочный аналог фермы; в – эпюры изгибающих моментов поперечных сил.

Для статического расчета плоской фермы можно использовать ее балочный аналог (рис. 12, б) с опорными реакциями

V₁ = V₁₅ = F_i/2 = ql/2 = 20,6·42/2 = 432,6 кН.

Изгибающие моменты от действия нагрузок составляют:

M₁ = M₁₅ = 0;

M₂ = M₁₄ = (V₁- F/2)d = (432,6-30,9)3 = 1205,1 кН·м;

M₃ = M₁₃ = (432,6-30,9)6 - 61,8·3 = 2224,8 кН·м

M₄ = M₁₂ = (432,6-30,9)9 - 61,8·6 - 61,8·3 = 3059,1кН·м

M₅ = M₁₁ = (432,6-30,9)12 - 61,8·9 - 61,8·6 - 61,8·3 = 3708,0 кН·м

M₆ = M₁₀ = (432,6-30,9)15 - 61,8·12 - 61,8·9 - 61,8·6 - 61,8·3 =4171,5 кН·м

М₇ = М₉ = (432,6-30,9)18 - 61,8·15 - 61,8·12 - 61,8·9 - 61,8·6 - 61,8·3 =

= 4449,6 кН·м;

М₈ = (432,6-30,9)21 - 61,8·18 - 61,8·15 - 61,8·12 - 61,8·9 - 61,8·6 - 61,8·3 =

= 4542,3 кН·м.

Изгибающий момент М₈ действует в сечении балочного аналога фермы в середине пролета l и является наибольшим. При наличии 15 узловых нагрузок F и F/2 его целесообразно сравнить с аналогичным моментом от распределенной (погонной) нагрузки:

М_max = ql²/8 = 20,6·42²/8 = 4542,3 кН·м.

Как видно, абсолютные значения сравниваемых моментов здесь полностью совпадают. Определенная разница между ними появляется при уменьшение числа узловых нагрузок (до 10…8 и меньше).

Поперечные силы от действия узловых нагрузок составляют:

Q_1-2 = - Q_14-15 = V₁ - F/2 = 432,6 - 30,9 = 401,7 кН;

Q_2-3 = - Q_13-14 = 432,6 - 30,9 - 61,8 = 339,9 кН;

Q_3-4 = - Q_12-13 = 432,6 - 30,9 - 61,8 - 61,8 = 278,1 кН;

Q_4-5 = - Q_11-12 = 432,6 - 30,9 - 61,8 - 61,8 - 61,8 = 216,3 кН;

Q_5-6 = - Q_10-11 = 432,6 - 30,9 - 61,8 - 61,8 - 61,8 - 61,8 = 154,5 кН;

Q_6-7 = - Q_9-10 = 432,6 - 30,9 - 61,8 - 61,8 - 61,8 - 61,8 - 61,8 = 92,7 кН;

Q_7-8 = - Q_8-9 = 432,6 - 30,9 - 61,8 - 61,8 - 61,8 - 61,8 - 61,8 – 61,8 =

= 30,9 кН.

Значения продольных сил в поясных элементах вычислены по формуле (8):

N_1-2 = N_2-3 = - M₂/h = - 1205,1/3,5 = - 344,3 кН;

N_3-4 = N_4-5 = - M₄/h = - 3059,1/3,5 = - 874,0 кН;

N_5-6 = N_6-7 = - M₆/h = - 4171,5/3,5 = - 1192 кН;

N_7-8 = N_8-9 = - M₈/h = - 4542,3/3,5 = - 1298 кН;

N_16-17 = M₃/h = 2224,8/3,5 = 635,7 кН;

N_17-18 = M₅/h = 3708,0/3,5 = 1059 кН;

N_18-19 = N_19-20 = M₇/h = 4449,6/3,5 = 1271 кН,

где знак минус обозначает усилия сжатия (верхний пояс), а знак плюс – усилия растяжения (нижний пояс).

Продольные усилия в раскосных элементах решетки найдены по формуле (9):

N_1-16 = Q_1-2/cosβ = 401,7/0,7592 = 529,1 кН;

N_3-16 = Q_2-3/cosβ = - 339,9/0,7592 = - 447,7 кН;

N_3-17 = Q_3-4/cosβ = 278,1/0,7592 = 366,3 кН;

N_5-17 = Q_4-5/cosβ = - 216,3/0,7592 = - 284,9 кН;

N_5-18 = Q_5-6/cosβ = 154,5/0,7592 = 203,5 кН;

N_7-18 = Q_6-7/cosβ = - 92,7/0,7592 = - 122,1 кН;

N_7-20 = Q_7-8/cosβ = 30,9/0,7592 = 40,70 кН,

где cosβ = h/d_s = 3,5/4,61 = 0,7592; d_s = 4,61м – длина раскоса (при уклоне i=0).

Стержневые элементы стоек решетки испытывают сжатие, величина которого определяется значением узловых нагрузок:

N_2-16 = N_4-17 = N_6-18 = N_8-20 = - F = - 61,8 кН.

Усилия в узлах от излома нижнего пояса воспринимаются дополнительными стержнями решетки, каждый из которых работает на растяжение, вычисляемое по формуле (16), но без множителя 2:

N_7-19 = N_9-21 = N_19-20 sinα = 1271·0,0250 = 31,8 кН,

где при уклоне ί = 0,025 (2,5%) угол наклона к горизонту α ≈ sinα ≈ tgα = ί.

Результаты статического расчета фермы приведены на рис. 13.

Рис. 13. Схема фермы с результатами ее статического расчета (усилия приведены в кН, размеры – в мм, знак плюс соответствует растяжению).