1.1.6.Многошаговые методы. Метод Адамса. Методы прогноза–коррекции

В многошаговых методах для вычисления требуется не одно предыдущее значение, а несколько. Так, дляk-шагового метода требуются значения:.

Метод Адамса является примером многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейший случай метода Адамса получается при и совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка. В практических расчетах чаще используется метод Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех значений приближенного решения. Именно этот метод называют обычно методом Адамса. Рассмотрим расчетные формулы для данного метода.

Пусть вычислены значения в четырех последовательных узлах . Формула для вычисления значенияпо методу Адамса имеет вид:

. (1.8)

Первые четыре значения для начала вычисления значений решения по методу Адамса получаются любым другим методом соответствующей точности, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Сравнивая метод Адамса с методом Рунге-Кутта той же точности, следует отметить его экономичность, так как он требует при вычислении лишь одного значения правой части на каждом шаге, а метод Рунге–Кутта – четырех. Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет только по известному значению , надо вычислить ещекаким-либо другим способом (например, методом Рунге–Кутта), что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шагh в процессе счета.

Существует еще одно семейство многошаговых методов, которые используют неявные схемы, - методы прогноза и коррекции. Суть этих методов состоит в следующем.

На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы:

1) с помощью явного метода (прогноза) по известным значениям функции в предыдущих узлах находятся начальное приближение в новом узле;

2) используя неявный метод (корректор), в результате итераций находятся приближения

Один из вариантов метода прогноза и коррекции может быть получен на основе метода Адамса четвертого порядка. Для этого используются следующие расчетные формулы.

На этапе прогноза используется рассмотренная выше формула (1.8), а на этапе коррекции:

(1.9)

Явная схема (1.8) используется на каждом шаге один раз, а с помощью неявной схемы (1.9) строится итерационный процесс вычисления .

Итерации можно прекратить, если две последовательные итерации дают практически одинаковые результаты. На практике, если метод k -шаговый, то итераций должно быть не болееk. Дальнейшее увеличение числа итераций порядок точности не увеличивает. Если точность мала, то надо менять шаг, что в многошаговых методах затруднительно.

1.1.7. Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

(1.10)

Двухточечная краевая задача для уравнения (1.10) ставится следующим образом.

Найти функцию , которая внутри отрезкаудовлетворяет уравнению (110), а на концах отрезка — краевым условиям

(1.11)

Рассмотрим случай, когда уравнение (1.10) и граничные условия (1.11) линейны. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:

	(1.12)
	(1.13)

где – известные непрерывные на отрезкефункции,– заданные постоянные, причеми.