Глава 4. Статистическая обработка данных

4.1. Справочный материал по статистической обработке данных

Пусть мы имеем массив экспериментальных данных, состоящий из пчисел. Можно считать, что эти числа являются значениями некоторой случайной величины Х.

Множество всех возможных значений рассматриваемой случайной величины называют генеральной совокупностью, а множество опытных данных − выборочной совокупностью.

Цель статистической обработки данных состоит в том, чтобы по характеристикам выборочных совокупностей судить о свойствах генеральных совокупностей.

Величину М, определяемую по формуле:

(4.1)

называют выборочным средним. Величина М даёт оценку математического ожидания (генеральной средней) случайной величины Х.

Оценку генеральной дисперсии даёт выборочная дисперсия. Она вычисляется по формуле:

или . (4.2)

Корень квадратный из выборочной дисперсии называют выборочным средним квадратическим отклонением: .

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и элементы исходного массива. Это не даёт возможности сравнивать между собой степень рассеяния (изменчивость) разнородных величин. Меру изменчивости, не зависящую от единиц измерения исходных величин, даёт коэффициент вариации С:

.

Будем предполагать, что в результате опыта мы имеем не только массив данных , но и связанный с ним массив.

Результаты такого опыта можно рассматривать, как набор экспериментальных точек, абсциссами которых являются значения случайной величины Х, а ординатами − соответствующие им значения случайной величиныУ:.

Допустим, что у нас есть основание предполагать, что между переменными и существует зависимость видаy=f(x).

Выбор типа функции f(x)основывается на теоретических исследованиях и анализе взаимного расположения экспериментальных точек. Предполагаемая зависимость, как правило, не является строго функциональной. Поэтому при любом выборе параметров функцииf(x)вычисленные значенияf(x_i)не совпадают с наблюдаемыми значениямиу_i, т.е. разностьу_i - f(x_i)отлична от нуля.

Подберём параметры функции f(x)так, чтобы сумма квадратов была минимальна. Геометрически это означает, что мы хотим провести линию с уравнениемy=f(x)как можно "ближе" к имеющимся экспериментальным точкам. Предположим, что наша зависимость является линейной:

f(x)=ах + b.

Мы должны подобрать параметры а и bтак, чтобы минимизировать выражение:

.

Для определения коэффициентов а и bнеобходимо решить систему уравнений

.

После выполнения преобразований система примет вид:

Прямая называется линией регрессииунах, а коэффициентыа, b− коэффициентами регрессии.

Показателем, характеризующим тесноту линейной связи между хиу, является (выборочный) коэффициент корреляцииr:

.

Коэффициент корреляции rи коэффициент регрессииасвязаны соотношением:

,

где – средние квадратические отклонения рассматриваемых значенийХиУсоответственно.

Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению: . Чем меньше отличаетсяот 1, тем ближе к линии регрессии располагается экспериментальные точки.

Если , то переменныех, уназываются некоррелированными. Для того чтобы проверить, значимо ли отличается от нуля выборочный коэффициент корреляции, можно воспользоваться критерием Стьюдента.

Вычисленное значение критерия определяется по формуле:

.

Вычисленное значение t сравнивается со значением из таблицы распределения Стьюдента в соответствии с уровнем значимостиαи числом степени свободып - 2. Если вычисленное значение больше табличного, то выборочный коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Пример 4.1:

Результаты статистических испытаний представлены и таблице 4.1.

Таблица 4.1.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
xi	1,81	2,21	2,09	1,55	1,60	1,52	1,63	1,58	1,81	2,27	0,97	1,04
yi	6,41	7,53	7,46	5,52	5,77	5,56	5,92	5,62	6,42	7,85	3,72	4,30

Продолжение таблицы 4.1.

i	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	1,08	1,22	0,86	1,33	1,01	1,09	0,62	1,47
yi	4,20	4,79	3,57	4,99	3,73	4,04	3,08	5,43

Для заданных значений хиуопределить:

коэффициент корреляции r, коэффициенты регрессииунахи выяснить значимость отличая от нуля коэффициента корреляции.

Вычисляем:

, ,,.

, ,,

.

, ,,26,23.

b=5,30 - 3,03 ·1,44 = 0,937 .

Вычисленное значение критерия Стьюдента равно:

.

Значение критерия, взятое из таблицы при уровне значимости 0,05 равно 2,1. Таким образом, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.