Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011
.pdf* |
|
4P(c |
P |
−ci ) |
|
4P(c |
P |
−ci+1 ) |
|
||||
|
|
K |
|
|
|
H |
|
||||||
L |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(1.254) |
|
εcKi (1 |
−cKi ) |
εcHi+1 (1 |
−cHi+1 ) |
||||||||||
i |
|
|
|
||||||||||
– идеальный поток в точке перехода,σi |
= |
|
|
Li |
– величина, назы- |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li +1 |
|
ваемая коэффициентом ступенчатости. Обозначая cKi = cHi +1 = c* ,
соотношение (1.253) с учетом (1.254) приводим к квадратному уравнению:
|
|
|
|
|
c2 |
− (1 +ϕ |
)c |
+ϕ |
c |
P |
= 0 , |
|
|
(1.255) |
||||||||
|
|
2P(σi |
|
|
|
* |
|
|
|
i |
* |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ϕi |
= |
+1) |
|
. |
Корни |
этого уравнения |
определяют опти- |
|||||||||||||||
εLi |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мальные значения концентраций в точках перехода: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ϕ |
i |
|
1+2(1−2C |
P |
)ϕ |
i |
+ϕ2 |
|
||||||||
|
|
|
c |
= |
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
i |
. |
(1.256) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
* |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для секций обогатительной части каскада в формуле (1.256) следует выбирать знак минус.
Зная значения Li во всех секциях отборной части ПСК, по фор-
муле (1.256) определяют значения всех «стыковых» концентраций. Далее по формуле (1.214) находят числа ступеней на прямоугольных участках ПСК, и тогда расчет отборной части оптимального ПСК будет завершен. Аналогично проводится расчет отвальной части оптимального ПСК. При этом необходимо во всех формулах
произвести соответствующие замены ( P → −W , cP → cW ), а в формуле (1.256) следует выбрать знак плюс.
Для случая малых концентраций ( c << 1, |
cP << 1) соотноше- |
||||
ние (1.256) упрощается и может быть приведено к виду |
|||||
c* = |
|
cP |
|
. |
(1.257) |
|
εLi |
|
|||
1 + |
|
|
|
||
2P(σi +1) |
|
|
|
101
2εLP = 5,3556
εs = 2,632 εs = 2,474 {{ η = 78,5%
εL |
= 5,868 |
εL = 1,922 |
2P |
|
|
|
|
2P |
{ { { |
||
εs = 2,366 |
εs = |
εs = 1,530 |
|
= 1,298 |
|
η = 87,7%
|
|
|
|
|
εL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
= 6,266 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2P |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
= 2,740 |
|
|
||
|
|
εL |
|
|
|
|
εL |
|
|
|
εL |
|
|
|
|
2P |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2P |
= 2,539 |
|
2P |
= 1,875 |
|
|
2P |
= 2,712 |
|
|
|
|
|
|
= 0,984 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2P |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ { { { |
{ { { { { |
||||||||||||||||||||
|
εs = |
|
εs = |
εs = |
εs = |
|
εs = |
εs |
= |
|
εs = |
εs = |
εs = |
||||||||
= 0,730 = 1,790 |
= 1,254 |
= 1,568 |
= 0 ,780 |
= 1,698 |
= 0,992 |
= 1,030 |
|
= 0,946 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η = 94,3% |
|
|||
|
|
|
|
|
|
η = 91,7% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
= 6,250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 P |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
|
|
|
|
= 2,800 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2P |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 P = 3,676 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
εL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εL |
= 0,959 |
|
|
= 1,477 |
|
|
|
|
|
|
|
2P |
||||
|
|
2P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ { { { { { |
||||||||||||||
|
εs = |
|
εs = |
εs = |
εs = |
|
εs = |
εs = |
||||||
= 0,420 |
= 0,688 |
= 1,592 |
= 0,982 |
= 1,050 |
= 0,924 |
η = 95,5%
Рис. 1.23. Схемы ПСК, оптимизированные по исходным данным: cp = 3,5%, cF = 0,719%, cw = 0,20%, FP = 6,3535, WP = 5,3535
(Каскад 1 – прямоугольный; каскад 2 – одна секция в отвальной части, две – в отборной; каскад 3 – две секции в отвальной, две секции в отборной; каскад 4 – две секции в отвальной, три – в отборной; каскад 5 – три секции в отвальной части, три – в отборной) [4]
102
Заметим, что при выполнении соотношения (1.251) параметрами оптимизации становятся головной поток прямоугольно-
секционированного каскада (ПСК) - LГ (или отношение головного
потока идеального каскада L* (cF ) |
к головному потоку ПСК - LÃ ) |
||
и коэффициенты ступенчатости σi |
= |
Li |
. |
|
|||
|
|
Li+1 |
Рис. 1.24. Зависимость КПД формы от относительной величины головного потока ПСК при различных числах секций в каскадах, приведенных на рис. 1.23 [4]
На рис. 1.24 представлены зависимости КПД формы ПСК от головного потока LГ при различных значениях чисел секций. Каждому значению головного потока LГ на зависимостях 1-5 соответствует максимальное значение величины К.П.Д. формы при опти-
103
мизации по переменным σi = |
Li |
. В свою очередь каждая кривая |
|
||
|
Li +1 |
η = f (LГ ) на рис. 1.24 проходит через максимум. Эти точки экс-
тремума и сами экстремумы соответствуют абсолютному максимуму величины η и, соответственно, определяют оптимальный
вариант ПСК с заданным числом прямоугольных секций. С ростом числа секций максимумы η = f (LГ ) становятся более пологими, а
при бесконечном увеличении числа секций КПД прямоугольносекционированных каскадов стремится к 100%.
1.10.ПК в случае произвольных обогащений на его ступенях
[27]
В случае немалых обогащений на ступенях ПК (рис. 1.25) с математической точки зрения представляет дискретную систему, к которой не приемлемы подходы и допущения, имеющие место для каскадов с малыми обогащениями на его ступенях.
Рис. 1.25. Схема прямоугольного каскада
По определению прямоугольного каскада на входе в каждую ступень поток одинаков, т.е. Ls = L = const, 1 ≤ s ≤ N . Для выпол-
нения этого условия в общем случае на концах каскада организуется закрутка в виде подачи части потока, выходящего с крайних ступеней в их питание
T′′ |
= L′′ −W |
|
(1.258) |
|
3 |
1 |
1 |
. |
|
T3′= Ln′ − P |
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
Для отборной части каскада: |
|
θs L − (1−θs+1 )L = P , |
(1.259) |
θs Lcs′ −(1−θs+1)Lcs′′+1 = PcP . |
(1.260) |
Для отвальной части каскада эти уравнения справедливы, нужно только заменить P → −W , cP → cW .
Из этих формул следует |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
W |
, s = 2,…, f −1, |
|||
θs+1 =1 |
−θs − |
L |
|||||
|
|
|
|
P |
|
(1.261) |
|
|
θs+1 = |
1−θs |
+ |
, |
s = f ,…, N. |
||
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим способы задания коэффициентов деления потока θs в прямоугольном каскаде (см. рис.1.25) [27, 28]. Равенство
L=const налагает определенные условия на выбор θs . Общим для всех способов задания θs является периодическое повторение че-
рез ступень по всей длине каскада «базового» коэффициента деления потока, имеющего место на ступени с номером f.
Первый способ задания коэффициента деления потока состоит в том, что все коэффициенты в отвальной (обеднительной) части каскада равны «базовому», в отборной (обогатительной) части базовый коэффициент периодически повторяется через ступень:
θs = |
1 |
1 |
−W |
где s =1, 2, ... , f и s = f +2, f +4, ... |
|||||
|
2 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
θs = |
1 |
1 |
−W |
+ |
F |
где |
s = f +1, f +3, ... (1.262) |
||
|
2 |
|
|
L |
|
L |
|
|
Во втором способе наоборот, коэффициенты деления потока периодически меняются в отвальной части, а в отборной равны между собой
θs = |
1 |
1 |
+ |
P , где s = f , f +1, ... , N |
и s = f −2, |
f −4, ... , |
||||
|
2 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
θs = |
1 |
1 |
+ |
P |
− F |
где s = f −1, |
f −3, ... |
(1.263) |
||
|
2 |
|
|
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
|
И, наконец, общий способ задания коэффициента деления потока состоит в следующем. Задают для разных ступеней следующие коэффициенты деления потока
θs |
=θf , |
|
s =..., f −4, f −2, |
f , f +2, |
f + 4, ... |
|
θs |
=1−W |
−θf , |
s = f −1, |
f −3, ... , |
(1.264) |
|
|
|
L |
|
|
|
|
θs |
=1+ |
P |
−θf , |
s = f +1, |
f +3, ... , |
|
|
|
L |
|
|
|
|
где 0 <θf < 1−W |
– величина базового коэффициента, задавае- |
|||||
|
|
L |
|
|
|
мая, например, из соображений гидродинамической устойчивости каскада. Как нетрудно убедиться, первые два из описанных методов являются частными случаями третьего.
Если потребовать равенство θ в двух соседних ступенях и внешнее питание подавать в равных долях ( F2 ) в обогащенный
поток f −1-й ступени и в обедненный поток f -й ступени (см.
схему на рис. 1.26), то в этом случае приходим к следующим формулам
|
1 |
|
|
− |
W |
|
|
≤ s ≤ f −1 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
, 1 |
||||||||||
θs |
|
2 |
|
|
|
|
L |
|
|
(1.265) |
|||||||
= |
1 |
|
|
|
|
P |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f ≤ s ≤ N |
|||||||||
|
|
2 |
1+ |
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Рис. 1.26. Схема деления внешнего потока питания
106
Получим теперь формулы для расчета распределения концентрации по длине каскада. По определению полного коэффициента разделения ступени имеем:
c'
q = 1 −c"c' , (1.266)
1 − c"
откуда концентрация ценного (целевого) компонента в обогащенном потоке будет равна
c ' = |
qc" |
(1.267) |
1+(q −1)c" |
В дальнейшем принято, что величина q по ступеням каскада не меняется.
Из балансовых уравнений (1.259) с учетом (1.266) и (1.267) следует
|
|
|
|
θ |
s |
|
q c" |
|
|
|
Wc" |
|
|
|
cs"+1 |
= |
|
|
|
s |
|
+ |
|
1 |
, |
s < f |
|
||
1−θs+1 1+(q − |
" |
(1 |
−θs+1 )L |
|
||||||||||
|
|
|
1)cs |
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
θs |
|
q cs" |
|
+Wc1" − FcF , |
s ≥ f . |
|
||||
c" |
|
|
|
(1.268) |
||||||||||
|
s+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−θs+1 1+(q − |
" |
|
(1+θs+1 )L |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1)cs |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чаще всего задачу поверочного расчета прямоугольного каскада формулируют следующим образом.
Задано: N, f , q,cF , P,W , F, L . Найти cP и cW , возможно и cs , а также распределение θs по длине каскада. Такой расчет необхо-
дим при исследовании оптимального управления процессом разделения при изменении режимов работы отдельных ступеней разделительного каскада, а также при использовании одного и того же каскада для разделения различных изотопных смесей. Сложность такого расчета связана с нелинейностью уравнений (1.268), а также с тем фактом, что значения концентраций на концах каскада, явно входящие в эти уравнения, неизвестны.
Невозможность аналитического решения системы (1.268) приводит к необходимости разработки и использования численных
107
итерационных методов с уточнением ориентировочно принятых начальных значений концентраций на концах каскада (см. часть 2).
Соотношения (1.259) – (1.260) и (1.268) и соответственно алгоритм расчета могут быть легко обобщены на случай ПСК
Задачу оптимизации ПК можно сформулировать следующим образом. Пусть величины P,cP ,cF ,cW , q заданы, тогда количество
свободно выбираемых переменных каскада составляет три параметра. Это дискретные параметры N (полное число ступеней в каскаде), f (номер ступени, на вход которой подают поток пита-
ния F ) и величина потока питания ступеней L = const . Значения N, f и L должны быть найдены в результате решения задачи
оптимизации. В качестве критерия оптимизации может быть выбран минимум суммарного потока.
1.11. Нестационарные (переходные) процессы в каскадах
1.11.1.Дифференциальное уравнение нестационарного разделительного процесса. Некоторые особенности нестационарных процессов [29, 30]
Одной из специфических особенностей получения стабильных изотопов (особенно в случае «слабого обогащения», реализующегося в методе газовой диффузии, а также в физико-химических методах: дистилляции, химическом изотопном обмене) является большая длительность переходных процессов в разделительных каскадах, измеряемая в ряде случаев неделями и даже месяцами, что может быть сравнимо с длительностью непрерывной работы установки.
Одной из основных целей исследовании нестационарных (переходных) процессов в каскадных установках является определение характерного «времени установления», т.е. времени от запуска каскада до достижения величин внешних потоков и концентраций, соответствующих стационарному режиму установки. Этот режим имеет место в том случае, когда в каждом сечении каскада
перенос (поток) ценного изотопа J s равен PcP для отборной и WcW для отвальной частей каскада соответственно. При этом ста-
108
ционарный режим течения разделяемой смеси устанавливается сравнительно быстро, тогда как стационарный режим по концен-
трациям в случае достигается за существенно более
длительное время.
Для получения уравнений, описывающих нестационарный процесс переноса ценного компонента в каскаде в случае «слабого обогащения», рассмотрим каскад для разделения бинарной смеси изотопов однофазным методом. Пусть в некоторое промежуточное сечение каскада подают поток питания F, а с концов каскада отбирают потоки отбора P и отвала W. Величины P, W и F в общем случае могут быть функциями от времени, но при этом должны быть связаны уравнением сохранения вещества ( F = P +W ). Предположим, что режим гидродинамических течений в каскаде установился и потоки, а также количество разделяемого вещества на каждой ступени («задержка») H (s) не зави-
сят от времени. Ниже будет показано, что такое предположение допустимо при разделении изотопов. С учетом сделанных предположений запишем условия материального баланса в произвольном сечении каскада на участке между s-ой и s+1 ступенями
L' (s) − L" (s +1) = T (s) . |
(1.269) |
L' (s)C ' (s,t) − L" (s +1)C" (s +1,t) = J (s,t) . |
(1.270) |
где T (s) – перенос (поток) разделяемого вещества, |
J (s,t) – пе- |
ренос (поток) ценного (извлекаемого) изотопа.
В отборной части каскада перенос T равен величине потока отбора, а в отвальной части – величине потока отвала со знаком минус. Поток J (s,t) определяется накоплением ценного компонен-
та в различных частях каскада: - в отборной части
S |
∂ |
[H (i) c(i,t)], |
|
|||
J (s,t) = P c(s,t) + ∑ |
(1.271) |
|||||
∂t |
||||||
i=s+1 |
|
|
|
|||
- в отвальной части |
|
|
∂ |
|
|
|
S |
|
|
[H (i) c(i,t)] |
|
||
J (s,t) = −W c(1,t) + ∑ |
|
(1.272) |
||||
|
|
|||||
i=s+1 ∂t |
|
|
||||
109 |
|
|
где s=1 и s= S – номера первой и последней ступеней каскада соответственно.
Для рассматриваемого случая «слабого обогащения» с точно-
стью до малых порядка ε2 система разностных уравнений (1.269), (1.270) с учетом (1.271) и (1.272) может быть приведена к уравнению в частных производных
H (s) |
∂c(s,t) |
= − |
∂ |
J (s,t) , |
(1.273) |
|
∂t |
∂s |
|||||
|
|
|
|
где выражение для потока ценного изотопа определяется как
|
L(s) |
|
∂c |
+T c . |
|
||
J (s,t) = |
|
εc(1 |
− c) − |
|
(1.274) |
||
2 |
|||||||
|
|
|
∂s |
|
|
В однофазных методах разделения разделительные каскады, как правило, имеют одинаковые элементы. Это позволяет полагать, что задержка ступени прямо пропорциональна потоку L(s)
[1], т.е.
H (s) =ωL(s) , |
(1.275) |
где ω – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени. Величина ω определяет время, на которое задерживается разделяемое вещество в ступени. При этом время, рав-
ное ω / ε2 , по порядку совпадает с продолжительностью переходных процессов, связанных установлением потока L(s). А время достижения равновесных распределений концентраций характе-
ризуется, как будет показано ниже, временем h / ε2 . Учитывая, что число ступеней в каскаде обратно пропорционально величине
ε, очевидно, что временем установления Nh можно пренебречь
иполагать H и L функциями только номера ступени.
Если ввести новые переменные
y =εs, τ = |
ε |
2t |
, |
χ = |
εL |
(1.276) |
|
2ω |
2 |
||||||
|
|
|
|
то после этого такие характеристики разделительного процесса, как ε и ω , из описания нестационарного процесса, могут быть исключены, а исходная система (1.273), (1.274) примет вид, не зависящий от конкретного метода разделения
110