Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

Назовем симметричной относительно пары компонентов с номерами n и k ступень (элемент), в которой коэффициенты разделе-

ния этой пары αnk и βnk		одинаковы:αnk = βnk =						qnk , так что в
соответствии с (2.20) параметр gk					равен
g	k	=	1	=		1	.	(2.28)
			βnk			qnk

Остальные коэффициенты (i ≠ k) , срез θ и срезы парциальных потоков ϕi в такой ступени (элементе) имеют вид:

αik

=

qik (1+

qnk )

,

(2.29)

qik

+

qnk

βik

=

qik

+

qnk

,

(2.30)

1 +

qnk

m

1 + ∑ε jk c j

θ =

j=1

,

(2.31)

1 +

qnk

ϕi

=

αik

,

i = 1, 2,..., m .

(2.32)

+

qnk

1

При «слабом обогащении» на ступени (элементе), когда коэффициенты разделения qik , αik и βik мало отличаются от единицы, можно считать

εik ≈ ln qik , εik′ ≈ lnαik , εik′′ ≈ ln βik ,

(2.33)

и, следовательно, в соответствии с (2.33) и (2.13)

εij = −ε ji ,	εij′ = −ε′ji , εij′′ = −ε′ji′,			(2.34)
εij = εik + εkj ,	εij′	= εik′	+ εkj′ , εij′′ = εik′′ + εkj′′,	(2.35)
εik		= εik′	+ εik′′.	(2.36)

Из (2.34) – (2.36) следует, что в случае «слабого» обогащения относительные коэффициенты обогащения обладают свойствами антисимметричности и аддитивности. Кроме того, можно считать,

171

что для однофазных методов разделения выполняется соотношение εik =ε0 (M K −Mi ) , где ε0 – коэффициент обогащения единичной

разности массовых чисел, Mk и Mi массовые числа k-го и i-го

компонентов, соответственно [3, 4]. В этом случае согласно (2.26)

				θ =			gk
						1 + gk
					εik′′
	и, соответственно,	g	k	=		=			θ		.
							1		−θ
					ε′
					ik

Тогда с учетом (2.36) и (2.38) коэффициенты быть записаны в виде

(2.37)

(2.38)

εik′ и εik′′ могут

εik′ = (1 −θ)εik , εik′′ = θεik .

(2.39)

С учетом (2.1) и (2.35) соотношения (2.22) в рассматриваемом случае преобразуются следующим образом:

	m		m	m		=
δi′ = ci εik′	− ∑ε′jk c j		= ci ∑εik′ c j − ∑ε jk c j
	j=1		j=1	j=1

m				m		=
= ci ∑(εik′ c j −ε′jk c j )				= ci ∑(εik′	−ε′jk )c j		(2.40)
j=1				j=1
m	+εkj′		= ci	m
= ci ∑(εik′		)		∑εij′c j .
j=1				j=1

Аналогично получаем:

m
δi′′= ci ∑εij′′c j ,	(2.41)
j =1
m
δi = ci ∑εijcj .	(2.42)

j =1

172

2.2.Основные уравнения противоточного симметричного разделительного каскада

Рассмотрим противоточный симметричный каскад с одним входящим потоком питания F и двумя выходящими – отбора P, обогащенного самым легким компонентом, и отвала W, обогащенного самым тяжелым компонентом (рис. 2.2). Потоки F, P, W и их концентрации ciF , ciP , сiW (i = 1, 2,..., m) являются внешними параметрами каскада.

Если потери вещества в ступенях каскада отсутствуют, то внешние параметры каскада должны удовлетворять уравнениям материального баланса

F = P +W

(2.43)

FciF = PciP =WciW ,i =1, 2,..., m

Ступени каскада пронумерованы последовательно от s = 1 на отвальном конце каскада до s = N на отборном конце каскада; считаем, что поток питания F подают на вход ступени с номером f . Внутренние параметры каждой ступени Ls , Ls′, Ls′′, Gi,s = Lsci,s , Gi′,s = Ls′ci′,s , Gi′′,s = Ls′′ci′′,s в стационарном состоянии

каскада связаны уравнениями баланса вещества и каждого компонента

Ls = Ls′ + Ls′′, s =1,..., N	(2.44)
Gi,s = Gi′,s +Gi′′,s или
Ls ci,s = Ls′ci′,s + Ls′′ci′′,s , s =1, 2,..., N i =1, 2,..., m,	(2.45)

где индекс i означает номер компонента, а индекс s – номер ступени.

Уравнения коммутации потоков при симметричном соединении ступеней имеют вид:

Ls = Ls′−1 + Ls′′+1 или

Ls =θs−1Ls−1 +(1−θs+1)Ls+1, s =1, 2,..., f −1, f +1,..., N, (2.46)

Gi,s = Gi′,s−1 +Gi′′,s+1 или

173

Lsci,s	=θs−1Ls−1ci′,s−1	+(1−θs+1)Ls+1ci′′,s+1	,
s =1,	2,..., f −1,		(2.47)
		f +1,..., N, i =1, 2,..., m.

Рис. 2.2. Схема противоточного разделительного каскада

Для ступени питания s = f уравнения коммутации потоков

можно записать как

Lf = L′f −1 + L′′f +1 + F или

Lf = θf −1Lf −1 + (1 −θf +1 )Lf +1 + F,				(2.48)
Gi, f	= Gi′, f −1 +Gi′′, f +1	+ Fci,F	или
Li, f = θf −1Ls −1ci′, f	−1 + (1 −θf +1 )Lf	+1ci′′, f +1,	i = 1, 2,..., m .	(2.49)

Концентрации ci,s , ci′,s , ci′′,s на каждой ступени связаны соот-

ношениями (2.14) – (2.15). Внешние и внутренние параметры каскада связаны граничными условиями

L0 = L0′ = L0′′ = LN +1 = LN′ +1 = LN′′+1 = 0,						(2.50)
LN′	=θN LN = P ,					(2.51)
L1′′= (1−θ1 )L1 =W ,						(2.52)
c′	= c ,	i =1,		2,..., m,		(2.53)
N	iP
c1′′= ciW ,		i =1,		2,..., m,		(2.54)
Gi′,N = PciP ,			i =1,		2,..., m,	(2.55)
Gi′′,1	=WciW ,		i =1,		2,..., m .	(2.56)

Соотношения (2.43) – (2.56) представляют простейшую математическую модель противоточного симметричного каскада, предна-

174

значенного для разделения многокомпонентной смеси. При решении некоторых разделительных задач вместо уравнений (2.46) – (2.47) удобнее пользоваться разностными уравнениями, отражающими баланс потоков в сечениях между ступенями:

для отборной части каскада

Ls′ − Ls′′+1 = P или

θs Ls − (1 −θs +1 )Ls +1	= P,		(2.57)
Gi′,s −Gi′′,s+1 = PciP	или
θs Ls ci′,s −(1−θs+1 )Ls+1ci′′,s+1 = PciP		i =1, 2,..., m ,	(2.58)
для отвальной части каскада
Ls′ − Ls′′+1 = −W или
θs Ls − (1 −θs +1 )Ls +1	= −W ,		(2.59)
Gi′,s −Gi′′,s+1 = −WciW или
θs Lsci′,s −(1−θs+1)Ls+1ci′′,s+1 = −WciW		i =1, 2,...,m ,	(2.60)

В свою очередь, система (2.57) – (2.58) может быть легко преобразована к виду

ci,s+1 −ci,s	=	θ		L	δi′,s	+δi′′,s+1 −	P(ciP	−ci,s)	, (2.61)
			s	s
		(1−θs+1)Ls+1					(1−θs+1)Ls+1

i =1, 2,..., m; s = f ,..., N.

где δi′,s = ci′,s − ci,s – функция, определяемая соотношением (2.22) и представляющая изменение концентрации i-го компонента на s-й ступени, а δi′,s и δi′′,s связаны уравнением баланса δi′′,s = 1−θθ δi′,s .

Соответственно, система (2.59) – (2.60) может быть представлена в виде

ci,s+1 −ci,s	=		θs Ls	δi′,s +δi′′,s+1	−	W (ci,s − ciW )
							(2.62)
		(1	−θs+1 )Ls+1
						(1 −θs+1 )Ls+1

i = 1, 2,..., m; s = 1, 2,..., f −1.

Нетрудно видеть, что системы (2.46) - (2.49), (2.57) - (2.60) и (2.61) - (2.62) эквивалентны. Каждая из них представляет систему

175

нелинейных разностных уравнений относительно функций ci,s .

Более того, в эти уравнения (или в их граничные условия) входят значения концентраций, которые должны определяться из решения этих же уравнений. Аналитическое решение подобных систем возможно лишь в отдельных частных случаях. При произвольном рас-

пределении Ls возможно лишь численное решение этих систем на

ЭВМ.

Вопрос о расчете каскада с использованием систем (2.46) - (2.49), (2.57) - (2.60) и (2.61) - (2.62) включает две задачи:

-расчет каскада заданного профиля (поверочный расчет);

-проектировочный расчет каскада.

Под расчетом каскада заданного профиля, как правило, прямоугольного или прямоугольно-секционированного, подразумевают: при заданных числах ступеней и потоков в секциях, потоке пита-

ния F с концентрациями компонентов ciF		(i = 1, 2,..., m) ,	одного
из выходящих из каскада потоков – P или W, относительных коэф-
фициентов разделения qik , αik , βik	определение концентраций
компонентов в потоках отбора	ciP	(i = 1, 2,..., m) ,	отвала

ciW (i =1, 2,...,m) , распределение среза θs и концентраций компонентов ci,s (i = 1, 2,..., m) по ступеням каскада. Такой повероч-

ный расчет необходим при исследовании оптимального управления процессом разделения, при изменении режимов работы и отдельных параметров разделительного каскада, а также при многоцелевом использовании каскада, например, для разделения изотопов различных элементов. Основные трудности поверочного расчета

связаны с	тем, что неизвестные концентрации ciP	и
ciW (i =1,	2,...,m) входят в основные уравнения. Невозможность

аналитического решения этих уравнений вызывает необходимость

разработки численных методов,	малочувствительных	к заданию
начальных приближений ciP и	ciW (i = 1, 2,...,m) .	Под проек-

тировочным расчетом обычно понимают определение параметров прямоугольного или прямоугольно-секционированного каскада по заданным значениям концентрации одного из компонентов (целе-

176

вого или ключевого) в потоках отбора и отвала и величине потока отбора. При этом подразумевается, что искомые параметры каскада должны наилучшим образом удовлетворять условиям его оптимальности.

2.3. Каскад в случае слабого разделения

2.3.1. Основные уравнения [2-4]

Важное практическое значение имеют каскады, состоящие из разделительных ступеней (элементов) слабого обогащения, когда полные относительные коэффициенты обогащения

εik = (εik′ + εik′′) << 1. При тех же предположениях, что и в бинар-

ном случае ( N >>1, θ ≈ 12 и т.д.), переходя от разностных уравне-

ний (2.61), (2.62) с учетом (2.39) - (2.42), получаем

		dci		m			2P
				= ci ∑εijcj	−				(ciP −ci ),	(2.63)
							L(s)
		ds		j=1
									m
	0 ≤ s ≤ Sp (SP			+1 = N − f ),	i =1,				2,..., m −1, ∑cj	=1;
		dci							j=1	(2.64)
				= ci ∑εij cj + 2W (ciW −ci ),
				m
		ds		j=1		L(s)
									m
	0 ≤ s ≤ SW			(SW = f ), i =1, 2,..., m −1, ∑cj =1,

j=1

где SP и SW – числа ступеней в отборной и отвальной частях кас-

када, s – текущий номер ступени в отборной и отвальной частях каскада. Нумерация ступеней в отвальной части ведется от концевой ступени к ступени, на вход которой подают поток питания, а в отборной части – от ступени ввода питания к отборному концу каскада.

Анализ (2.63), (2.64) позволяет сделать следующие замечания о свойствах уравнений каскада:

177

1. В случае безотборного режима ( P =W = F = 0 ) система (2.63), (2.64) легко интегрируется, и ее решение имеет вид:

ci (s) =	ci (0)	,	(2.65)
	m
	∑c j (0) exp(−εij s)

j =1

где ci (0) – концентрация i-ого компонента на входе в ступень, но-

мер которой s = 0 принят за начало отсчета. Из соотношения (2.65) видно, что распределения концентраций по ступеням каскада в безотборном режиме не зависят от распределения потока L(s) .

Анализ (2.65) показывает также, что если каскад достаточно длинный, то концентрации всех промежуточных компонентов имеют максимум внутри каскада и только концентрации крайних компонентов непрерывно возрастают к концам каскада. Явление локализации компонентов в разных местах каскада имеет простое физическое объяснение. Разделительный каскад можно описать при помощи силового поля постоянной напряженности. В результате конкуренции в этом поле наиболее активные компоненты вытесняют менее активные с концов каскада, а те, в свою очередь, аналогичным образом действуют на еще менее активные.

2. Из анализа системы (2.63) – (2.64) (а также систем (2.46) - (2.49), (2.57) - (2.60), (2.61) - (2.62)) непосредственно следует, что невозможно построить многокомпонентный каскад, в котором выполнялись бы условия несмешения на входах в ступени одновременно по всем концентрациям. Это связано с тем, что перенос всех компонентов в каскаде описывается системой m-уравнений, а параметр, с помощью которого можно обеспечить условие несмешения, всего один – L(s).

3.В связи с тем, что при любом числе компонентов обога-

m

щение в ступени самого легкого компонента смеси δ1 = c1 ∑ε1 jc j

j =1

m

всегда строго положительно, а самого тяжелого δm = cm ∑εmj c j ,

j =1

наоборот, всегда меньше нуля, выделение их не представляет про-

178

блемы. В отличие от этого знаки обогащения промежуточных компонентов зависят от состава смеси. Поэтому на некотором удалении от точки питания их концентрации перестают возрастать, т.е. в каскаде удается добиться лишь ограниченного обогащения промежуточных компонентов в отборе.

Задача выделения промежуточного компонента сводится, очевидно, к выбору такого профиля L(s) , при котором концентрация

ключевого (целевого) компонента в потоке отбора (или отвала) имеет максимальное значение. В работе [5] показано, что в каскаде с одним потоком отбора и одним потоком отвала предельную концентрацию произвольного n -го компонента в потоке отбора можно оценить по формуле

cмакс	=	cnF	.	(2.66)
nP		n
		∑cjF

j=1

На практике часто требуется получить концентрацию промежуточного компонента по величине большую, чем дает формула (2.66), для чего целесообразно либо включение дополнительного отбора в месте локализации ключевого (целевого) компонента, либо использование более сложных каскадных схем (двойной каскад и др.).

2.3.2.Исследование каскадов заданного профиля методом ортогональной коллокации (МОК) [6]

Как было указано выше, сложность расчета каскада заданного профиля обусловлена, во-первых, нелинейностью уравнений каскада (2.63), (2.64), во-вторых, трудностью определения начальных приближений для концентраций на концах каскада, которые, являясь граничными условиями уравнений каскада, сами явно входят в эти уравнения.

Метод поступенного расчета каскада с итерационным определением концевых концентраций путем решения уравнений для невязок имеет существенные недостатки. Во-первых, он требует значительных затрат машинного времени из-за необходимости проведения громоздких вычислений на каждом итерационном шаге, уточняющих концентрации. Во-вторых, при его реализации сложно за-

179

дать начальные приближения для концентраций компонентов на концах каскада. Наконец, при большом числе ступеней в каскаде этот метод обладает невысокой точностью расчета концентраций в результате накопления погрешностей вычислений.

С точки зрения вычислительных характеристик наиболее эффективными являются методы, предложенные в работах [6-7]. Изложим кратко метод расчета из [6], который, обладая высокой устойчивостью к заданию начальных приближений для концевых концентраций, обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса.

Суть метода заключается в аппроксимации решений дифференциальных уравнений (2.63), (2.64), интерполяционным многочленом Лагранжа. Для простоты рассмотрим прямоугольный каскад, имеющий потоки питания F, отбора P и отвала W с концентрация-

ми ciF , ciP и ciW соответственно. Перенос компонентов вдоль

каскада описывает система (2.63), (2.64) совестно с уравнениями общего и покомпонентного баланса (2.43), причем поток L по длине каскада величина постоянная.

Нумерация ступеней в обеднительной (отвальной) части каскада ведется от концевой ступени каскада к ступени, на вход которой подают поток питания, а в обогатительной части – от ступени ввода питания к отборному концу каскада. При расчете уравнения (2.63), (2.64), (2.43) должны быть дополнены граничными условиями

cI (0) = c		, cII (S	P	) = c , i = 1, 2,..., m	(2.67)
i	iW	i		iP

и условием непрерывности концентраций в сечении подачи питания

cI (S	) = cII (0) = c		, i = 1, 2,..., m ,	(2.68)
i W	i	i, f

где ci, f – концентрация i-го компонента в сечении ввода питания,

а верхние индексы I и II относятся к обеднительной (отвальной) и обогатительной (отборной) частям каскада. Уравнения (2.63), (2.64) совместно с условиями (2.67), (2.68) и (2.43) образуют полную систему уравнений для определения неизвестных концентраций на

концах каскада ciP и ciW .

180