Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011
.pdfТаким образом, задавая значения концентраций целевого компонента в основном cnP и дополнительном потоках отбора cnP1 , в потоке отвала cnW (концентрации ciF считаем заданными), а также
отношение потоков P1/P и, решая систему уравнений (2.212), (2.213), (2.215) для i=n, находим величины относительных концен-
траций R P |
, RP1 |
, RW |
, рассматривая их как параметры |
n,n+1 |
n,n+1 |
n,n+1 |
|
задачи. После определения этих параметров по соотношениям (2.212) – (2.215) рассчитывают концентрации остальных компонентов в отводимых из каскада потоках, а по соотношениям (2.206) длины отборной SP и отвальной SW секций каскада, а также длину участка каскада между двумя потоками отбора s1.
Алгоритм расчета каскада на заданные концентрации ключевого
компонента cnP , cnP и cnW с использованием уравнений (2.212) –
1
(2.214) выглядит следующим образом.
1.Задают значения концентраций ключевого компонента в от-
водимых из каскада потоках cnP |
, cnP и cnW , а также отношение |
|
1 |
потоков отбора P1/P.
2.Задают начальные приближения для относительных кон-
центраций R P |
, RP1 |
, RW |
. |
n,n+1 |
n,n+1 |
n,n+1 |
|
3.С использованием уравнений (2.212) – (2.215) рассчитыва-
ют текущие значения концентраций cnP(расч.) |
, cnP (расч.) и cnW (расч.) . |
|
1 |
4.Определяют величины невязок концентраций
δP |
= cnP |
−cnP(расч.) |
; δP |
= cnP −cnP (расч.) ; δW = cnW −cnW (расч.) . |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
Расчет заканчивается по достижению заданной точности по величине невязок. В противном случае относительным концентрациям по тому или иному алгоритму дают приращения и повторяют расчет по пунктам 3 и 4.
В качестве примера приведем результаты расчета каскада с дополнительным отбором для разделения пятикомпонентной смеси изотопов вольфрама природного состава, приведенного в табл. 2.4.
Ключевым компонентом выбран изотоп вольфрама с промежуточной атомной массой 183W. Нумерация компонентов проведена от «легкого» к «тяжелому» концу спектра масс изотопов, так что це-
222
левым является изотоп с номером n=3 (cnF =14,3%) . Решение
системы уравнений выполнено методом Ньютона [16]. При решении системы (2.212) – (2.215) в качестве начальных приближений
для относительных концентраций |
RP |
, RP1 |
, RW |
взя- |
|
n,n+1 |
n,n+1 |
n,n+1 |
|
ты их значения, полученные из расчета каскада без дополнительно-
го потока отбора (P1=0), причем значениеRP1 |
было выбрано в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n,n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
области максимума ключевого компонента. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Природный состав изотопов вольфрама |
Таблица 2.4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер компонента |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изотоп |
|
180W |
|
182W |
|
183W |
184W |
|
|
186W |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Концентрация, ciF , % |
|
0,13 |
|
26,30 |
|
14,27 |
|
30,70 |
|
|
28,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При расчете каскада с дополнительным отбором на получение
заданных концентраций c3P |
= 32%, c3P = 43% параметром задачи |
|
1 |
являлось отношение потоков отбора P1/P, которое варьировалось в диапазоне от 0 до 1.
Результаты расчета в виде зависимостей W/P, ε0SP , ε0 s1 и ε0 SW ( ε0 – коэффициент обогащения, приходящийся на единицу разно-
сти массовых чисел) от величины параметра P1/P представлены в табл. 2.5.
Результаты расчета показывают возможность включением дополнительного отбора получить изотопный продукт с большим обогащением по ключевому компоненту, чем в концевом отборе каскада. Величина дополнительного отбора зависит от концентрации в нем ключевого изотопа, а также от состава исходной разделяемой смеси и концентрации ключевого компонента в основном отборе P . В рассмотренном случае величина дополнительного отбора достигала ~20% величины основного отбора при относительном увеличении величины концентрации целевого изотопа в нем
по сравнению c3P более чем на 30%.
223
Таблица 2.5 Параметры R-каскада с дополнительным потоком отбора для разделения
|
изотопов вольфрама c3P = 32%, c3P = 43%, c3W =1, 2% |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1/P |
|
0,042 |
|
0,060 |
|
0,080 |
|
0,100 |
|
0,120 |
|
0,160 |
|
0,200 |
|
0,204 |
|
0,208 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
W/P |
|
1,449 |
|
1,487 |
|
1,531 |
|
1,575 |
|
1,619 |
|
1,707 |
|
1,795 |
|
1,805 |
|
1,814 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 SP |
|
5,764 |
|
6,008 |
|
6,368 |
|
6,776 |
|
7,251 |
|
8,590 |
|
12,332 |
|
13,654 |
|
22,879 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ε0 SW |
|
2,331 |
|
1,732 |
|
1,551 |
|
1,439 |
|
1,358 |
|
1,246 |
|
1,168 |
|
1,162 |
|
1,155 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ε0s1 |
|
5,912 |
|
5,917 |
|
5,925 |
|
5,933 |
|
5,941 |
|
5,955 |
|
5,967 |
|
5,971 |
|
5,973 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ результатов показывает также, что увеличение относительного отбора приводит к увеличению числа ступеней в каскаде и
суммарного потока. Важно отметить, что отношение PP1 ограничено сверху. Существование предельной величины PP1 объясня-
ется тем, заданная концентрация ключевого компонента не может быть достигнута ни в одном сечении каскада.
2.3.4.5.Аппроксимация каскадов непрерывного профиля прямоугольно-секционированным каскадом
Проектировочный расчет прямоугольно-секционированного каскада по заданному отбору и ограничениям диапазона концентраций целевого изотопа в потоках отбора и отвала заключается в определении следующих его параметров: число, длина и потоки
секций, отношение потоков отвала и отбора WP . При этом, как
правило, значения параметров должны соответствовать значениям, оптимальным по тому или иному критерию. Использование методов непосредственного расчета целевых каскадов для концентрирования заданного компонента представляется неэффективным, поскольку концентрации компонентов в отборе многокомпонентного каскада существенно зависят от распределения потоков, вследствие чего профиль целевого каскада предугадать невозмож-
224
но. Поэтому проектировочные расчеты целесообразно проводить на основе модельного каскада непрерывного профиля.
До настоящего времени вопрос о модельном каскаде, обеспечивающем в случае «слабого» разделения условие ∑ L = min , оста-
ется открытым. На практике в качестве модельного каскада непрерывного профиля удобно использовать рассмотренный ранее Q -
каскад («свободный» каскад), с помощью которого сравнительно просто решается вопрос о концентрировании промежуточных компонентов.
Принципиальная возможность замены Q -каскада каскадом из
секций постоянной ширины впервые была продемонстрирована в работе [12]. В [17] предлагается один из возможных критериев аппроксимации и разрабатывается методика расчета ПСК, распределение концентраций в котором наиболее близко к распределению концентраций в модельном Q -каскаде. Задача о замене участка Q -
каскада, работающего в диапазоне концентраций от ci,нач до ci,кон
( (i =1,…, m где m – число компонентов смеси), секцией постоянной ширины сформулирована следующим образом [17]: найти такие значения потока L и числа ступеней S в секции, при которых отклонения полученных в результате расчета концентраций в конце прямоугольной секции ci от заданных значений ci,кон мини-
мальны. При этом предполагается, что концентрации в начале секции и в отборе каскада ciP совпадают с соответствующими концентрациями Q -каскада. В качестве критерия аппроксимации удобно
использовать сумму относительных отклонений концентраций компонентов в конце секции
m |
c |
−c |
|
|
φ = ∑ |
i,кон |
i |
|
(2.216) |
c |
|
|||
i=1 |
i,кон |
|
|
Расчет отдельных секций наиболее целесообразно проводить методом непосредственного интегрирования системы (2.63) – (2.64). Если считать, что концентрации в начале секции заданы
ci (0) = ci,нач, i =1,…, m −1 |
(2.217) |
225 |
|
то расчет секции сводится к решению уравнений (2.63)-(2.64), т.е. с начальными условиями (2.217), т.е. к обычной задаче Коши. Поскольку значения концентраций в каждой точке секции при извест-
ных концентрациях в потоке отбора ciP и отвала ciW зависят от
координаты s , отсчитываемой от начала секции, и потока секции L , задача сводится к поиску таких значений s и L , при которых функция (2.216) минимальна. На рис. 2.9 представлены зависимо-
|
ci,кон −ci,нач |
= |
c |
|
|
сти относительных отношений концентраций |
|
i |
и |
||
c |
c |
||||
|
|
|
|||
|
i,кон |
|
i,кон |
|
функции (2.216) от приведенного потока ε0 L2P в каскаде постоянной ширины, аппроксимирующего Q -каскад, для шестикомпо-
нентной смеси изотопов криптона. Из рисунка видно, что в точке, соответствующей минимуму функции (2.216), относительные отношения концентрации малы и не превышают 3%.
Таким образом, критерий (2.216) позволяет с определенной точностью рассчитать ПСК, в котором распределения концентраций компонентов близки к их распределению Q -каскаде. Однако этот
ПСК в общем случае не оптимален по значению суммарного потока, являющегося одним из основных критериев оценки эффективности каскада, несмотря на то, что в критерии (2.216) использованы концентрации в соответствующих сечениях оптимального Q −кас-
каде.
Рис. 2.9. Зависимость относительных отклонений концентраций и функции невязки (2.216) от приведенного потока ε0L / P [17]
226
На рис. 2.10 представлены профили потока и распределения концентраций компонентов для двух прямоугольных каскадов, заменяющих Q -каскад, оптимальный в отношении суммарного по-
тока. Оптимизация Q-каскада сводится к нахождению параметра М (формула (2.113)), соответствующего минимальному значению суммарного потока в каскаде. Параметры одного из каскадов выбраны в соответствии с минимумом функции (2.216), а второго – в результате оптимизации суммарного потока. Расчеты проведены для случая разделения трехкомпонентной модельной смеси с концентрациями в потоке питания c1F = 0,2; c2F = 0,3; c3F = 0,5.
Задача оптимизации имеет следующую формулировку: определить параметры каскада с заданным отбором и концентрациями целевого компонента в потоке отбора из области допустимых значений (формулы (2.115) – (2.120)), соответствующих минимуму суммарного потока.
Рис. 2.10. Распределение концентраций компонентов модельной трехкомпонентной смеси в каскаде прямоугольного профиля: a) – получено в результате аппроксимации Q-каскада по критерию (2.216); б) – оптимальное [18]
227
Из зависимостей, приведенных на рис. 2.10, следует, что аппроксимация по критерию (2.216) не решает основной задачи – получить оптимальный ПСК на основе оптимального Q -каскада, так
как суммарный поток, профиль и распределения концентраций в ПСК, полученных при аппроксимации, не совпадают с оптимальными. Так, в данном случае отклонение суммарного потока от его минимального значения составляет ~10%, а для смесей другого состава оно может быть и больше.
В работе [18] предложена методика аппроксимационного расчета ПСК и одновременной его оптимизации по какому-либо критерию. Методика основана на использовании целевой функции оптимизации, учитывающей как критерий оптимальности, так и сумму отклонений компонентов на стыке обогатительной (отборной) и обеднительной (отвальной) частей. В случае, когда в качестве критерия оптимальности выбран суммарный поток, целевая функция имеет вид
φ = K1 ∑ |
|
P |
W |
|
+ K2 |
∑ LПСК |
(2.218) |
|
|
||||||
|
cif |
−cif |
|
∑LQ |
|||
|
|
|
|
|
где ciP, f , ciW, f (i =1,…, m) – концентрации в точке подачи пита-
ния, полученные в результате интегрирования системы (2.63)-(2.64) по длине обогатительной (отборной) и обеднительной (отвальной) частей по направлению от концов каскада к точке подачи питания.
∑ LПСК , ∑ LQ – суммарные потоки аппроксимирующего ПСК и
Q -каскада соответственно. Целевую аппроксимацию осуществляют в процессе оптимизационного поиска параметров каскада, при которых значение функции φ минимально. На каждом этапе опти-
мизации проводят только интегрирование системы (2.63) – (2.64) с граничными условиями
ciP = ciPQ , ciW = ciWQ , i =1,…, m , |
(2.219) |
где ciPQ , ciWQ – концентрации на концах аппроксимируемого Q -
каскада.
Первый член функции (2.218) определяет точность расчета ПСК, соответствующего оптимальному Q -каскаду и имеющего те
228
же концентрации компонентов на концах. Второй член характеризует степень приближения ПСК к оптимальному по суммарному потоку Q -каскаду и является величиной обратной КПД* формы
ηФ . Следует отметить, что вместо КПД формы можно использовать отношение длин ПСК и Q -каскада или какой-либо другой
критерий.
Для повышения точности расчета необходимо, чтобы члены функции (2.218) были одного порядка. С этой целью введены нор-
мирующие коэффициенты K1 и K2 . Их соотношения зависят от
числа компонентов, состава исходной смеси, значения ключевого компонента в исходной смеси и значения его обогащения. Для оп-
ределения диапазона изменения отношения K2 K1 в работе [18] исследовали зависимости концентраций компонентов в потоках отбора и отвала и значения 1ηΦ для изотопных смесей различного состава. В результате было определено, что для смесей различного состава с числом компонентов от 3 до 6 отношение K1 K2 изме-
няется в пределах от 10 до 30.
На рис. 2.11 приведены зависимости концентраций целевого компонента с2 рассмотренной трехкомпонентной смеси в потоках отбора и отвала и значения обратного КПД формы от отношения коэффициентов K1 K2 . Видно, что для исследованной смеси в указанном диапазоне изменения K1 K2 полученный в результате
аппроксимации каскад имеет близкие к оптимальным КПД формы и концентрации целевого компонента в потоке отбора и отвала.
При больших K1 K2 вторым слагаемым в (2.218) по сравнению с
первым можно пренебречь, и результатом аппроксимации является ПСК близкий к рассчитанному по критерию (2.216) с КПД равным
ηΦ |
. При малых K1 K2 может нарушаться условие непрерывно- |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
Под КПД формы условно понимают в данном случае отношение |
|||
η |
|
= |
|
∑ LQ |
. |
|
|
|
|
||||
Ф |
|
|
|
∑ LПСК |
||
|
|
|
229 |
сти концентраций компонентов в точке подачи питания. В этом случае для уточнения расчета необходимо решить систему
|
|
|
|
cP |
f |
= cW |
|
|
|
|
|
|
i, |
i, f |
, |
(2.220) |
|
|
|
|
|
PciP +WciW |
|
|
||
|
|
|
|
= FciF , i = 1,…, m |
|
|||
где |
cP |
, |
cW |
- концентрации i-го компонента в точке подачи пи- |
||||
|
i, f |
|
i, f |
|
|
|
|
|
тания, полученные из расчета от концов каскада, отборного и отвального, соответственно.
Полученные в результате этого решения значения концентраций
целевого |
компонента в |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
потоках отбора и отвала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
η |
|
|
|
cP |
1/ηФ1 |
|
|
|
|
|||||||||||
могут |
существенно |
от- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
личаться |
от |
заданных |
|
|
|
|
|
|
1/ηопт |
|
1/η |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(см. рис. 2.9). Таким об- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
разом, |
схема |
расчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
оптимального |
ПСК |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ηФ1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
данной методике имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
следующий вид: расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
оптимизация |
Q - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln K1 / K2 |
||||||||
каскада; одновременный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
расчет |
и |
оптимизация |
Рис. 2.11. Зависимость1/η |
и концентра- |
||||||||||||||||
ПСК, |
аппроксимирую- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
||||||||
ции целевого компонента модельной трех- |
||||||||||||||||||||
щего этот Q -каскад; |
компонентной смеси в потоке отбора c2P и в |
|||||||||||||||||||
уточнение |
концентра- |
потоке |
отвалаc2W каскада |
прямоугольного |
||||||||||||||||
ции целевого компонен- |
профиля [18] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
та |
в потоках |
отбора и |
|
|
|
|
|
|
отвала полученного каскада. Целесообразно оптимизацию Q − кас-
када и ПСК проводить по одному критерию. Изложенный подход может быть использован и при расчете каскадов, имеющих несколько потоков отбора и отвала.
230