Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

Список литературы

1.Cohen K. The theory of isotope separation as applied to the large scale production of U-235. N.Y.: McGraw-Hill, 1951.

2.Benedict M., Pigford T.H. Nuclear Chemical Engineering. N.Y.: McGraw-Hill, 1957.

3.Обогащение урана / Под. ред. С.Виллани. Пер. с англ., М.: Энергоатомиздат, 1983.

4.Agostini J.-P. Theory of cascades in isotope separation. Report CEA-R-5666, 1994.

5.Сазыкин А.А. Термодинамический подход к разделению изотопов, в кн. Изотопы (Свойства. Получение. Применение.) / Под ред. В.Ю. Баранова. М: ИздАТ, 2000, С. 72-108.

6.Whitley S. Review of the gas centrifuge until 1962. Part 1 and 2.

//Rev. Modern Physics. 1984. No. 56. P. 41-97.

7. Розен А.М. Теория разделения изотопов в колоннах. М.: Атомиздат, 1960.

8.Sulaberidze G.A., Borisevich V.D. and Gorbanev A.M. Modern

concept of separation power and bounds of putting it into practice. // Proc. 5th Workshop on Separation Phenomena in Liquids and Gases. Iguassu Falls, Brazil, 1996. P. 33-347.

9.Kanagawa A., Yamamoto I. Separative power with respect to desired and undesired materials // Nucl. Sci. And Technol. 1977. V. 14[8]. P. 565-571.

10.Палкин В.А. Потенциал и разделительная способность в процессах разделения бинарных смесей изотопов // Атомная энер-

гия. 1998. Т. 84. Вып. 3. С. 253-259.

11.Yamamoto I. and Kanagawa A. Optimum cut of separating element as a function of total separation factor // J. Nucl. Sci. and Technol. 1990. V. 27(6). P. 584-586.

12.Fenske M.R. // Ind. Engng. Chem. 1932. V. 24. P. 483.

13.Колокольцов Н.А., Лагунцов Н.И. К теории разделительных каскадов с произвольным обогащением на ступени // Атомная энергия. 1969. Т. 27. Вып. 6. С. 560-561.

14.Olander D.R. Design of ideal cascades of gas centrifuges with variable separation factors // Nucl. Sci. and Engng. 1976. V. 60. P. 421434.

151

15.Yamamoto I., Kanagawa A. Separation power of ideal cascade with variable separation factors // J. Nucl. Sci. and Tecnol. 1978. V. 15[6]. P. 426-432.

16.Борисевич В.Д., Лагунцов Н.И., Сулаберидзе Г.А. и др. Методы оптимизации каскадов для разделения двух и многокомпонентных изотопных смесей // Тезисы докладов II-го Международного симпозиума стран-членов СЭВ по стабильным изотопам. Тби-

лиси, 27-30 ноября 1989. С. 28-30.

17.Палкин В.А. Оптимизация каскада при произвольно заданных коэффициентах разделения ступеней // Атомная энергия. 1997.

Т. 82. Вып. 4. С. 295-301.

18.Палкин В.А. Определение оптимальных параметров каскада из газовых центрифуг // Атомная энергия. 1998. Т. 84. Вып. 3.

С. 246-253.

19.Sulaberidze G.A., Borisevich V.D.,Morin P.B, Wood H.G. On ideal and optimum cascades for separation of binary isotope mixtures // Proc. 8 th Workshop on Separation Phenomena in Liquids ans Gases. ORNL, TN, USA, October 12-16, 2003.

20.Borisevich V.D., Sulaberidze G.A., Wood H.G. The theory of isotope separation in cascade: problems and solutions // Ars Separatoria Acta. 2003. No. 2. P. 107-124.

21.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирова-

ние. М., 1975.

22.Палкин В.А., Фролов Е.С. Неоптимальные свойства идеального каскада с симметричными ступенями. // Атомная энергия. 2005. Т. 99. Вып. 3. С. 184-190.

23.Борисевич В.Д., Борман В.Д., Сулаберидзе Г.А., Тихомиров А.В., Токманцев В.И. Физические основы разделения изотопов в газовой центрифуге. Учебное пособие / Под ред. В.Д.Бормана, 2005.

24.Artyukhov A.A., Babichev A.P., Knyasev I.Yu. et al. Centrifugal enrichment of cadmium isotopes as the basis for further experiments on physics of weak iteractions // Nucl. Instr. & Meth. 1997. A 401. P. 281288.

25.Aisen E.M., Borisevich V.D., Potapov D.V. et al. Computing experiments for study of cadmium isotope separation by gas centrifuges // Nucl. Instr. & Meth. 1998. A 417. P. 428-433.

152

26.Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников. М.: Наука, 1973.

27.Палкин В.А., Фролов Е.С. Расчет и свойства прямоугольного каскада с заданными внешними концентрациями по целевому изотопу // В Сб. Трудов VII Всеросс. (Международной) научной конференции «Физико-химические процессы при селекции атомов и молекул», 30 сентября04 октября 2002 г., Звенигород, ЦНИИАто-

минформ, 2002, С.124-129.

28.Филиппов И.Г. Метод расчета разделительных каскадов с большими обогащениями на ступенях // ТОХТ. 1996. Т. 30. С. 175179.

29.Лагунцов Н.И., Левин Е.В., Сулаберидзе Г.А. К расчету на ЭВМ нестационарных процессов в многоступенчатых каскадах для разделения двухкомпонентных изотопных смесей // ИФЖ. 1976. Т. XXXI. №3. С. 506-513.

30.Лагунцов Н.И., Левин Е.В., Сулаберидзе Г.А. Особенности нестационарного массопереноса в каскадах для разделения бинарных смесей изотопов // ИФЖ. 1986. Т. L. № 5. С. 798 -803.

31.Сулаберидзе Г.А., Левин Е.В. Разработка РРМ (Руководящего расчетного материала) на основе каскадных уравнений для исследования флуктуации внешних потоков на переходные процессы

водиночных колоннах и каскадах из колонн. Книга 2: Исследование нестационарного массопереноса при разделении двух- и многокомпонентных смесей, Отчет МИФИ, 1985, рег.№01.82.0092641, 130 с.

32.Higashi K., Oya A., Oishi Y. // Nucl. Sci.Engng. 1968. V. 32.

P. 159.

33.Сулаберидзе Г.А., Лагунцов Н.И. К расчету нестационарного процесса в идеальном каскаде для разделения двухкомпонентной изотопной смеси // ТОХТ. 1973. Т. VII. № 3. С. 328-334.

34.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1953.

35.Джонс К., Ферри В. Разделение изотопов методом термодиффузии. М.: Иностранная литература, 1947.

36.Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.И. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск, Наука и техника, 1971.

37.Bardin J. // Physics Rev. 1940. V. 58. 94(L).

153

38.Ран Ф., Адамантиадес А., Кентон Дж., Браун Ч. Справочник по ядерной энерготехнологии / Под ред. В.А.Легасова. Пер. с англ. М.: Энегоатомиздат, 1989.

39.Николаев Б.И., Князев И.С., Лагунцов Н.И. и др. Теория оптимальных каскадов для разделения смесей на полупроницаемых мембранах // ТОХТ. 1979. Т. XIII. № 1. С. 10-16.

40.Bouligand G. // CEA Rep. 2622, 1965, UK AEA Prod. Group, inform ser. 16.

41.Колокольцов Н.А. К вопросу о построении идеальных несимметричных разделительных каскадов // Атомная энергия. 1969.

Т. 27. Вып. 1. С. 9-13.

42Olander D.R. Two-up, one-down ideal cascades for isotope separation // Nuclear Technology. 1976. V. 29. P. 108-112.

43.Wolf D., Borowitz J.L., Gabor A., Shraga Y. A general method for the calculation of an ideal cascade with asymmetric separation units

//Ind. Eng. Chem. Fundam. 1976. V. 15. № 1. P. 15-19.

44.Kanagawa A., Yamamoto I., Mizuno Y. Separative power of 2- up and 1-down ideal cascade // J. Nucl. Sci. Technol. 1977. V. 14[12]. P. 892-900.

45.Колокольцов Н.А., Лагунцов Н.И. К теории несимметрчных

разделительных каскадов при произвольных обо гащениях на разделительном элементе // Атомная энергия. 1970. Т. 29. Вып. 4.

46.Николаев Б.И., Князев И.С., Лагунцов Н.И., Сулаберидзе Г.А., К расчету несимметричных каскадов из элементов мембранного типа // ТОХТ. 1980. Т. XIV. № 1. С. 29-35.

47.Березин И.С., Жидков Н.Л. Методы вычислений. Т. 2, гл. X.

М.: Наука, 1966.

48.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.В. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

49.Бабушка И., Витасек Э, Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

50.Ракитский Ю.В. Новые численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений // Труды ЛПИ (Теория и техника вычислительных устройств). 1973.

№332. С. 88-97.

51.Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука. 1979.

154

52. Синев Н.М. Экономика ядерной энергетики. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1987.

155

Приложение 1

Численный метод решения уравнения нестационарного процесса [29]

Ниже представлена дифференциально-разностная модель уравнений нестационарного процесса. Эту модель можно рассматривать как предельный случай сеточной модели, когда одни из линейных размеров сетки (в нашем случае по временной координате) стремится к нулю. В литературе эта модель известна под названием «метода прямых» [48]. Суть его применительно к рассматриваемой краевой задаче состоит в том, что интервал изменения координаты y для каждой секции каскада делится на n частей с шагом y и

через внутренние точки проводится семейство параллельных прямых. На каждой прямой дифференциальное уравнение заменяется обыкновенным дифференциальным уравнением для функции

c ( y + k	y,τ) = ci	(τ) . Таким образом, краевая задача сводится к
i	k

задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени.

При переходе к задаче Коши замена первой и второй производных на выбранных прямых симметричными конечно-разностными соотношениями дает [48]

∂ck = ck +1 −ck −1 ,

∂y 2 y

∂2ck = ck +1 −2ck +ck −1 .

∂y2 y2

(П1.1)

(П1.2)

После чего уравнения (1.277) и (1.278) преобразуют в систему обыкновенных дифференциальных уравнений типа

	dck	= f (ck+1,ck ,ck−1 ), k =1,2,…, k −1. (П1.3)
	dτ

В граничных точках (точках «стыка» секций и на концах каскада) формулы (П1.1) и (П1.2) использовать нельзя, поскольку в этих точках существуют только односторонние производные. Анализ показывает, что в данном случае хорошие результаты дает применение формул Адамса – Башфорта и Адамса – Мултона [49]

156

∂ck+∂y∂ck−∂y

= −ck +2 +4ck +1 −3ck

2 y

. (П1.4)

= 3ck −4ck −1 −ck −2

2 y

Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений должна решаться численно. Применение её для решения традиционных (классических) методов типа Эйлера или Рунге-Кутта нецелесообразно. Это связано с тем, что система уравнений оказывается жесткой, т.е. исследуемый процесс описывается несколькими частными решениями с большим разбросом производных во времени, за счет чего при использовании классических методов развивается неустойчивость, и наибольший допустимый шаг интегрирования оказывается слишком мал.

Для решения (П1.3) целесообразно использовать так называемый «системный» метод численного решения дифференциальных уравнений [50, 51], который учитывает общие свойства решаемой системы и позволяет значительно увеличить шаг интегрирования по сравнению с классическими методами. Суть метода – применение явной одношаговой аппроксимации

τ
c(τ + τ) = c(τ) + f (τ,c(τ) ∫exp(At)dt ,	(П1.5)
0
где f – вектор-функция правых частей системы (П1.3);	A – по-

стоянная квадратная матрица, имеющая порядок, равный размерности системы k . Интеграл в правой части (П1.5) называют стабилизирующей матрицей, поскольку способ задания подынтегрального выражения определяет свойства численного метода. Для обеспечения устойчивости при достаточно больших τ , матрицу A следует задавать как матрицу Якоби системы (П1.3).

Построение стабилизирующей матрицы основано на следующем рекуррентном соотношении:

Φν +1 =Φν (2I + AΦν ), ν = 0, 1,…, n −1,

(П1.6)

с начальным условием

157

Φ0 = h∑R	(Ah)r		; h = 2−n Δτ ,	(П1.7)
r =1 (r +1)!

где I – единичная матрица. Число R и n выбирают так, чтобы их изменение на единицу не приводило бы к изменению коэффициентов матрицы более чем в шестом-седьмом разряде.

Некоторые трудности при использовании «системного» метода вызывает необходимость многократного вычисления стабилизирующей матрицы, которая в общем случае является функцией времени. Однако при решении задач нестационарных процессов матрица Якоби на отдельных достаточно больших участках интервала интегрирования изменяется слабо. Поэтому необходимость пересчета стабилизирующей матрицы сводится к разумному минимуму, и его время занимает малую часть общего времени решения задачи.

Устойчивость данной схемы расчета очень слабо зависит от величины шага дискретности l . Поэтому величину l следует задавать только исходя из требований к точности получаемых результатов. Применение «системного» метода дает возможность увеличить шаг τ в 20-30 раз по сравнению с классическими методами и, соответственно, резко сократить время вычислений. В принципе, шаг может быть доведен до τ =1, что позволяет за 50 ÷100 шагов практически до конца рассчитать нестационарный процесс в разделительном каскаде.

При числе компонентов смесей изотопов больше двух, размерность интегрируемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений увеличивается в ( m −1 ) раз, где m -число компонентов смеси. Одновременно в несколько раз возрастает требуемое количество пересчетов матрицы Φ. Поэтому применение рассмотренной расчетной схемы целесообразно ограничить только задачами разделения бинарных смесей.

158

Приложение 2

Основные правила операционного исчисления. Операторное изображение

Операционное исчисление каждой однозначной функции (ори-

гиналу) f (t) переменного t	ставит в соответствие	некоторую
функцию [ f ( p)]* с помощью преобразования
	∞
[ f ( p)]* = f * ( p) = p∫ f (t)e− pt dt .		(П2.1)
	0
Выражение (П2.1) называется	интегралом Лапласа,	а функция

f * ( p) называется преобразованием Лапласа или операторным изображением функции f (t) . Например, изображение экспоненциальной функции будет

	e−at * = p	∞		p
		∫	e− pt e−at dt =		.	(П2.2)
				p −a
		0

Преобразование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям над оригиналами f (t) соответствуют более про-

стые соотношения и операции над изображениями f * ( p) . Оно

применяется для решения дифференциальных и интегральных уравнений: метод решения заключается в преобразовании данного уравнения, содержащего оригиналы f (t) , в эквивалентное уравне-

ние относительно соответствующих изображений Лапласа f * ( p) .

Одно из основных свойств преобразования (П2.1) – его линейность: изображение суммы равно сумме изображений, то есть

[f1 + f2 ]* = f1* + f2* ,	(П2.3)
если λ =const, то
[λ f ]* = λ f * ,	(П2.4)

и в соответствии с (П2.1) изображения первой и второй производной функции имеют вид

f ' (t) * = p f * ( p) − f (0)				,	(П2.5)
		159

f " (t) * = p			f * ( p) − f (0)	−	f ' (0)		,	(П2.6)
		2			p

где f * ( p) – по-прежнему изображения функции, f (0) и f ' (0) –

значения функции и ее производной при t = 0 . Нетрудно убедиться также, что

t	*		f	*	( p)
∫ f (t)dt		=				.	(П2.7)
0					p

соотношения (П2.3) – (П2.7) позволяют, например, найти изображение решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с помощью чисто алгебраической операции. Пусть, например, уравнение имеет вид

f " (t) + a f ' (t) + b f (t) = Ψ(t) ,

(П2.8)

трансформируя уравнение (П2.8) с помощью интеграла Лапласа (П2.1) и учитывая свойства линейности (П2.3), (П2.4), получим

[ f " (t)]* + a[ f ' (t)]* + b[ f (t)]* = Ψ* (t) .

(П2.9)

Подставляя в (П2.9) изображения производных (П2.5) и (П2.6) и решая полученное алгебраическое уравнение относительно f * (P) ,

найдем изображение решения
f * ( p) =	Ψ * ( p) +( p2		+ap) f (0) + pf ' (0)	≡	F ( p)
					1		, (П2.10)
		p2	+ap +b		F	( p)
					2

чтобы получить решение в виде функции от t , необходимо перейти от изображения к оригиналу, т.е. осуществить обратное преобразование.

Если задано уравнение с частными производными (от двух переменных), можно произвести преобразование по одной из переменных, (например, по времени); одновременно трансформируются и граничные условия. Тогда уравнение превратится в обыкновенное и может быть сравнительно легко решено.

Отыскание оригинала

После нахождения операционного изображения решения, необходимо определить соответствующую ему функцию перемен-

160