Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011
.pdf
|
|
|
|
ϕiGi (l +1) −(1−ϕi )Gi (l) = Ji . |
(2.124) |
||||||||||||||||||||||||||
С учетом (2.122) уравнения (2.124) преобразуются к виду |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
G (l +1) −G (l) |
= 2 |
|
εi |
|
|
|
|
|
G (l) + |
2Ji |
, i =1, 2, ..., m . |
(2.125) |
|||||||||||||||||||
1+εi |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
1+εi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для случая, когда εi |
<< 1, уравнение (2.125) можно переписать |
||||||||||||||||||||||||||||||
в виде |
|
|
dGi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
== −2ε |
i |
G |
|
|
+2J |
, i =1, 2, |
..., m . |
(2.126) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
этого |
|
|
уравнения, |
удовлетворяющее условию |
||||||||||||||||||||||||||
Gi (0) = 2PciP |
/ϕi |
при εi << 1, есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Gi (l) = |
PciP |
|
(1 |
− exp(−2εi l)), i =1, 2, ..., m. |
(2.127) |
||||||||||||||||||||||||||
εi |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Полный поток через ступень определяется выражением |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
c |
jP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
L(l) = P |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
1− exp(−2ε |
|
l) |
. |
(2.128) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для концентрации i -го компонента получаем выражение: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
G |
(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ciP |
|
1−exp(−2ε |
l) |
] |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
c (l) = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ε |
i |
[ |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.129) |
|||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cjP |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∑Gj (l) |
|
|
|
1 |
− exp(−2ε |
|
l) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∑j 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каскад, производительность ступени которого определяется формулой (2.128), в работе [3] назван «свободным» каскадом.
Сравнение (2.99) и (2.127), (2.100) и (2.128), (2.101) и (2.129) пока-
зывает, что при условии Qi ≡ 2εi введенные выше понятия Q −каскада и «свободного» каскада идентичны.
На примере диффузионной ступени в работе [3] выявлен физи-
ческий смысл констант εi (или Qi ). |
|
εi −εk = εik′ =εik / 2 , |
(2.130) |
то есть 2εi ≡ Qi , 2εk ≡ Qk .
201
и в частности,
Qk = −Qn |
(2.133) |
При задании Qi в виде (2.132) из (2.107) и (2.108) с учетом уравнений баланса (2.43) можно непосредственно получить
RP |
≡ |
cnP |
|
|
cnF |
= exp(Q S |
p |
) |
(2.134) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
nk |
|
ck P |
|
|
ck F |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RW |
≡ |
cnW |
|
|
|
cnF |
|
= exp(−Q S ) |
(2.135) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
nk |
|
ckW |
|
ck F |
n |
|
W |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где индексы P и W показывают, что значения относительных концентраций Rnk взяты для потоков отбора и отвала соответственно.
Уравнения (2.134) и (2.135) означают, что в выбранном каскаде
относительные концентрации R |
= |
cn |
на входах в разделитель- |
|
|||
nk |
ck |
|
|
|
|
|
ную ступень одинаковы, то есть выполняется условие несмешивания относительных концентраций Rnk .
Из соотношений (2.134) и (2.135) следует, что задание относительных концентрацийRnk в потоках отбора и отвала позволяет
однозначно определить количество ступеней SP и SW , и следова-
тельно, в соответствии с формулами (2.99) – (2.104), (2.107) – (2.110) полностью рассчитать каскад.
Одновременно при задании Qi в виде (2.132) выражение для
суммарного потока (2.121) существенно упрощается. Действительно, из (2.107) и (2.108) с учетом условия (2.133) имеем
Pc |
(exp(−Q S |
|
) −1) = −Pc |
|
|
ci, f |
|
|
Q |
(exp(Q S |
|
−1)) |
|
||||
P |
|
|
|
|
|
i |
P |
(2.136) |
|||||||||
|
|
|
|
Q |
|||||||||||||
iP |
i |
|
|
k P c |
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k , f |
|
|
n |
|
|
|
|
||
Pc |
(exp(Q S |
) −1) |
= −Pc |
|
|
|
ci, f |
|
Q |
(exp(Q S |
|
−1)) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
(2.137) |
||||||||
k W c |
Q |
|
|||||||||||||||
iW |
i W |
|
|
|
n W |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k , f |
|
|
n |
|
|
|
|
||
Суммируя (2.136) и (2.137) с учетом (2.43), (2.134) и (2.135), |
|||||||||||||||||
можно получить равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
PciP (exp(−Qi SP −1)) +WciW (exp(Qi SW −1)) = 0 , |
(2.138) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
203 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливое для любого i . Кроме того, непосредственно из соотношений (2.134), (2.135) с учетом уравнений баланса (2.43) следует:
|
Pc S |
P |
−Wc |
S |
= |
Pc |
ln RP |
+Wc |
ln RW |
− Fc |
ln RF |
|||||||
|
iP |
|
iW |
W |
|
|
iP |
nk |
|
iW |
nk |
iF |
nk |
, (2.139) |
||||
|
|
|
Qi |
|
|
|
|
|
|
Qi Qn |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где RP |
= |
cnP |
, |
RW |
= |
cnW |
, RF |
= |
cnF |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
nk |
|
ckP |
nk |
|
|
ckW |
nF |
|
ckF |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив соотношения (2.138) и (2.139) в выражение для сум-
марного потока (2.121) и заменив Qn |
и Qi |
по формулам (2.131), |
|||||||||
(2.132), получим |
|
P |
W |
F |
|
||||||
|
2 |
m |
|
|
|||||||
∑ L = |
∑ |
PcjP ln Rnk +WcjW ln Rnk − FcjF ln Rnk |
. |
(2.140) |
|||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
ε0 j=1 |
|
(Mk −Mn ) |
Mk + Mn |
|
−M j |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Уравнение (2.130) с учетом (2.134), (2.135) и (2.43) легко преоб- |
|||||||||||
разуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
PciP (RnkP )−di +WciW (RnkW )−di − FciF (RnkF )−di |
= 0; |
|||||||||
|
di = |
Qi |
, i =1.…, m, i ≠ n, k. |
|
|
(2.141) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Уравнения (2.141), связывающие внешние потоки R-каскада и концентрации компонентов в этих потоках, носят названия Н- баланса [13]. Следует иметь в виду, что уравнения (2.141) содержат m − 2 независимых соотношений, так как при i = n и i = k они трансформируются в уравнения покомпонентного баланса для n - го и k -го компонента. Уравнения (2.141), совместно с уравнениями покомпонентного баланса (2.43) ( m уравнений) и очевидными
m |
m |
соотношениями ∑cjP =1 и |
∑cjW =1 образуют систему |
j=1 |
j=1 |
m − 2 + m + 2 = 2m независимых алгебраических уравнений, содержащую 2m + 3 неизвестных параметра ( 2m выходных концентраций: ciP и ciW , потоки P,W и F ). Таким образом, проектиро-
вочный расчет R-каскада предполагает задание (2m + 3) − 2m = 3
204
параметров (например, ciP , ciW и P ), остальные параметры опре-
деляются из решения указанной алгебраической системы.
В разделительной практике могут встречаться варианты расчета каскада из заданного числа разделительных элементов, т.е. каскадов с известным суммарным потоком. В этом случае система алгебраических уравнений должна быть дополнена уравнением (2.140), после чего для её решения достаточно задать лишь два па-
раметра (например, cnP и P ).
Заметим, что при k = n +1 получается R-каскад, позволяющий выделять в потоке отбора целевой (n-й) компонент вместе с компонентами 1-ым, 2-ым, …, (n-1)-м и препятствовать появлению в этом потоке компонентов с номерами n+1, n+2, … , m.
Рассмотренный частный случай Q -каскада (R-каскад) при пере-
ходе к двухкомпонентной смеси позволяет получить формулы для идеального каскада без смешения концентраций на входах в ступень. Это непосредственно следует из формул (2.134), (2.135). Легко показать, что в этом случае формула для суммарного потока (2.140) также превращается в известную формулу для идеального каскада.
2.3.4.3.Решение системы уравнений каскада с несмешением по относительной концентрации для выбранной пары компонентов методом Б.В.Жигаловского [3]
Рассмотрим некоторую пару компонентов с номерами n и k как опорную. Отсчет ступеней будем вести от отборного конца каскада. Для k-го компонента уравнение обогащения может быть записано в виде
dck |
m |
|
2P (ckP −ck ) |
|
|
|
= −ck ∑εijcj |
+ |
, |
(2.142) |
|||
dl |
L |
|||||
j=1 |
|
|
|
где l = SP − s, SP – число ступеней в отборной секции каскада. Уравнение (2.142) перепишем в виде
1 |
|
dck |
m |
|
2PckP |
|
2P . |
|
|
= −∑εij cj |
+ |
− |
(2.143) |
||||
ck dl |
|
|||||||
j=1 |
|
Lck |
L |
|
Аналогично для n-го компонента имеем
205
Тогда из выражения (2.166) следует, что при i=n Qn = ε2nk , а
при i=k Qk = −ε2nk . С учетом обозначений (2.167) уравнение
(2.166) запишется
|
c |
|
|
|
|
m |
cjP |
|
−exp (−Qj SP ) . |
|
|||
ci, f = |
iP |
1 |
−exp (−Qi SP ) |
/ ∑ |
|
|
|
1 |
(2.168) |
||||
Q |
Q |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
j |
|
|
|
|
||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
Решая (2.168) относительно ciP и учитывая, что ∑cjP |
=1, по- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
лучаем |
|
|
|
Qici, f |
|
|
|
|
|
|
Qj cj, f |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||
|
ciP |
= |
|
/ ∑j=1 |
|
. |
(2.169) |
||||||
|
1−exp(−Qi SP ) |
1−exp(−Qj SP ) |
Выражения (2.161), (2.167) и (2.169) справедливы для той части каскада, которая считается отборной для самого легкого компонента.
Для отвальной секции каскада могут быть получены аналогичные выражения, которые будут иметь следующий вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
RW |
R |
αi −1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ci |
|
|
ck |
|
|
|
1 |
|
|
− |
nk |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
, |
|
(2.170) |
||||||
|
|
|
c |
|
c |
|
α |
i |
−1 |
|
|
|
1− |
RW |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
iW |
|
|
kW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
Rnk |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
cjW |
exp(Qj SP )−1 |
|
|
|||||||||||
ci, f = |
iW |
exp(Qi sW |
−1) |
/ ∑ |
|
|
|
|
, |
(2.171) |
|||||||||||||||||
Q |
Q |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i |
|
|
|
|
Qici, f |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qjcj, f |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ciW = |
|
/ ∑j=1 |
|
, |
|
(2.172) |
||||||||||||||||||||
|
exp(Qi SW ) −1 |
exp(Qj SW )−1 |
|
где SW – число ступеней в отвальной части каскада.
Выражения, связывающие концентрации компонентов в потоках отбора и отвала с концентрациями компонентов в потоке питания
ciF (i =1, 2, ..., m) можно найти, если воспользоваться условиями неразрывности концентраций компонентов в точке подачи питания.
210