Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008

3.2.F = f (ρuμ0d )ρ u02d 2 . Смотри (2.28).

3.3.При вязкостном режиме обтекания F = f (u0 , d, μ) . Раз-

мерности величин [u0 ] = м/с, [d ] = м, [μ ] = кг/(м·с), [ F ] = кг·м/с2. В соответствии с π-теоремой n = 4 , k = 3 и после приведения к безразмерному виду будем иметь одну безразмерную величину, а значит искомая величина с точностью до константы может быть представлена в виде произведения остальных величин в каких-то

степенях F = С u0α			d βμγ . Приравниваем размерности в последнем
	кг	м		м α		β	кг		γ
соотношении	с2		=		м				и, требуя, чтобы показатели
				с			м с

степени при м, кг и с слева и справа были одинаковы, получим сис-

тему уравнений для определения	α, β,	γ :
1 = α +β − γ , 1 = γ ,		− 2 = −α − γ ,

решая которую, находим α = β = γ =1. Таким образом, F = С u0 dμ . В соответствии с точным решением (см. задачу 2.17) С = 3π.

				ρω r		2
3.4. M = ρ r5ω2 f					0		.
					μ
		0
3.5.	u		y		τст		ρ
		= F					.
	τст ρ				ν

3.6. Согласно условиям задачи реализуется плоское движение жидкости. Приняв, что движение осуществляется в направлении

оси x , для поля скорости ux ( y, τ)				получим следующую задачу:
∂u	x	= ν	∂2u		x ,	(3.6.1)
∂τ				∂y2
ux ( y,		τ = 0) = 0 ,				(3.6.2)
ux ( y = 0, τ > 0) = u0 .						(3.6.3)
		101

Из (3.6.1) – (3.6.3) следует, что скорость является функцией следующих размерных величин

ux = f ( y, τ, ν, u0 ) .

(3.6.4)

Приведение (3.6.4) к безразмерному виду дает

u	x		y2
		= F		.	(3.6.5)
u
	0		ν τ

Безразмерная скорость зависит от одного комплекса, включающего координату и время. Переход к переменным, соответствующим (3.6.5), переведёт задачу (3.6.1) – (3.6.3) к уравнению в полных производных.

3.7. Согласно условиям задачи реализуется плоское движение жидкости. Приняв, что движение осуществляется в направлении оси x , для поля скорости их(у, τ) получим следующую задачу:

∂u	x = ν	∂2u	x ,	(3.7.1)
∂τ		∂y2
ux ( y, τ = 0) = 0 ,				(3.7.2)
ux ( y = 0, τ >0) = u0 ,				(3.7.3)
ux ( y = h,		τ >0) = 0 .		(3.7.4.)

Из (3.7.1) – (3.7.4) следует, что скорость является функцией следующих размерных величин

ux = f ( y,				τ, ν,			h,		u0 ) .	(3.7.5)
Приведение (3.6.4) к безразмерному виду дает
	u	x			y2			y
			= F			,			.	(3.7.6)
	u				ν τ			h
		0

Безразмерная скорость зависит от двух аргументов. Привести задачу (3.7.1) – (3.7.4) к уравнениям в полных производных нельзя.

					3
3.8. T	2	=	s	f (	ρ s	2	) .
			g		m

3.9. E = ρgλ3 f ( Aλ) .

102

3.10.r = C(Eτ2 ρ) 15 .

3.11.M = Cρ gh3 .

3.12. D = f (θ)		σ
	g(ρ	′	′′ .
			− ρ )

Vμ

3.13.δ = С ρ g .

3.14. T = C	m
	ρ g s .

3.15.E = CρgλA2 .

3.16.Примем, что пластина расположена в плоскости y = 0 и

обтекается потоком жидкости в направлении оси z . Система уравнений для поля скоростей и давлений в потоке жидкости имеет вид

∂uy

+

∂u

z

= 0

,

∂y

∂z

0 = − ∂p ,

∂x

ρuy

∂uy

+ ρuz

∂uy

= −

∂p

+ μ(

∂2uy

+

∂2uy

)

,

∂y

∂z

∂y

∂y2

∂z2

ρuy

∂u

z

+ ρuz

∂u

z

= −

∂p

+ μ(

∂2u

z

+

∂2u

z

) .

∂z

∂y

∂z

∂y2

∂z2

с условиями однозначности

uz ( y = 0, z ≥ 0) = 0 , uz ( y → ∞, z ≥ 0) = u∞ .

Из (3.16.1) – (3.16.5) следует, что компоненты скорости

(3.16.1)

(3.16.2)

(3.16.3)

(3.16.4)

(3.16.5)

uy и uz

(впрочем, как и давление р) являются функциями одинакового набора размерных величин

uz = f1( y, z, ρ, μ, u∞ ) ,

103

uy = f2 ( y, z, ρ, μ, u∞ ) .

(3.16.6)

Приведем первое из соотношений (3.16.6) к безразмерному виду, используя метод анализа размерностей. Выпишем размерные величины с их размерностями

[uy ] = м/с, [u∞ ] = м/с, [y] = м,

[z] = м, [ρ] = кг/м3, [μ] = кг/(м·с).

(3.16.7)

Из (3.16.7) следует: общее количество самостоятельно входящих в уравнение размерных величин n = 6 , количество групп однородных по размерности величин l = 4 , количество групп однородных по размерности величин с независимыми единицами измерения k = 3 . В соответствии с π-теоремой после приведения уравнения к безразмерному виду будем иметь всего три ( n − k = 3 ) безразмерные величины, в том числе два симплекса ( n −l = 2 ) и один комплекс ( l − k =1 ). Так как значение числа k совпадает с количеством исходных размерностей, то будем изменять последние. Перейдем к новым единицам

м → м Аl , с → с Аτ , кг → кг Аm

(3.16.8)

В новых единицах численные значения размерных величин в (3.16.6) изменятся

u

Al

= f

( yA

,

zA ,

ρ

Am

, μ

Am

,

u

Al

) .

(3.16.9)

z A

A3

A A

∞ A

1

l

l

τ

l

l

τ

τ

Зафиксируем значения трех комплексов

zA =1,

ρ

Am

=1,

u

Al

=1 .

(3.16.10)

A3

∞ Aτ

l

l

Из (3.16.10)

находим

A

=

1 ,

A

=

u∞

,

A

=

1

. Подставляя

ρz3

l

z

τ

z

m

найденные значения коэффициентов А в (3.16.9), получаем уравнение для uz в безразмерном виде:

u

z

f

y

ρu

∞

z

≡ f

y

=

3

,

3

, Re

z

. (3.16.11a)

u∞

μ

z

z

Аналогичный вид имеет безразмерное уравнение для uy :

104

uy

= f

y

ρu

∞

z

f

y

4

,

≡

4

,

Re

z

. (3.16.11б)

u∞

z

μ

z

Трение на стенке определяется соотношением

τст = μ

∂uz

.

(3.16.12)

∂y

y=0

Подставляя в

(3.16.12)

выражение

для

uz

в

соответствии с

(3.16.11а) найдем

τстz

= f5 (Rez ) или в эквивалентном виде, если

u∞μ

правую и левую части последнего соотношения поделить на Re z :

	τст	= F(Rez ) .	(3.16.13)
	ρu∞2

Из последнего следует, что коэффициент трения c f нии пластины зависит от числа Re z :

τст = c f (Re z )	ρu	2
	∞ .
	2

при обтека-

(3.16.14)

3.17. В приближении теории ламинарного пограничного слоя течение жидкости вблизи плоской пластины, омываемой продольным потоком со скоростью u∞ вдали от пластины, описывается

уравнениями

ρuy

∂u

z

+ ρuz

∂u

z

= μ

∂

2u

z

,

(3.17.1)

∂y

∂z

∂y2

∂uy

+

∂u

z

= 0

(3.17.2)

∂y

∂z

с условиями однозначности

uz ( y = 0,

z ≥ 0) = 0 ,

(3.17.3)

uz ( y → ∞, z ≥ 0) = u∞ .

Из (3.17.1) – (3.17.3) следует, что компоненты скорости uy и uz являются функциями одинакового набора размерных величин

uz = f1( y, z, ρ, μ, u∞ ) ,	(3.17.4)
105

uy = f2 ( y, z, ρ, μ, u∞ ) .

(3.17.5)

Приведем уравнения (3.17.4) и (3.17.5) к безразмерному виду, используя векторные единицы длины, то есть условно различные единицы для измерений по направлениям х, у, z – мх, мy, мz. Начнем с уравнения для продольной компоненты скорости uz .

Выпишем все размерные величины с их размерностями

[uz ]=	мz , [y]= мy , [z]= мz , [ρ]=						кг	,
	с						мxмyмz
	[μ]=	кг мy	, [u∞ ]=	м	z	.	(3.17.6)
		с мxмz
				с

Определение размерностей при использовании векторных единиц длины достаточно очевидно для всех величин в (3.17.6), кроме динамической вязкости μ . Ее размерность устанавливается из

уравнения (3.17.1) и условия, что размерности всех членов в уравнении должны быть одинаковы.

Для списка (3.17.6) n = 6 , l = 5 , k = 4 и в соответствии с π -теоремой после приведения уравнения к безразмерному виду получим две безразмерные величины ( n − k = 2 ), в том числе один симплекс ( n − l =1 ) и один комплекс ( l − k =1 ).

В соответствии с процедурой приведения уравнений к безразмерному виду изменим четыре независимые размерности из списка

(3.17.6), а именно –

перейдем к новым размерностям,

в Ai раз

меньшим старых:

м

y

→

мy

, м

z

→ мz

,

кг

→

кг

A

,

Ay

Az

мxмyмz

мxмyмz

ρ

мz →

мz

A .

(3.17.7)

с

с

u

В новых единицах численные значения размерных величин в

(3.17.4) изменятся
u	A	= f ( yA ,		zA , ρA ,		μ A A A2	A , u	∞	A ) . (3.17.8)
	z u	1	y	z	ρ	ρ u y	z		u

Зафиксируем четыре комплекса в (3.17.8)

106

	yAy =1,		zAz		=1,	ρAρ =1,				u∞ Au =1 .	(3.17.9)
Определим коэффициенты					Ai	из (3.17.9) и, подставляя их в
(3.17.8), получим уравнение для uz						в безразмерном виде
uz =	f	1, 1, 1,	μ z			, 1 =	f				(3.17.10)
								3	y	ρu∞ .
u∞	1		y	2	ρu∞
										μ z

Аналогично приводится к безразмерному виду уравнение (3.17.5). Однако, так как uy имеет размерность, отличную от uz ,

безразмерное уравнение отличается от (3.17.10) и содержит два безразмерных комплекса

uy z	=	f			ρu	∞		(3.17.11)
u∞ y			4	y			.
					μ z

Умножив правую и левую часть уравнения на безразмерный комплекс y ρμu∞z , получим другую формально эквивалентную

форму безразмерного уравнения, в котором содержится масштаб для поперечной скорости uy :

uy

ρu

∞

z

=

f

ρu

∞

(3.17.12)

u∞

4

y

.

μ

μ z

Трение на стенке определяется соотношением

τст

= μ

∂uz

.

(3.17.13)

∂y

y =0

Подставляя в (3.17.13) выражение

для

uz в

соответствии с

(3.17.10), найдем

τст = μ u∞

ρu∞

f4′(0) .

(3.17.14)

μ z

Соотношение (3.17.14) определяет вид коэффициент трения при обтекании пластины

107

τст	= c f (Rez )	ρu∞2	,	(3.17.15)
		2

с точностью до константы

c f (Rez ) =	2 f4′(0) =	C	,	Rez = u∞z .	(3.17.16)
	Rez	Rez		ν

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

ВКАНАЛАХ ЯЭУ

4.1.а) Мощность на прокачивание возрастет в 16,5 раз, б) расход уменьшится в 5 раз.

4.2.Уменьшится в 1,49 раз.

4.3.При прокачивании через одну трубу мощность на прокачивание меньше в 1,54 раза.

4.4.В 10,8 раза.

4.5.В соответствии с универсальным профилем для максимальной скорости имеем

um

= 2,5 ln

r0u

+ 5,5 ,

(4.5.1)

u

v

откуда

um

= u (2,5 2,3lg Re

u

+ 5,5)

u0

u0

2u0

или, так как u

u0 = λтр

8 ,

u

m =

λтр

(5,75lg Re

λтр + 5,5 − 5,75lg 2 8) .

(4.5.2)

8

u0

Из формулы Никурадзе

1

lg Re λтр

+ 0,8

.

(4.5.3)

= 0,5

λ

тр

Подставляя (4.5.3) в (4.5.2), получим

um =1,01 +1,25

λтр .

(4.5.4)

u0

108

Вычисления дают: при Re =104 um u0 =1,22 , при Re =105 um u0 =1,165 .

4.6.VквадVкруг = 0,917 .

4.7.Условия δ<< n и δ<< R для квадратной упаковки стержней вырождаются в одно δ<<d (sd −1) или

δ ≤

1

s

d

−1 .

(4.7.1)

20

d

Толщина слоя δ оценивается по формуле δ = 8dг

(Reλтр) . При

λтр = 0,316 Re0,25

и с учетом представления dг

квадратной решет-

ки получим

25d

4 s

2

δ =

−1 .

(4.7.2)

Re0,75

π d

Подставляя (4.7.2) в (4.7.1), найдем

0,75

≥

500

4

s

2

Re

(

)

−1 .

(4.7.3)

(s d −1)

π

d

Для s d =1,2 вычисления дают Re ≥ 26,6 103 .

4 s

2

4.8. Для квадратной решетки

dг = d

−1 , для треуголь-

π d

ной решетки

2

3 s

2

−

dг = d

1 .

π d

4.9.

Для i -го канала справедливо соотношение

p = Ψ

ρui2

,

i

2

li

( Ψ = ξ

+ λ

), из которого для скорости в i -ом канале следует

трi dгi

i

i

u

2

p 0,5

1

. При этом средняя скорость в системе равна

i

=

0,5

ρ

Ψi

109

N

∑ui Fi

N

2

p

0,5 N

ε

u

1

∑

u ε

∑

i

,

=

≡

=

ρ

Ψ0,5

N

i i

∑Fi

1

1

i

1

где εi = Fi F – доля i -го канала в суммарном проходном сечении

системы. Из последнего соотношения для перепада давления находим

N		ε	i	−2	ρ	u	2			ρ	u	2
	∑							≡ Ψ					,	(4.9.1)
p =		0,5			2					2
	1	Ψi

то есть эффективный коэффициент сопротивления системы связан

с				коэффициентами сопротивления каналов соотношением
1					N	ε	2
				=	∑	i	.
						0,5
		Ψ
					1	Ψi

4.10. В соответствии с условиями задачи для i -го канала спра-

0,316

l

ρu

2

u1,75

ведливо соотношение p =

i

или

p = c

i

,

(uidгi

0,25 dгi

ν)

2

d1,25Гi

из которого для скорости в i -ом канале следует

ui =

p

4 7

5

(4.10.1)

dгi7 ,

с

где обозначено

c =

0,316 lρν0,25

. При этом средняя скорость в сис-

2

теме равна

N

∑ui Fi

N

p

4

7

N

5

u =

1

≡ ∑uiεi =

∑εi dгi7 ,

(4.10.2)

N

∑Fi

1

с

1

1

где εi = Fi /F – доля i -го канала в суммарном проходном сечении системы. Из последнего соотношения для перепада давления следует

110