Корсун Гидродинамика ЯЕУ Сборник задач и упражнений 2008

				p = c										u		7 4									.							(4.10.3)
										N				5							7		4
																	7
										∑εidгi
												1
Раскрывая с и домножив и поделив (4.10.3) на																																dг1,25 , вместо
(4.10.3) получим
			p =		A					0,316										l				ρ		u		2	,			(4.10.4)
													ν)0,25
где обозначено					(				udг										dг				2
													N				5							7			4
					1 / 25
																						7
			A = dг										∑εi dгi											.
														1
Найдем гидравлический диаметр всей системы
				N									N
				4∑Fi									4∑Fi										1
	d	г	=		1					=			1						=												.	(4.10.5)
				N									N		4F									N				ε	i
				∑Πi									∑			i							∑
															dгi												dгi
				1								1											1

Из (4.10.4) и (4.10.5) окончательно находим для коэффициента

	гидравлического сопротивления системы труб
					λтр = Аλтр0 ,	(4.10.6)
	где λтр0 =	0,316			– коэффициент гидравлического сопротив-
		(	u	dг ν)0,25
						А определя-
	ления по формуле для круглых труб, а коэффициент

ется гидравлическими диаметрами каналов и их долями в общем

сечении	А =						1									.
		N		ε		1.25	N							7
					i						5	7			4
			∑					∑εid			гi
			1	dгi					1
4.11.	pуск =1,01λтр(Re)								ρu	2
									2	0 .
											111

4.12.а) уменьшатся в 1,01 раза, б) возрастут в 3,90 раза, в) воз-

растут в 1,71 раза, значение коэффициента кинематической вязкости принять постоянным и равным 0,12 10-6 м2/с.

4.13.а) увеличится в 1,01 раза, б) увеличится в 1,06 раз. Использовать метод итераций

4.14.dpdl = −588 Па/м.

4.15.Fлс = 1413 Н и 707 Н.

4.16.Ψ = 0,151.

4.17.hсуж =0,064 м.

4.18. h =0,62 м, h = 0,51 м.

4.19.Re = 4,2·106, турбулентный, М = 0,29.

4.20.При п = 2, 4, 6, 8, 10 umax u0 = 2,0, 1,50, 1,33, 1,25, 1,20 со-

ответственно.

4.21.l = 0,165 м, Rex =6,3·103, пограничный слой ламинарный.

4.22.l = 0,86 м, δ = 6,9 мм.

4.23. При	x = 50 мм	δ = 0,71 мм, (ωz)y=0 = –3,17 104 рад/с,
(ωz)y=δ=0. При x = 200 мм		δ = 1,42 мм.
4.24. 4,94.105	Н.

ГИДРОДИНАМИКА ПОРИСТЫХ СТРУКТУР ЯЭУ

5.1. При одинаковых значениях опорных коэффициентов, характеризующих перенос поперечного импульса

эф

2

2

2

r

Tij

= −

ε P +

(μ sin

ϕ+μ↑ cos

ϕ divu) δij +

3

∂ui

∂u j

+ (μ

sin 2

ϕ + μ

cos2

ϕ)

+

,

↑

∂x

j

∂x

i

при одинаковых значениях всех опорных коэффициентов вязкости

2

r

∂u

i

∂u j

T эф = −

ε P +

μ

divu

δ

+μ

+

.

3

∂x

∂x

ij

эф

ij

эф

j

i

112

5.2. При установившемся течении uy = uz = 0 , ux = ux ( y) . Уравнение движения (5.13) с учетом (5.22) и (5.23) принимает вид

ερu2

∂p

∂

∂u

0

= −λтр

x − ε

+

μэф

x .

(5.2.1)

∂x

∂y

2dГ

∂y

Граничным условием для (5.2.1) является

∂ux

ux

−

= 0 .

(5.2.2)

∂y

lc

y =0

Так как μэф = Сμu уравнение приводится к линейному виду от-

носительно ux2 :

			ερu2			∂p		Сμ	∂2u2
0	= −λ	тр	2d	x	− ε	∂x	+		x .		(5.2.3)
								2
				г					∂ 2
									y
Вдали от стенки, где			∂ux		= 0 , скорость равна u∞ =					−	∂p 2dг .
			∂y								∂x λтрρ

Относительно безразмерной скорости U x = ux u∞ нимает вид

0	= −U x2 +1	+ b2 ∂2U x2
		∂y2

	при b =	Cμdг	.
		λтрερ

уравнение при-

(5.2.4)

Решением уравнения (5.2.4), ограниченным на бесконечном удалении от стенки и удовлетворяющим (5.2.2), является

ux ( y) = u∞ 1 −	1		−	y	(5.2.5)
	1 + lc 2b	exp		.
				b
Решение при lc = 0 отвечает	условию прилипания				на стенке

ux ( y) = u∞	1		−	y	lc → ∞ условию абсолютного
		− exp		, а при
				b

скольжения ux ( y) = u∞ .

113

5.3. При установившемся течении u y = uz = 0 , ux = ux ( y) и линейной зависимости коэффициента эффективной вязкости μ от скорости μ = C u уравнение движения (см. (5.13) – (5.21)) приводится к виду линейному относительно ux2

0	= −λ		ερu2		− ε	∂p	+	С		∂2u2	(5.3.1)
		трr	2d	x		∂x				x .
				г				2		∂ 2
										y

или в безразмерной форме

		0 =1 −Ux2 +			1
					k 2
где обозначено: Y =	y	, U x =	ux	, u∞ =
	h		u∞

∂2U 2

∂Y 2x ,

− ∂p 2dг , ∂x λтрrρ

(5.3.2)

k = h λтрrερ .

C dг

Общее решение уравнения (5.3.2) может быть представлено как

U 2	(Y ) = 1 + C shkY + C	2	chkY .	(5.3.3)
x	1
Константы C1 и C2 определяются из граничных условий. При
условии прилипания на стенках получено
	ux (Y ) = u∞ 1 − chkY ,			(5.3.4)
	chk
при условии абсолютного скольжения на стенках
	ux (Y ) = u∞ .			(5.3.5)

5.4. Используя полученное в задаче 5.3 решение, для отношения средних скоростей можно получить

u1		1	1 − chkY dY ≡ Ф(k) .
		= ∫		(5.4.1)
u	2	0	chk

График зависимости отношения средних скоростей от парамет-

ра k = h λтрrερ показан на рис. О10.

C dг

Параметр k содержит коэффициент C , связывающий эффективную вязкость μ со скоростью, т.е. определяющий вязкость. Полученный результат послужил основой для разработки метода экспериментального определения опорной вязкости μ , основан-

114

ного на сопоставлении средних скоростей в каналах с различными граничными условиями на стенках при одинаковых значениях продольного градиента давления.

0,95.95
0,90.9
0,85.85
0,80.8
0,75.75
0,70.7
0,65.65
0,60.6				3
	1	10	100	.103
				1·10

Рис. О10

5.5. Согласно [5] перепад давления при поперечном обтекании коридорных упаковок стержней рассчитывается по формуле

р = ζ ρи2т2 ,

где ζ – коэффициент сопротивления, um – скорость жидкости в

узком сечении между стержнями.

Для расчета коэффициента сопротивления одного ряда стержней ζ1 рекомендуются зависимости:

при x1 = 1,1 ÷ 7; x1 < x2; Ψ0= 0,06 ÷ 1

ζ	1	= 2(x	−1)−0,5 Re−0,2	;	(5.5.1)
		1	m

при x1 = 1,1 ÷ 7; x1 > x2; Ψ0= 1 ÷ 8

ζ	1	= 0,38(x	−1)−0,5 (Ψ − 0,94)−0,59	Re−0,2	/ Ψ2	, (5.5.2)
		1	0	m	0

115

где Ψ0 = (x1–1)/( x2–1); x1 = s1/d; x2 = s2/d – относительные шаги по-

перечный и продольный; d – наружный диаметр трубы.

В числе Reт за характерные параметры приняты наружный диаметр труб и скорость в узком сечении пучка.

Задача сводится к определению по приведенным данным коэффициента λтрr в формуле Дарси

p = λтрr	l		ρ	u	2	(5.5.3)
	dг	2

сиспользованием в качестве масштабов истинно средней скорости

игидравлического диаметра. Коэффициент kξξ определяется при

этом по (5.15). Формула для λтрr получена в виде

					1			3
				1−
						4x	2			Ф(x)
λтрr (x) =Re	- 0,2	x	3,2						≡		.
				(x	−1)2,3					Re 0,2

Для расчета Ф(x) подбирались простые аппроксимирующие зависимости, вид которых при различных диапазонах изменения шага представлен в табл. 5.5.1.

							Таблица 5.5.1
Диапазон	Апроксимирующая						Значения
изменения шага	зависимость для Ф(x)						параметров
решетки
1,02 – 1,12	Φт(x) =	ax +b					a = 2,168
		(x	−1)		n		b = 1,495
							n = 1,5
1,13 – 1,30	Φт(x) = ax		2	+bx + c			a = 348,2
							b = –904,5
							c = 602,1
1,30 – 1,80	Φт(x) = ax +b						a = –2,323
							b = 17,14
1,80 – 10,0	Φт(x) = ax +b						a = 1,762
							b = 8,111
		116

5.6. Согласно [5] перепад давления при поперечном обтекании треугольных упаковок стержней рассчитывается по формуле:

р = ζ	ρum2	,	(5.6.1)
	2
где ζ – коэффициент сопротивления,		um	– скорость жидкости в

узком сечении между стержнями.

Для расчета коэффициента сопротивления одного ряда стержней ζ1 рекомендуются зависимости:

ζ1 = C Rem−0,27 .

(5.6.2)

Значения коэффициента С приведены в табл. 5.6.1. В числе Rem

за характерный размер принят наружный диаметр труб. Определяющая скорость – средняя скорость в узком сечении пучка.

Приведенные данные преобразовывались с целью определения коэффициента λтрr в формуле Дарси

p = λтрr	l		ρ	u	2	(5.5.3)
	dг	2

сиспользованием в качестве масштабов истинно средней скорости

игидравлического диаметра.

Таблица 5.6.1

Ψ*

x

C

1

0,1 – 1,7

≥ 1,44

C = 3,2 + 0,66 (1,7 - Ψ)1,5

0,1 – 1,7

< 1,44

C =3,2+0,66(1,7– Ψ)1,5 +

1,44 − x

[0,8+0,20(1,7-Ψ)1,5 ]

0,11

1,7 – 6,5

1,44 ÷ 3

C = 0,44 (Ψ + 1)2

1,7 – 6,5

< 1,44

C = [0,44 + (1,44 – x1)](Ψ + 1)2

≥ 1,7

3 ÷ 10

C = 0,062 + 0,21 (10 – x1)-0,24

*Ψ = (x

1

– 1)/( x/

– 1), где

x /

=

x2

/ 4 + x2 - относительный диагональ-

2

2

1

2

ный шаг труб.

117

Коэффициент kξξ определяется при этом по (5.15). Формула для λтрr получена в виде

													1	1				3
									0,27			1+
																	2
			-0,27	4		2	3						2	3 x						Φ(x)
											3,27
λ	трr	= CRe								x									≡			, (5.6.4)
														1,73							0,27
							π													Re
				π								(x −1)

где если x ≥ 1,44 , то C = 3,587 ; если x < 1,44 , то C = 3,587+ 8,338 (1,44 – x).

Для расчета Ф(x) подбирались простые аппроксимирующие зависимости, вид которых при различных диапазонах изменения шага представлен в табл. 5.6.2.

					Таблица 5.6.2
					Значения параметров
Диапазон изменения		Апроксимирующая
шага решетки		зависимость для Ф(x)			a = 2,50,	n = 0,5
1,02	– 1,06	Φт(x) =	ax +b
			(x −1)n
1,06	– 1,40	Φт(x) = ax +b			a = 7,91,	b = 1,01
1,40	– 6,0	Φт(x) = ax +b			a = 17,48, b = –13,79

5.7. При установившемся течении в прямом канале поле скоростей не изменяется по длине, т.е. для всех компонент скорости

∂ui

= 0 , i = x,

y, z .

(5.7.1)

∂x

z , по-

По ширине канал не ограничен, течение однородно по

этому

∂ui

= 0 , i = x,

y, z ,

(5.7.2)

∂z

и движение в направлении z

отсутствует uz = 0 .

Из уравнения неразрывности

∂uy

∂u

x

+

+

∂u

z

= 0 ,

(5.7.3)

∂x

∂y

∂z

118

с учетом (5.7.1) и (5.7.2) следует ∂∂uyy = 0 и u y = const = 0 , так как

стенки канала непроницаемы.

Таким образом, единственной, отличной от нуля компонентой

скорости является

ux = ux ( y) .

(5.7.4)

С учетом (5.7.4) уравнения движения (5.13) упрощаются:

0 = −kxxux − ε

∂P

+

∂

μ1

∂ux

,

(5.7.5)

∂x

∂y

∂y

0 = −kyxux − ε

∂P

.

(5.7.6)

∂y

В (5.7.5), (5.7.6) в соответствии

с (5.19):

P = p + (c sin 2 ϕ + c↑ cos2 ϕ)ρux2 ≡ p + c(ϕ)ρux2 ,

(5.7.7)

с (5.20):

μ = μ

sin

2 ϕ + μ

↑

cos2 ϕ ,

(5.7.8)

1

с (5.16), (5.17):

kxx =

ερ

(λтр sin2 ϕ + λтр↑ cos2 ϕ)

ux ≡

ερ

Λ(ϕ) ux , (5.7.9)

2dГ

2dг

kyx =

ερ

(λтр↑ −λтр )sin ϕ cos sϕ ux

≡ −

ερ

Π(ϕ)ux . (5.7.10)

2dг

2dг

С учетом последних соотношений вместо (5.7.5), (5.7.6) имеем

ερ

ux2 − ε

∂p

∂

μ

∂u2

0 = −

Λ(ϕ)

+

1

x ,

(5.7.11)

2dг

∂x

∂y 2u ∂y

0 =

ερ

Π(ϕ)ux2 − ε

∂p − εc(ϕ)ρ ∂ux2 .

(5.7.12)

2dг

∂y

∂y

Уравнение (5.7.11) определяет распределение скорости по высоте канала. Из уравнения (5.7.12) при известном ux ( y) можно опре-

делить распределения давления по высоте канала.

Для дальнейшего анализа необходимо привлекать граничные условия на стенках канала.

119

а) Условие скольжения на стенках	∂ux				= 0 . При скольже-
	∂y		y =0,h
нии на стенках решение уравнения (5.7.11) имеет вид
ux ( y) = u0 ≡ − ∂p	2dг			.	(5.7.13)
∂x ρΛ(ϕ)

Скорость распределена равномерно по сечению канала и Λ(ϕ)

имеет смысл коэффициента гидравлического сопротивления.

Из уравнения (5.7.12) определяется связь поперечного градиента давления с продольным.

∂p	= −	∂p Π(ϕ) .	(5.7.14)
∂y		∂x Λ(ϕ)

б) Условие прилипания на стенках ux ( y = 0) = ux ( y = h) = 0 . В этом случае решением уравнения (5.7.11) будет

ux (Y ) = u0

(chb −1) shbY +1 − chbY ,

shb

где Y =

y

ερΛ(ϕ)uh2

u0 = −

∂p 2d

г

,

b =

,

.

h

μ1

(ϕ)dг

∂x ρΛ(ϕ)

Для давления из (5.7.12) получаем

p(Y ) + c(ϕ)ρux2 (Y ) = p(0) +

+

ρu2h

chb −1

(chbY

−1) + Y −

1

shbY

0

b

.

2dг

b shb

При этом суммарный перепад давления поперек канала

ρu2h

1

(chb −1)2 +1 −

shb

p ≡ p(1) − p(0) =

0

.

shb

b

2dг

b

(5.7.15)

(5.7 16)

(5.7.17)

5.8.Указание: использовать результата решения задачи 5.7.

5.9.Указание: для определения коэффициента гидравлического сопротивления нужно проинтегрировать выражение для поля ско-

рости ux ( y) по сечению канала с тем, чтобы установить связь средней скорости с продольным градиентом давления.

120