Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Таким образом, даже если рассеяние изотропно в системе центра масс (cos ψ = 0), то в лабораторной системе оно анизотропно, и при этом

		=	2	.	(3.12)
	cos Θ
			3A

Рассмотрим два предельных случая:

•А = 1 (водород), тогда cos Θ = 23 ;

•А → ∞ , тогда cos Θ → 0 (уже для ядер с массой большей 10 рассеяние практически изотропно в ЛС).

Таким образом, показано, что требование изотропии рассеяния в ЛС эквивалентно тому, что среда состоит из тяжелых ядер.

3. Среднелогарифмическая потеря энергии при столкновении нейтрона с ядром:

	ξ ≡		= ln		E1	,	(3.13)
		ln E1 − ln E′
					E′

где	E1 − кинетическая энергия нейтрона до столкновения с ядром;
E′−	кинетическая энергия нейтрона после столкновения с ядром.

E

E1

1

1

E

E1

ξ = ∫1 dE′ ln

=

∫1 dE′ ln

=

E′

(1− α)E1

(1

E′

αE

− α)E1 αE

1

1

= ln E1 −

1

(E′ ln E′− E′)

E1

=

(1−α)E

1

1

αE1

= ln E

−

[E ln E

− E

− αE ln(αE )+ αE ]=

(1

− α)E

1

1

1

1

1

1

1

1

= ln E −

1

[E ln E − E − αE ln α− αE ln E + αE ]=

(1− α)E

1

1

1

1

1

1

1

1

1

= lnE1 −

lnE1 −1− αlnα

− αlnE1

+ α

=

1− α

=

lnE1 −

αlnE1 − lnE1 +1+ αlnα+ αlnE1

− α

= 1+

α

lnα .

1− α

1− α

101

Таким образом, среднелогарифмическая потеря энергии на одно столкновение нейтрона с ядром не зависит от энергии нейтрона, при которой произошло это столкновение:

				ξ =1	+			α	lnα.				(3.14)
						1		− α
В табл. 3.1 приведены значения величин α												и ξ для различных
изотопов.
													Таблица 3.1
	Значения величин α и ξ для различных изотопов
Изотоп	11H	21D	49 Be				126 C			168 О		23892 U		A → ∞
α	0	0,111	0,640		0,716					0,779		0,983		1
ξ	1	0,725	0,352		0,159					0,12		0,00838		0

Чем больше ξ , тем при прочих равных условиях эффективнее замедлитель.

3.4.Летаргия

Вразд. 3.3 было показано, что средняя потеря энергии на одно столкновение нейтрона с ядром ∆E = E1 1−2α и зависит от Е1 –

энергии нейтрона, при которой произошло столкновение. В то же время среднелогарифмическая потеря энергии на одно столкнове-

ние нейтрона с ядром ξ =1 + 1 −αα ln α не зависит от Е1.

Поэтому в ряде случаев удобно использовать не переменную энергии – Е, а переменную летаргии – u , где летаргия однозначно связана с энергией следующим соотношением:

u = ln	Eист	.	(3.15)
	E

102

Здесь Еист – максимально возможная энергия нейтрона (энергия источника), а Е – текущее значение энергии, которой соответствует летаргия u. Летаргия – величина безразмерная. Летаргия нейтронов, энергия которых равна Еист, равна нулю, а в процессе замедления с уменьшением энергии нейтрона летаргия возрастает. Рассчитаем средний прирост летаргии на одно столкновение нейтрона ядром:

		=	ln	Eист	−ln	Eист	=		=
	∆u							ln E′−ln E1		ln E1 −ln E′ = ξ, так как E′< E1 .
						E′
				E1

Получаем, что средний прирост летаргии за одно столкновение равен среднелогарифмической потере энергии на одно столкновение ξ , не зависит от энергии нейтрона, при которой произошло

столкновение с ядром, и определяется только массой ядра замедлителя. Максимально возможная потеря энергии на одно столкнове-

ние (ширина ступеньки замедления)	равна		∆Emax = E1 −αE1 =
= E1(1−α) и зависит от Е1, а максимально возможный прирост ле-
таргии на одно столкновение ∆umax = ln	Eист	− ln		Eист	= ln	1	не за-
				E1
	αE1					α

висит от Е1 и определяется только массой ядра замедлителя. Таким образом, если процесс замедления описывать в перемен-

ных энергии, то он носит неравномерный характер, т.е. с уменьшением энергии нейтрона уменьшается как средняя потеря энергии на одно столкновение нейтрона с ядром, так и ширина ступеньки замедления. Если же процесс замедления описывать в переменных летаргии, то он носит равномерный характер в том смысле, что средний прирост летаргии на одно столкновение нейтрона с ядром и ширина ступеньки замедления являются величинами постоянными, не зависят от текущего значения летаргии нейтрона и определяются только массой ядра замедлителя. Это отличие в описании процесса замедления отражено на рис. 3.8.

103

α3 E		α2 E		αE		EИСТ
							E

u
	3ln (1/ α) 2 ln (1/ α) ln (1/α)				0

Рис. 3.8. Схема замедления нейтрона в переменных энергии и терминах летаргии

Описывая процесс замедления в переменных летаргии, легко рассчитать среднее число столкновений нейтронов с ядрами среды N, необходимое для замедления от энергии E1 до E2:

ln

Eист

−ln

Eист

ln

E1

u

−u

E

2

E

2

E

2

N =

1

=

1

=

.

ξ

ξ

ξ

В табл. 3.2 приведены значения величины N для различных сред при замедлении от энергии в 1 МэВ до 1 эВ. Необходимо помнить, что приведенные величины носят среднестатистический характер, т.е. представляют собой результат усреднения для большого числа нейтронов.

Таблица 3.2

Среднее число столкновений нейтрона с ядрами среды при замедлении от 1 МэВ до 1 эВ

Среда	11H	21D	49 Be	126 C	168 О	23892 U
N	13,8	19,1	39,2	86,8	115	1647

Рассмотрим, как будет выглядеть закон рассеяния в переменных летаргии, т.е. получим функцию W (u →u′) – плотность вероятности того, что нейтрон имел до столкновения с ядром летаргию u, а

104

после столкновения его летаргия стала u′. Для этого воспользуемся для плотностей вероятностей выражением, которое было использовано в разд. 3.3. Поскольку энергия и летаргия однозначно связаны между собой, будет выполняться следующее равенство:

dE′

W (u → u′)= p(E → E′)

.

(3.16)

du′

dE

Из выражения (3.16) рассчитаем

и выразим энергию через

du

летаргию:

u = ln

Eист

= ln Eист −ln E , следовательно,

du = −

dE

dE

= E .

и

E

du

E

u = ln

Eист

, откуда e

u

=

Eист

и E = Eист

e

−u

,

E

′

= Eист e

−u′

.

E

E

dE′

= Eист e−u′ .

Окончательно имеем:

du′

Подставим это выражение в (3.16) и перейдем от энергии к ле-

	таргии. Получим:
	W (u → u′)=	1			dE			Eистe−u′		e−(u′−u )
							=		=		. (3.17)
		(1− α)E				du		(1− α)Eистe−u		1− α

Таким образом, распределение нейтронов внутри ступеньки замедления в переменных летаргии носит экспоненциальный характер.

Рассмотрим как спектр нейтронов, записанный в энергетической переменной Φ(E), можно записать в переменных летаргии.

Φ(E)dE – среднестатистическое число нейтронов, энергия кото-

рых лежит в интервале энергии dE около E , и которые пересекают в направлении нормали единичные площадки, всевозможными способами ориентированные в пространстве. Наряду с функцией Φ(E) рассмотрим функцию Ψ(u) – тот же самый спектр нейтронов,

но записанный в переменных летаргии. Так как du < 0 , то

105

{ − Ψ(u)du } – число нейтронов, летаргия которых лежит в интерва-

ле летаргии du около u , и которые пересекают в направлении нормали единичные площадки, всевозможными способами ориентированные в пространстве. Очевидно, что если dE и du – взаимосогласованные интервалы, то и количество нейтронов, пересекающих в направлении нормали единичные площадки, всевозможными способами ориентированные в пространстве, должно быть одним и тем же, т.е. выполняется равенство:

Φ(E)dE = −Ψ(u)du ,

которое с учетом того, что dEdu = E , переписывается в виде

Ψ(u)= Φ(E) E.	(3.18)

Таким образом, для того, чтобы функцию плотности потока, записанную в терминах энергии, переписать в терминах летаргии, необходимо сначала умножить ее на энергию, а затем переписать через переменную «летаргия».

3.5. Уравнение замедления нейтронов в бесконечной неразмножающей гомогенной среде

Процесс замедления – вероятностный, в том смысле, что каждый отдельный нейтрон испытывает различное число столкновений с ядрами среды в процессе замедления от энергии источника до данного значения энергии. Нейтронное поле описывается средними величинами, поэтому рассмотрим процесс замедления, усредненный по большому количеству столкновений нейтронов с ядрами среды. Рассмотрим бесконечную неразмножающую гомогенную среду, в которой равномерно распределены изотропные стационарные источники нейтронов мощностью q , которые испуска-

ют нейтроны с энергией E0 .

Рассмотрим фазовый объем, который в данном случае представляет собой интервал энергий dE около энергии E, и баланс ней-

106

тронов в фазовом объеме. Для этого определим всевозможные процессы, приводящие к изменению числа нейтронов в фазовом объеме dE :

PS (E) – скорость исчезновения нейтронов за счет упругого рассеяния;

A(E) – скорость исчезновения нейтронов за счет процессов поглощения;

RS (E) – скорость появления нейтронов за счет рассеяния нейтронов с более высокими энергиями;

Q(E) – скорость появления нейтронов за счет генерации внеш-

ними источниками.

Учитывая вышесказанное, уравнение баланса нейтронов в фазовом объеме имеет вид

− PS (E)− A(E)+ RS (E)+ Q(E)= 0 .

(3.19)

Рассмотрим PS (E) – число нейтронов, которые за счет рассея-

ния на ядрах среды покидают dE в единицу времени. Так как dE – элементарный интервал энергий, т.е. величина dE много меньше ступеньки замедления, поэтому все нейтроны, испытавшие столкновение в dE , покинут его, так как вероятность попасть в интервал

dE после рассеяния при энергии E определяется			выражением
	dE
		<<1. Число нейтронов, испытывающих рассеяние в интер-
	(1− α)E
вале dE в единицу времени, определяется выражением:
		PS (E)= ΣS (E)Φ(E)dE .	(3.20)

Скорость исчезновения нейтронов из интервала dE за счет про-

цессов поглощения находится как
A(E)= Σa (E)Φ(E)dE .	(3.21)

Скорость появления нейтронов в интервале dE за счет генерации внешними источниками определяется выражением:

107

Q(E )= qδ(E − E0 )dE .

(3.22)

Рассчитаем величину RS (E) – скорость появления нейтронов в интервале dE за счет их рассеяния при более высоких энергиях. В интервал dE нейтрон может попасть только при рассеянии из ин-

					E		[E, E0 ], ес-
	тервала	E,				(ступенька замедления вверх от Е), или
					α
	ли E0 <	E		(рис. 3.9). Выберем произвольный интервал dE′в пре-
		α
	делах рассматриваемого интервала.

dE		dE'
		E0 E0	E
E	E'	E /α

Рис. 3.9. Схема расположения энергетических интервалов для расчета RS (E)

Количество нейтронов, которые рассеялись в интервале dE′ в единицу времени, определяется выражением: ΣS (E′)Φ(E′)dE′. Вероятность нейтрону попасть в интервал dE после рассеяния при

	энергии E	′			d E
			можно рассчитать как (1		− α)E′	. Тогда число нейтро-

нов, которые в единицу времени рассеялись в интервале dE′ и их энергия после рассеяния принадлежит интервалу dE , рассчитывается как

	ΣS (E′)Φ(E′)d E′		d E	.
		(1	− α)E′

108

Для определения RS (E) необходимо данное выражение проинтегрировать по d E′ от Е до минимальной из двух возможных вели-

чин: E0 , если E0 < αE или αE , в противоположном случае:

	E0 ,	E
min					Φ(E	′) ΣS(E')
		α
RS (E)=	∫			d E′			d E .	(3.23)
					(1	− α)E′
	E

Подставив полученные выражения (3.20), (3.21), (3,22) и (3.23) в уравнение баланса (3.19) и сократив на d E , получим искомое

уравнение замедления, которое по существу представляет собой уравнение баланса нейтронов в единичном фазовом объеме:

	E0 ,	E
min
− ΣS (E)Φ(E)− Σa (E)Φ(E)+	∫	α d E′		ΦS (E′) Σs	(E')	+
				(1− α)E′
	E
+ qδ(E − E0 )= 0 .							(3.24)
Введем следующие тождественные обозначения:
FS (E)= ΣS (E)Φ(E) –						(3.25)

плотность рассеяния, т.е. скорость рассеяния нейтронов в единичном фазовом объеме, и

F(E)= Σtot (E)Φ(E) –

(3.26)

плотность взаимодействий (столкновений), т.е. скорость столкновений нейтронов с ядрами среды в единичном фазовом объеме.

В этом случае уравнение замедления (3.24) можно переписать в виде

109

в интервале [αE′, E], рассчитывается как

						,	E
				min E				FS (E′)
F (E)=			1		∫0		α d E′			+qδ(E − E0 ).	(3.27)
	1		− α					E′
					E

Отметим, что в случае замедления на водороде ( α = 0 ) всегда вы-

полняется условие E0 < αE , и уравнение замедления (3.27) прини-

мает вид

	E	FS (E′)
	F(E)= ∫0 d E′		+qδ(E − E0 ).	(3.28)
		E′
	E

3.6. Плотность замедления нейтронов

Рассмотрим функцию, которая описывает количество нейтронов в единичном пространственном объеме, энергия которых в процессе замедления в единицу времени меняется от значения большего E до значения меньшего E. Эта функция называется плотностью замедления и обозначается как j(E).

Получим выражение для плотности замедления, исходя из ее определения. Рассмотрим единичный пространственный объем и энергию E. Пересечь это значение энергии в процессе замедления могут нейтроны, которые рассеялись при энергиях выше чем E. Выберем интервал d E' в области энергий выше чем E (рис. 3.10).

Число нейтронов, рассеявшихся в единицу времени в интервале d E' , определяется выражением ΣS (E′)Φ(E′)d E′. Из всех этих ней-

тронов пересекут значение энергии E в процессе замедления только те нейтроны, энергия которых после рассеяния лежит ниже чем E, т.е. в интервале [αE′, E]. Вероятность того, что энергия нейтрона,

который до рассеяния имел энергию E′, после рассеяния окажется

E − αE′ . Таким образом,

(1− α)E′

из полного числа нейтронов, рассеявшихся в интервале d E' , пересекут энергию E в процессе замедления только

110