Крючков Теория переноса нейтронов 2007

ходного уравнения замедления в диффузионном приближении использовался закон Фика, а, во-вторых, при выводе диффузионновозрастного уравнения использовались только два первых члена разложения плотности рассеяния в ряд по летаргии. Оба, перечисленные ранее, приближения реализуются только для сред, состоящих из тяжелых ядер. Рассмотрим особенности пространственного распределения замедляющихся нейтронов в среде, состоящей из чистого водорода. Зависимость сечения рассеяния водорода от энергии дана на рис. 4.6. Средняя энергия нейтронов деления – 2 МэВ. Рассмотрим источник быстрых нейтронов мощностью S, расположенный в среде из водорода.

100	σS
10	~20
1	σS(E1)							E1
0.1	σS(E0)								E0
0.01									E
	1	10	102	103	104	105	106	107	108
	Рис. 4.6. Зависимость сечения рассеяния водорода от энергии

До первого столкновения с ядрами среды нейтроны источника, т.е. нейтроны, не испытавшие до этого ни одного столкновения с

ядрами среды, в среднем пройдут путь λS0 = 1( ). После пер-

ΣS E0

вого столкновения средний прирост летаргии будет составлять ∆u = ξ=1, а следовательно, средняя энергия после рассеяния будет

191

E1 = E0e−1 ≈ 0,37E0 . Из рис. 4.6 видно, что энергии Е1 после рассеяния соответствует σS (E1 )>> σS (E0 ), а следовательно, среднее

расстояние, которое будут проходить нейтроны между первым и вторым рассеянием, будет существенно меньше среднего расстоя-

ния,

пройденного

нейтронами до первого рассеяния:

λ(E ) =

1

<< λ

S0

=

1

.

Σ

(E )

Σ

(E

)

1

S

S

0

1

Таким образом, пространственное распределение замедляющихся нейтронов в среде из водорода нейтроном будет определяться пространственным распределением первых взаимодействий, поскольку, как было показано ранее, все замедление происходит около точки первого рассеяния. Для вычисления пространственного распределения первых взаимодействий диффузионное приближение неприменимо. Построим приближенно это распределение. Ес-

ли S [c−1] – мощность изотропного источника быстрых нейтронов,

то				S	нейтронов источника будут иметь направление движения
			4πr2
в		пределах единичной площадки сферы радиусом r. Из них
		S		exp{− Σs (E0 )r} нейтронов долетят до этой площадки и пере-
	4πr2

секут ее, т.е. данное выражение представляет собой плотность по-

тока нейтронов. А, соответственно, 4πSr2 exp{− ΣS (E0 )r} ΣS (E0 ) –

количество нейтронов, которые испытывают первое взаимодействие в единичном объеме на расстоянии r от источника, т.е. пространственное распределение первых взаимодействий. Если рассматривается непоглощающая среда, то любое значение энергии при замедлении около точки r будет пересекать примерно такое же количество нейтронов, так как, это было показано ранее, весь процесс замедления будет происходить в пространственной области около r. Таким образом,

192

j(r, E) ≈ 4πSr2 exp{− ΣS (E0 )r} ΣS (E0 ) ,

т.е. все замедление нейтронов будет происходить в непосредственной близости от точки первого столкновения нейтрона с ядром. Особенности пространственного распределения замедляющихся нейтронов на водороде необходимо учитывать в любой среде, содержащей в значимых количествах водород. Например, для воды основное замедление идет на ядрах водорода, но рассеяние на ядрах кислорода приводит к тому, что нейтрон не так далеко уходит от источника до первого взаимодействия. И возраст нейтронов в воде примерно в два раза меньше, чем в случае, если все ядра кислорода заменить на ядра водорода.

4.8. Особенности замедления быстрых нейтронов

Все полученные в данной главе результаты относятся к замедлению нейтронов при упругом рассеянии в асимптотической области энергий в случае, если рассеяние изотропно в ЛС. При описании пространственно-энергетического распределения быстрых нейтронов уже существенную роль играют процессы неупругого рассеяния на тяжелых ядрах и анизотропия рассеяния на легких и средних ядрах. Оба этих процесса приводят к существенному отклонению измеренного в экспериментах возраста нейтронов от рассчитанного в рамках возрастной теории значения.

Анизотропия рассеяния наиболее существенна при расчете про- странственно-энергетического распределения от источника нейтронов с большой энергией (например, нейтронов, появившихся в результате термоядерной реакции) в средах, состоящих из ядер небольшой и средних масс. В этом случае рассеяние нейтрона идет преимущественно в направлении его первоначального движения и не приводит к существенному изменению энергии нейтрона при его столкновении с ядром среды. Следовательно, нейтроны источника без существенной потери энергии (прямопрострельные нейтроны)

193

удаляются от источника на расстояния, существенно большие, чем дает расчет с использованием теории возраста, и необходимо вводить поправочный член в формулу расчета возраста нейтронов (4.9), который в ряде случаев существенно превосходит значение возраста, рассчитанное по этой формуле. Таким образом, в этом случае пространственное распределение замедляющихся нейтронов во много определяется той точкой пространства, где анизотропия рассеяния прямо вперед перестает играть существенную роль, и начинается классический процесс замедления нейтронов при упругом рассеянии на ядрах среды, который рассмотрен ранее.

Процессы неупругого рассеяния играют существенную роль при расчете пространственно-энергетического распределения от источника быстрых нейтронов (например, спектр нейтронов деления) в средах, состоящих из смеси ядер замедлителя и топлива (тяжелых ядер). Неупругое рассеяния быстрого нейтрона на тяжелых ядрах приводит к существенной потери энергии нейтронов в результате одного столкновения нейтрона с ядром. Следовательно, при расчете возраста нейтронов по формуле (4.9) будут получены завышенные результаты для возраста нейтронов, поскольку будет учитываться только эффект уменьшения количества ядер замедлителя в смеси замедлителя и поглотителя по сравнению со средой, состоящей из чистого замедлителя, и не будет учтено, что появление тяжелых ядер в среде приводит к реакциям неупругого рассеяния быстрых нейтронов на этих ядрах. В качестве иллюстрации этого эффекта на рис. 4.7 приведены результаты экспериментального определения возраста нейтронов (от спектра деления до значений энергии 1,47 эВ) в среде, состоящей из смеси воды и металла, для различных сред и разных объемных отношений металла и воды – VмVвода . Кривая 1 на данном рисунке соответствует результатам,

которые были получены в рамках теории возраста без учета эффекта от процесса неупругого рассеяния нейтронов на ядрах металла (учитывается только эффект уменьшения плотности ядер воды за счет замещения их ядрами металла).

194

Рис. 4.7. Возраст нейтронов (от спектра деления до энергии 1,47 эВ) в среде, состоящей из смеси воды и металла

Из рис. 4.7 видно, что чем тяжелее ядро металла, тем существеннее влияние процессов неупругого рассеяния быстрых нейтронов на результаты определения возраста нейтронов. Естественно, что с ростом отношения VмVвода возраст нейтронов повышается

(замедление идет менее эффективно, чем в чистой воде, поскольку меньше ядер замедлителя), но увеличение возраста гораздо менее существенное, чем дает расчет без учета процессов неупругого рассеяния на ядрах металла.

195

Глава 5 ГРУППОВОЕ ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В гл. 4 была рассмотрена теория возраста, или модель непрерывного замедления, которая позволяет рассчитать пространствен- но-энергетическое распределение нейтронов в среде. Было рассмотрено решение уравнения возраста в простых случаях. Но для расчета реальных систем – многокомпонентных гетерогенных многомерных сред – найти аналитическое решение уравнения возраста не представляется возможным. Поэтому в практике расчетов ядерных реакторов используют другую модель описания пространст- венно-энергетического распределения нейтронов – групповое приближение.

Рассмотрим уравнение баланса нейтронов в фазовом объеме dVdE , которое было получено в гл. 4 (4.1):

		−div i (rr, E)−Σtot (rr, E)Φ(rr, E)+
	+ min(E0∫	,E α) ΣS (rr, E' )Φ(rr, E' )		dE'	+ S(rr, E) = 0,
			(1	−α)E'
	E

и перепишем его в более общей форме, дополнив законом Фика:

−divir(rv, E)−Σtot (rr, E)Φ(rr, E)+
	Emax	r	r		r	r
							(5.1)
+	∫ΣS (r		, E′)W (r	; E′ → E)Φ(r		, E′)dE′+ S(r , E)= 0;
	E	r		r	r r
gradΦ(r , E)= −3Σtr (r					, E) i (r , E).

В первом уравнении системы (5.1) по сравнению с (4.1) в интеграле столкновений поставлен верхний предел Emax, и одновременно вы-

ражение Σ( S (rr,)E′) записано в виде

1−α E′

ΣS (r , E′) W (r; E′ → E),

196

где ΣS (r, E′) – макроскопическое сечение рассеяния в точке с координатой r при энергии E′, а W (r; E′ → E) – плотность вероят-

ности нейтрону при рассеянии в точке rr с энергией E′ приобрести энергию E . Эту функцию называют индикатрисой рассеяния. Если реализуется только упругое потенциальное рассеяние, то индикатриса рассеяния имеет известный вид:

	1	′	[E, E α];
W (rr, E′ → E) = (1− α)E′, если E
		если E′ > E α.
0,

А в общем случае это – более сложная функция, описывающая все возможные процессы рассеяния: как упругие, так и неупругие.

Разобьем весь энергетический интервал [0, Emax ] на G непересе-

кающихся диапазонов (рис. 5.1). Нумерация диапазонов производится от самых высоких значений энергий (номер 1) вниз по энергии. Каждый из диапазонов называется энергетической группой. Таким образом, разбив весь энергетический интервал на диапазоны, была определена групповая структура (количество энергетических групп и их границы).

∆EG	∆Eg		∆E1
	• • •	• • •	E
0 G	E g
			1 Emax

Номер энергетической группы

Рис. 5.1. Групповая структура

Проинтегрируем первое уравнение системы (5.1) по энергетическому интервалу ∆Eg :

197

		−div ∫ i (rr, E)dE −	∫Σtot (rr, E)Φ(rr, E)dE +
		∆Eg	∆Eg
	g		(5.2)
+	∑	∫dE ∫ΣS (rr, E') W (rr; E′→ E)Φ(rr, E')dE′+ ∫S(rr, E)dE = 0.
	g′=1∆Eg ∆Eg′		∆Eg

Одновременно в третьем слагаемом интеграл от текущего значения энергии Е до Emax был заменен суммой интегралов по каждой из энергетических групп от самой верхней группы с номером 1 до данной группы с номером g.

Интегральную по группе функцию плотности потока нейтронов

будем описывать через интегральную по данной группе

плотность

нейтронов ng (r )=

∫n(r , E)dE

и среднюю по группе скорость ней-

∆Eg

тронов

∫V(E)n(r , E)dE

=

∆Eg

V

r

g

∫n(r , E)dE

∆Eg

следующим образом:

∫n(rr, E)dE

∫ Φ(rr, E)dE = ∫

n(rr, E)V(E)dE

∆Eg r

=

n

(rr)≡ Φ

(rr).

V

g

∆Eg

∆Eg

∫n(r , E)dE

g

g

∆Eg

Функцию

Φg (r )

называют потоком нейтронов в группе g,

или

групповым потоком нейтронов.

Введем в рассмотрение интегральный по группе ток нейтронов

ig (rr)≡ ∫i (rr, E)dE – ток нейтронов в группе g, и интегральный по

∆Eg

группе источник нейтронов qg (r )= ∫S(r , E)dE – источник ней-

∆Eg

тронов в группе g.

198

Тождественно преобразуем второй член в уравнении (5.2):

			∫Σtot (r , E)Φ (r , E)dE
∫Σtot (rr, E)Φ (rr, E)dE =			∆Eg	r	∫Φ (rr, E)dE ≡
∆E	g			∫Φ (r , E)dE	∆E	g
				∆Eg
			≡ Σg (rr)Φg (rr).
Величину Σg (r )		называют полным макроскопическим сечением

взаимодействия нейтронов в группе g, или полным групповым мак-

роскопическим сечением. При этом второй член в уравнении (5.2), который описывает скорость взаимодействия нейтронов в группе g, записывается как произведение полного макроскопического сечения в этой группе на поток нейтронов в этой группе.

Тождественно преобразуем выражение, стоящее под суммой в третьем члене в уравнении (5.2):

	∫ dE ∫ΣS (r , E′)W (E′ → E)Φ(r , E′)dE′ =
∆Eg			∆Eg′
		∫ dE ∫ΣS (rr, E′)W (E′ → E)Φ(rr, E′)dE′
=		∆Eg	∆Eg′	×

∫Φ(rr, E′)dE′

∆Eg '

× ∫Φ(rr, E′)dE′ = ΣSg′→g (rr)Φg' (rr).

∆Eg'

Величину Σsg'→g (rr) называют макроскопическим сечением перево-

да нейтронов из группы g´ в группу g, или макроскопическим сечением межгрупповых переводов.

Таким образом, используя введенные обозначения, уравнение (5.2) можно тождественно переписать в виде системы уравнений

r	g	ΣSg′→g (rr)Φg′(rr)+ qg (rr)= 0,
− div ig (rr)− Σg (rr)Φg (rr)+	∑
	g′=1

g = 1, 2, …, G.

199

Аналогично преобразуем второе уравнение в системе (5.1), предварительно проинтегрировав его по энергетической группе g:

	grad	∫	Φ(rr, E)dE = −3 ∫Σtr (rr, E)i (rr, E)dE =
		∆Eg				∆Eg
		r	r	r
	∫Σtr (r , E)i			(r , E)dE		∫ir(rr, E)dE = −3Σtr, g (rr)irg (rr).
= −3	∆Eg	r	r
	∫i (r , E)dE =					∆E
	∆Eg					g

Величину Σtr,g (r ) называют транспортным макроскопическим се-

чением в группе g.

Таким образом, система уравнений (5.2) тождественно перепишется в виде

r	(rr)+	g	ΣSg′→g (rr)Φg′(rr)+ qg (rr)= 0;
− div ig (rr)− Σg (rr)Φg		∑		(5.3)
		g′=1
grad Φg (rr) = −3Σtr,g (rr)ig (rr) , g = 1, 2, …, G.				(5.4)

Необходимо подчеркнуть, что уравнения (5.3) и (5.4), записанные для всех энергетических групп от первой до G-й, полностью тождественны системе (5.1), поскольку были получены из нее последовательными тождественными преобразованиями. Для решения уравнений (5.3) и (5.4) необходимо знать групповые макроскопические сечения, которые могут быть получены, как следует из их определения, путем усреднения соответствующих макроскопических сечений по функции плотности потока нейтронов (плотности тока для транспортного сечения), которая зависит от энергетической переменной. А для того, чтобы найти зависимость плотности потока нейтронов от энергии внутри каждой энергетической группы, надо решить исходную задачу – систему уравнений (5.1).

Предположим, что для каждой группы нейтронов нейтронное поле внутри ∆Eg имеет одинаковое пространственное распреде-

ление, т.е. функции плотности нейтронов и тока нейтронов допускают разделение переменных:

200