Нечаев Моделирование процессов ядерной технологии 2007

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет)

____________________________________________________

В. В. НЕЧАЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

МОСКВА 2007

УДК 539.1.01(075) ББК 22.38я7 Н 59

Нечаев В.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЯДЕРНОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. – 80 с.

Целью настоящего издания является изложение базовых знаний, необходимых для проведения численных расчетов тепловых и гидродинамических задач, возникающих при разработке технологий ядерных материалов. Сюда входит освоение работы со справочниками физических и термохимических величин, приобретение опыта написания компьютерных программ, проведение практических численных расчетов в соответствии с основными положениями теории тепло- и массопереноса, с учетом особенностей проявления этих явлений в технологических процессах. Т.е. читатель знакомится с практическими методами расчета процессов тепло- и массопереноса с последующим их применением для решения задач по усовершенствованию существующих, исследованию и проектированию новых технологических процессов и аппаратов.

Указанные проблемы занимают важное место в преподавании фундаментальных дисциплин физического материаловедения. Освещаемые в учебном пособии вопросы изучаются в дисциплинах «Физика конденсированного состояния», «Теоретическое и прикладное материаловедение», «Физические основы компьютерного проектирования материалов», «Моделирование технологических процессов» – базовых для студентов кафедры «Физические проблемы материаловедения» Московского инже- нерно-физического института.

Пособие предназначено для студентов, аспирантов и специалистов в области материаловедения, металлургии, физической химии.

Подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент проф. В.В. Сергиевский

3

и цветной металлургии. Нередко такие материалы используются в виде монокристаллов, т.е. изделия из них состоят из одного большого кристалла. Понятно, что стоимость самих редких тугоплавких металлов, также как и высокотемпературных процессов для их получения и обработки весьма высока.

Поэтому чисто экспериментальный подход к оптимизации существующих и, тем более, созданию новых промышленных технологических процессов производства и обработки редких металлов стал неприемлем из-за слишком большого расхода дорогостоящих материалов, энергии, сложности изготовления и модернизации установок для проведения натурных экспериментов. Стала очевидной актуальность использования теоретико-расчетных методов, которые помогают технологу находить ответы на вопросы о необходимых и предельно допустимых параметрах процесса, влиянии технологических факторов на скорость получения, состав и свойства материала. К таким передовым методикам теоретического исследования технологических процессов с целью их разработки, совершенствования и оптимизации относятся различные методы математического моделирования.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Принципычисленногомоделирования

Виды математического моделирования. Место и роль детерминированного математического моделирования в научном исследовании. Вычислительный эксперимент. Стадии создания математической модели. Физическая модель. Структура математических моделей. Краевые, начальные и граничные условия. Физический смысл и математическое описание граничных условий.

Под математическим моделированием понимается методика научного исследования, в которой реальный процесс заменяется математической моделью – его математическим описанием, некоторой системой уравнений, передающей свойства объекта. Процессом собственно моделирования является теоретическое математическое исследование свойств построенной системы уравнений.

5

Конечно, этими же вопросами занимается теоретическая физика. Но отличие от нее, при математическом моделировании не ограничиваются изучением общих свойств объекта, а доводят решение до конкретного численного результата. Чаще всего, из-за сложности получаемых уравнений, исследование сразу проводится методами прикладной математики, численными расчетами на компьютерах, не получая аналитического решения. Математическое моделирование дает менее общие результаты, чем теоретическая физика, но отвечает на конкретные вопросы, в определенном смысле более соответствуя экспериментальной физике. Можно говорить, что натурные эксперименты на реальном объекте заменяются в математическом моделировании на вычислительные эксперименты, т.е. на серии численных расчетов на компьютерах. Поэтому математическое моделирование часто называется численным моделированием. Последнее время распространенным стано-

вится также термин компьютерное моделирование.

Численное математическое моделирование делится на два направления. Первое, называемое индетерминировенным (неопределенным), основано на проведении предварительных натурных экспериментов на имеющемся оборудовании, по уже предложенной технологии, и установлением формальных математических зависимостей между входными параметрами технологического процесса и свойствами получаемого материала. Далее, исследуя свойства этой математической модели, полученной в результате обработки экспериментальных данных уже теоретически, определяются или оптимизируются условия получения материала с заданными свойствами. При этом не выясняется (точнее, и не ищется) физический смысл получаемых математических зависимостей, не вскрывается сущность технологического процесса. Этот факт и дал название данному научному направлению – индетерминированное моделирование. Технологическая установка здесь рассматривается как некоторый «черный ящик», в котором протекают неопределенные, не понятые и не объясненные процессы.

Главным достоинством индетерминированного моделирования является то, что с его помощью можно исследовать процессы практически любой сложности. Главным недостатком – то, что он может быть применен только для совершенствования уже существующего технологического процесса на реально изготовленной установке. Кроме того, поскольку остается неизвестной физика

6

происходящих явлений, всегда остается открытым вопрос: достигнут ли глобальный экстремум по технологическим характеристикам. Причем только данного процесса на конкретной установке.

Бурный прогресс вычислительной техники в последней четверти XX века открыл возможность выполнения очень больших объемов вычислительной работы за реальное время. Это позволило использовать наиболее информативную численную методику научных исследований, а именно детерминированное математическое моделирование.

Под детерминированной математической моделью понимается создание системы уравнений, описывающей физические явления, реально происходящие в изучаемом объекте – технологическом процессе, установке, материале. При наличии хорошей детерминированной модели вычислительный эксперимент является самым экспрессным и экономически выгодным среди всех методов исследования. Действительно, такие модели допускают возможность изучения свойств реально еще не существующего, виртуального объекта, который только еще требуется разработать. Строго говоря, сегодня к созданию реального объекта и следует приступать только после теоретического, пусть и предварительного, определения условий проведения технологического процесса и/или выбора конструкции соответствующей установки. Кстати, ничто не мешает исследователю, после создания уже реальной установки, использовать индетерминированное моделирование для уточнения и оптимизации технологических параметров.

Созданию детерминированной математической модели объекта исследования предшествует выбор физического приближения – построение физической модели. На этом этапе решается вопрос о том, какие реальные факторы необходимо учесть, а какими можно пренебречь. Здесь подробно рассматриваются физические явления, ответственные за прохождение интересующего процесса, и выбираются главные, превалирующие. Излишняя детализация приведет к математической модели, не имеющей на данный момент времени даже численного решения. Излишнее упрощение сделает модель слишком грубой, в которой будут упущены принципиальные свойства исследуемого объекта.

Любая детерминированная математическая модель состоит из двух частей:

7

1)основной системы уравнений (обычно в частных производных второго порядка), описывающей физическое явление в целом и имеющей бесконечное множество решений. Такие уравнения чаще всего известны из теоретической физики и требуют только конкретной детализации;

2)дополнительной системы уравнений, являющейся краевыми условиями и выделяющими решение, соответствующее физическому (если хотите – технологическому) процессу в конкретной геометрии (в установке конкретной конструкции) при конкретных физических условиях (технологических параметрах). Краевые условия характеризуют взаимодействие изучаемого устройства с окружающей средой и обычно выражают некоторые законы сохранения – массы, заряда, энергии, количества движения и т.п.

В качестве примера в табл. 1.1 приведена структура математической модели, основанной на термодинамических представлениях

отехнологическом процессе.

В основе разработки любой технологии практически всегда прежде всего лежит поиск такого распределения температуры в пространстве (теплового поля) как технологического аппарата, так и внутри изделия, такого его изменения во времени (нестационарный процесс), которое и обеспечивает в конечном счете процесс получения материала с заданными свойствами. Поэтому технологу материалов ядерных реакторов очень важно знать теплофизику – науку, занимающуюся изучением процессов распространения тепла в пространстве и времени, созданием методов расчета и практического формирования тепловых полей. Поэтому краевые условия рассмотрим на примере теплофизических задач.

Краевые условия разделяются на начальные (временные) и граничные (пространственные).

Начальные условия описывают распределение какой-либо субстанции или ее характеристики (например, тепла, вещества, температуры Т или концентрации C) внутри системы в начальный момент времени (τ = 0). В общем виде они должны выражать некоторую функциональную зависимость типа:

Тнач = T(r,τ=0) = f(r) или Снач = C(r,τ=0) = f(r).

Возможны разные случаи, но очень распространено на практике условие, когда температура или концентрация в начальный момент времени во всех точках одинакова.

8

Таблица 1.1

Структура детерминированных математических моделей на базе термодинамических представлений

Граничные условия описывают характер взаимодействия между окружающей средой и системой через ее поверхность.

На практике различают три типа граничных условий.

Граничные условия 1-го рода в математическом описании соответствуют заданию значения искомой функции (например, температуры Т) на поверхности системы S. В общем случае это значение может меняться во времени τ :

Тпов = T(r =S,τ) = ϕ(τ),

но чаще всего это будет константа.

9

Физический смысл граничных условий 1-го рода – наличие

внешнего источника (или стока) бесконечной мощности на по-

верхности раздела системы и среды. Например, этот вариант граничных условий описывает случай, когда все количество тепла или массы, ушедшее с поверхности в глубь тела, тут же компенсируется внешним источником: отвод субстанции в глубь тела идет значительно медленнее, чем ее получение поверхностью тела из окружающей среды.

Граничные условия 2-го рода соответствуют заданию значения

первой производной на поверхности. Физический смысл первой производной – плотность потока некоторой субстанции.

Например, для тепловых задач плотность теплового потока qпов на границе S задается уравнением:

–λ·grad(T)|S = qпов(τ),

где λ – коэффициент теплопроводности.

Т.е., здесь задается распределение плотности теплового или кон-

центрационного потока через границу раздела система – среда на этой поверхности раздела. Физическая интерпретация граничных условий 2-го рода может быть и такой: наше тело – это внутренний сток бесконечной мощности. Т.е., этот вариант граничных условий описывает случай, когда все количество тепла, поступившее на поверхность, тут же уходит в глубь тела: отвод тепла внутрь тела идет значительно быстрее, чем получение теплоты из окружающей среды через его поверхность.

Граничные условия 3-го рода соответствуют по физическому смыслу сравнимым по мощности источнику во внешней среде и стоку в теле. Они описываются заданием на поверхности тела S

уравнения связи между значением функции и ее первой производ-

ной. В одномерном случае имеем:

∂T (x = S, τ) = Ψ[Т(x=S,τ)].

∂x

Задачи с граничным условием 3-го рода являются наиболее сложными задачами математической физики. Методом их численного решения является многократное итерационное решение более простых краевых задач 1-го или 2-го рода и выбор из полученного класса решений единственного, которое удовлетворяет требуемому условию 3-го рода.

10