Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf181
rIS. 68
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | L@BAQ TO^KA KRUGA D, A
C | L@BAQ OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , RADIUS KOTOROJ
UDOWLETWORQET NERAWENSTWAM jz;z0j < < r (RIS. 68, B). eS-
LI OKRUVNOSTX C RASSMATRIWATX KAK ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR, OBHODQ]IJ TO^KU z0 (A SLEDOWATELXNO, I TO^KU z) ODIN RAZ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, TO PRIMENENIE IN-
TEGRALXNOJ FORMULY kO[I (XI, c. 166) I FORMULY SUMMY |
|||||||||||||||||||||||||||
GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM |
|
z;z0 |
(MODULQ |
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jz;z0j <1 DLQ TO^EK |
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2 |
C) DAET: |
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;z0 |
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f(z) = |
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1 |
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f( ) d = |
1 |
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f( ) |
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d = |
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2 i |
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2 i |
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( ;z0);(z;z0) |
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;z |
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C |
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C |
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||||
= |
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1 |
H |
f( ) |
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1+ |
z;z0H |
+ (z;z0)22 |
+ |
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d = |
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;z0 |
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2 iC |
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;z0 |
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( ;z0) |
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H |
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+(z;z0)mm |
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= |
1 |
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f( ) |
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1+ |
z;z0 |
+ |
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d + |
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2 iC |
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;z0 |
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;z0 |
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( ;z0) |
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H |
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f( ) |
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m+1 |
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|||||||
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+ |
1 |
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(z;z0)m+1 d = I1 + I2. |
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2 i |
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C |
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( ;z0);(z;z0) ( ;z0) |
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H |
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tAK KAK NA OKRUVNOSTI C ANALITI^ESKAQ W KRUGE D |
|||||||||||||||||||||||||||
FUNKCIQ w = f(z) OGRANI^ENA: |
|
9h8z (z 2 C |
=) jf(z)j 6 h), |
182
WTOROe SLAGAEMOe W PRAWOJ ^ASTI PREDYDU]EJ SERII RA- WENSTW DOPUSKAET OCENKU (VIII, c. 133):
|
j |
I2 |
j |
6 |
|
|
h |
|
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z;z0 |
m+1 |
|
0 m |
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+ |
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. |
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z |
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z0 |
j |
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;! |
! |
1 |
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; |
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kAK SLEDSTWIE |
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;j |
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f(z) = lim |
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1 |
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f( ) |
1+ |
z |
;z0 |
+ |
|
+ |
(z;z0)mm |
d = |
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|
2 iC ;z0 |
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m!+1 |
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;z0 |
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( ;z0) |
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P |
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H |
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P |
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|||||
= lim |
|
|
m H |
1 |
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f( ) (z;nz+10)n d = +1cn(z |
; |
z0)n, |
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m!+1 n=0 2 i |
C |
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( ;z0) |
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|
n=0 |
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GDE cn = |
1 |
H |
|
|
|
f( ) |
|
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|
|
d |
|
n = 0 1 2 : : : |
|
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||||||||||||||||
2 i |
|
( ;z0) |
n+1 |
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C |
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||||||||
pOSKOLXKU PODYNTEGRALXNYE FUNKCII (PEREMENNOJ ) W |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PRAWYH ^ASTQH POSLEDNIH FORMUL QWLQ@TSQ ANALITI^ESKI- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MI W KRUGE D S IZ_QTYM CENTROM z0 , |
TEOREMA kO[I DLQ |
\KOLXCA" (W DANNOM SLU^AE KOLXCA A = D rfz0g) POZWOLQET ZAMENITX W FORMULAH DLQ KO\FFICIENTOW cn OKRUVNOSTX
C L@BYM ZAMKNUTYM KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM ; D S TEM VE ZNA^ENIEM INDEKSA OTNOSITELXNO TO^KI z0 , T. E. ODIN RAZ OBHODQ]IM EE W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 68, A). |TO OZNA^AET, ^TO W POLU^ENNOM PREDSTAWLENII
FUNKCII f(z) = +P1cn(z;z0)n KO\FFICIENTY cn NE ZAWISQT
n=0
OT NA^ALXNOGO WYBORA TO^KI z 2D, I POTOMU \TO PREDSTAW-
LENIe IMEET MESTO WO WSEM KRUGE D.
s U^ETOM TEOREMY kO[I{aDAMARA (II, c. 27) RADIUS SHO-
DIMOSTI STEPENNOGO RQDA +P1 cn(z;z0)n NE MENX[E RADIUSA
n=0
KRUGA D, A POTOMU PRIMENIMA TEOREMA O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA (II, c. 29), W SILU KOTOROJ FUNKCIQ w =f(z) IMEET W KRUGE D PROIZWODNU@ L@BOGO PORQDKA k =1 2 : : :
P |
|
|
|
+1 |
cnn(n;1) (n;k+1)(z z0)n;k, OTKUDA ck = |
f(k)(z0) |
. |
f(k)(z)= |
k! |
||
n=k |
; |
|
|
|
|
|
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|
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183 |
|
tEOREMA lORANA.1 |
eSLI FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ |
|||||||
ANALITI^ESKOJ W KOLXCE |
A = z 2 |
C |
: r1 < jz;z0j< r2 |
2 |
, |
TO |
||
|
|
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|
||||
W \TOM KOLXCE SPRAWEDLIWO ee |
PREDSTAWLENIE |
|
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||||
+1 |
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|
|
cn(z;z0)n z 2A, |
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|||||
f(z) =n= |
;1 |
|
|
|
||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
W WIDE SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA, KO\FFICIENTY cn KOTOROGO, SWQZANY S \TOJ FUNKCIEJ SOOTNO[ENIQMI
|
f( ) |
cn = 21i ; ( ;z0)n+1 d, n = 0 1 2 : : : , |
|
H |
|
GDE ; | L@BOJ ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, RASPO- |
LOVENNYJ W KOLXCE A I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W
POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (T. E. ind(; z0)=1 RIS. 69, A).
rIS. 69
1 hOTQ PERWYM \TU TEOROMU DOKAZAL (W 1841 G.) wEJER[TRASS ([43], Bd. I, S. 51), ZA NEJ ZAKREPILOSX IMQ FRANCUZSKOGO WOENNOGO INVENERA
lORANA (Laurent, Pierre Alphonce, 1813 {1854), KOTORYJ OPUBLIKOWAL EE W 1843 G. KAK \OBOB]ENIE TEOREMY kO[I" (\Extension du theoreme
de M. Cauchy relatif a la convergence du developpement d'une fonction
suivant les puissances ascendentes de la variable x"), ^TO SAMIM kO[I NEODNOKRATNO POD^ERKIWALOSX ([28], ser. I, t. VIII, p. 115{117 147).
2 wKL@^AQ SLU^AI r1 =0 r2 =+1.
184
dOKAZATELXSTWO1. dLQ PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KI z 2 A I C2 | OKRUVNOSTI S CENTROM z0 RADIUSOW 1 I
2 , UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM r1 < 1 <jz;z0j< 2 <r2 (RIS. 69, B). kAVDAQ IZ OKRUVNOSTEJ C1 C2 RASSMATRIWA-
ETSQ KAK ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR, ODIN RAZ OBHODQ]IJ
CENTR z0 KOLXCA A (A SLEDOWATELXNO, I TO^KU z ) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII. pERWYJ [AG DOKAZATELXSTWA SOSTOIT W USTANOWLENII SOOTNO[ENIQ
f(z) = |
1 |
|
|
H |
f( ) d + |
1 |
|
|
H |
f( ) d |
||||
|
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|||||||||
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2 i |
|
; |
z |
2 i |
|
; |
z |
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C2 |
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C; |
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||||||
(C1 |
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C1 |
, |
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1 |
|
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|
||
; | OKRUVNOSTX |
|
|
|
|
ODNOKRATNO OBHODIMAQ W OTRICA- |
TELXNOM NAPRAWLENII).
dLQ \TOGO SLEDUET, SOEDINIW OKRUVNOSTI C1 I C2 DWU-
MQ NE PROHODQ]IMI ^EREZ TO^KU z PRQMOLINEJNYMI OTREZ-
KAMI, PREDSTAWITX PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA W WIDE SUMMY
|
1 |
|
f( ) |
|
|
|
1 |
|
f( ) |
|
|
2 i;H2 |
;z d + 2 i;H1 |
;z d , GDE ZAMKNUTYE KUSO^NO-GLADKIE |
|||||||
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;1 |
|
|
;2 |
|
C1 |
|
KONTURY |
|
I |
|
|
OBRAZOWANY DUGAMI OKRUVNOSTEJ |
; I |
C2 I SOEDINQ@]IMI IH OTREZKAMI, OBHODIMYMI W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH | TAK, ^TO TO^KA z OKAZYWAETSQ WNUTRI KONTURA ;1 I WNE KONTURA ;2 (RIS. 70).
wY^ISLITX INTEGRALY PO KONTURAM ;1 I ;2 MOVNO S PO-
MO]X@ INTEGRALXNOJ FORMULY kO[I (XI, S. 166), PRIMENQQ
EE, SOOTWETSTWENNO, K ODNOSWQZNYM OBLASTQM ArL1 I ArL2, |
||||||
GDE L1 L2 | KAKIE-LIBO LU^I, |
WYHODQ]IE IZ TO^KI z0 |
I |
||||
NE PERESEKA@]IE, SOOTWETSTWENNO, KONTURY ;1 I ;2 (KAK NA |
||||||
RIS. 70). tAK KAK ind(;1 z)=1, A ind(;2 z)=0, |
|
|||||
|
1 f( ) |
1 f( ) |
|
|||
|
|
;H1 ;z d = f(z) A |
|
;H2 ;z d =0. |
|
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|
2 i |
2 i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 pO SHEME DOKAZATELXSTWA TEOREMY tEJLORA (S. 181{182), NO S UDLIN- NQ@]IMI OSLOVNENIQMI, WYZWANNYMI NEODNOSWQZNOSTX@ KOLXCA.
185
rIS. 70
wTOROJ [AG DOKAZATELXSTWA SOSTOIT (KAK I PRI DOKAZA- TELXSTWE TEOREMY tEJLORA NA S. 181) W PREOBRAZOWANII IN-
TEGRALOW PO OKRUVNOSTQM |
C2 |
I |
|
|
|
; |
NA OSNOWE FORMULY SUM |
- |
||||||||||||||||||||||||
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C1 |
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||||||
MY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII I OGRANI^ENNOSTI ZNA^ENIJ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
f( ) |
jf( )j6h |
|
NA \TIH OKRUVNOSTQH: |
|
|
|
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1 |
|
f( ) |
|
1 |
|
|
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f( ) |
|
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2 iCH2; |
;z d = |
2 iCH2 ( ;z0);(z;z0) d |
= |
|
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= |
1 |
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|
f( ) |
|
1+ |
z;z0 |
+ |
(z;z0)22 + |
|
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d = |
|
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||||||||||||||
|
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2 iCH2 ;z0 |
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|
;z0 |
|
|
|
( ;z0) |
|
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|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
|
|
f( ) |
|
1+ |
z;z0 |
+ |
|
+(z;z0)mm |
|
d + |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 i |
|
|
z0 |
|
|
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|
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z0 |
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|
( |
|
z0) |
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CH2 |
|
|
; |
|
|
|
|
; |
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|
|
; |
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||||
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1 |
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f( ) |
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|
|
(z;z0)m+1 d |
|
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|
+ 2 iCH2 ( ;z0);(z;z0) ( ;z0)m+1 |
, |
|
PRI^EM SOGLASNO OCENKE INTEGRALA (VIII, c. 133) MODULX WTO- ROGO SLAGAEMOGO W PRAWOJ ^ASTI NE PREWOSHODIT WELI^INY
h 2 z;z0 m+1, STREMQ]EJSQ K NUL@ PRI n!+1, W SILU
2;jz;z0j 2 )
^EGO ISHODNYJ INTEGRAL ESTX PREDEL (PRI n ! +1 PERWOGO IZ DWUH SLAGAEMOYH W PRAWOJ ^ASTI:
186
|
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mP |
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n |
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||||||||
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1 |
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|
f( ) d = |
lim |
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1 |
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m |
|
f( ) |
|
(z;z0)nn d |
= |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
2 iCH2 ;z |
|
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|
m!+12 iCH2 n=0 ;z0 ( ;z0) |
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= |
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lim |
|
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P |
|
1 |
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H |
f( ) (z;nz+10) |
|
d = |
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m!+1 n=0 2 i |
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( ;z0) |
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|
P |
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C2 |
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H |
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+1 |
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|
1 |
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f( ) |
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n |
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||||||||||||||
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= n=0 2 i |
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( ;z0)n+1 d (z;z0) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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C2 |
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oSTAETSQ ZAMENITX W POSLEDNEM RAWENSTWE OBOZNA^ENIE k NA n I ZAMETITX, ^TO SOGLASNO TEOREMe kO[I DLQ KOLXCA (c. 178) OBE OKRUVNOSTI C1 I C2 MOGUT BYTX ZAMENENY L@BYM ZAMKNUTYM KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM ;, RASPOLO-
VENNYM W KOLXCE A I IME@]IM TOT VE (RAWNYJ 1) INDEKS OTNOSITELXNO EGO CENTRA z0 (T. E. ODNOKRATNO OBHODQ]IM TO^KU z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 93, a). |TO OZNA^AET, ^TO HOTQ WYBOR OKRUVNOSTEJ C1 I C2 IZNA- ^ALXNO ZAWISEL OT WYBORA TO^KI z 2A, KO\FFICIENTY cn W
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STAWLENA W KRUGE (ILI KOLXCE) S CENTROM z0 |
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HODQ]IJ ZA PREDELY \TOGO KRUGA (KOLXCA) I ODIN RAZ OBHODQ]IJ EGO CENTR z0 W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII.
dOKAZATELXSTWO. kAKOW BY NI BYL ZAMKNUTYJ KUSO^NOGLADKIJ KONTUR ; UKAZANNOGO WIDA, DLQ FIKSIROWANNOGO
ZNA^ENIQ n (RAWNOGO, SOOTWETSTWENNO, 0 1 2 : : : W SLU^AE
STEPENNOGO I 0 1 2 : : : W SLU^AE OBOB]ENNOGO STEPEN-
NOGO RQDA) I k, PROBEGA@]EGO WSE PERE^ISLENNYE ZNA^ENIQ,
1 |
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f( ) |
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1 |
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Pk cn( ;z0)k |
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1 |
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n k 1 |
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2 i ; ( ;z0)n+1 d = 2 i ; |
( ;z0)n+1 d = 2 i ; k |
ck( ;z0) |
; ; d = |
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H |
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1 |
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H; |
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H |
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H P |
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c |
z |
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k n 1 |
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c |
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z |
1 |
d |
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= 2 i |
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k=n |
k |
( ; |
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0) |
; ; |
+ |
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n( ; 0); |
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= |
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P6 |
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1 |
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( ;z0)k;n 0 |
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cn |
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d |
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= |
2 i |
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+ |
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= 0 + cn ind(; z0) = cn, |
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; |
k=n |
; |
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; |
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H |
P |
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^TO SLEDUET IZ TEOREMY O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO (A TAKVE OBOB]ENNOGO STEPENNOGO) RQDA (II, c. 29 V, c. 72), FORMULQ nX@TONA{lEJBNICA (VIII, c. 133) I OPREDELENIQ INDEK-
SA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX, S. 138). Q.E.D.
189
pRIMERY. 1. sOGLASNO FORMULE SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SPRAWEDLIWY RAWENSTWA
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1 |
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= 1 z + z2 |
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z3 + |
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z <1, |
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1+z |
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; |
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2; |
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j j |
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1 |
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; z; |
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3 |
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4 |
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1+z |
= z(1+z;1) |
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= z; |
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+ z; |
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; z; |
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+ |
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jzj>1, |
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PERWOE IZ KOTORYH ESTX1 |
RAZLOVENIE FUNKCII |
w = |
|
1 |
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W |
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1+z |
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RQD tEJLORA (TO^NEE, mAKLORENA) W KRUGE |
|
z 2 C : |
jzj |
< 1 |
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(W OKRESTNOSTI NULQ), A WTOROE | W RQD lORANA W KOLXCE |
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z 2C : 1 <jzj<+1 |
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(W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI). |
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2. |
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s U^ETOM PREDYDU]EGO PRIMERA I FORMULY PROIZ- |
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WODNOJ SUMMY (OBOB]ENNOGO) STEPENNOGO RQDA (V, c. 72) |
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1 |
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z3= |
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1 |
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1 |
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0 |
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(1+z3)2 |
= |
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(1+ )2 = ; 1+ = |
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=z3 |
( |
1 |
; |
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2z3 + 3z6 |
; |
4z9 + |
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ESLI |
j |
z |
j |
<1 |
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= |
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z |
>1: |
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z;6 |
; |
2z;9 + 3z;12 |
; |
4z;15 + |
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ESLI |
j |
j |
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3. pRIMENENIE TEOREMY tEJLORA K ODNOZNA^NYM WETWQM |
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def |
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def |
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w =ln(1+z) = ln |
j |
1+z +iarg(1+z) I w=(1+z) |
= exp ln(1+z) , |
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W KRUGE |
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z |
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C |
: |
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j |
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2 |
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2 |
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j |
z |
j |
<1 , W KOTOROM ONI QWLQ@TSQ ANALITI^ES- |
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f |
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g |
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ln(1+z) 0= |
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1 |
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; |
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KIMI FUNKCIQMI S PROIZWODNYMI |
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(V, S. 78) |
I |
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1+z |
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0 |
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0 |
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; |
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z |
= |
exp( ln(1+z)) |
= (1+z) |
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= |
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z 1 |
, |
PRIWODIT |
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(1+ ) |
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(1+ ) |
; |
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1+z |
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K RAZLOVENIQM mAKLORENA \TIH ODNOZNA^NYH WETWEJ: |
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; |
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; |
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z2 |
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z3 |
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; |
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z4 |
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jzj<1 |
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ln(1+z) = ln 1 + z |
; |
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2 |
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+ |
3 |
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4 |
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+ |
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(ln 1 = 2 ki |
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k =0 1 2 : : : ) |
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1 w SILU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA. |
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2 |TO MAKSIMALXNYJ KRUG S CENTROM 0, W KOTOROM OPREDELENY \TI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ODNOZNA^NYE WETWI QWNOE WYRAVENIE WETWEJ |
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w = ln(1+z) W ZAPISI |
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z =x+iy PEREMENNOJ z W \TOM KRUGE DAETSQ RAWENSTWAMI |
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ln(1+z) = ln j1+zj+i arg(1+z) = lnp |
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+i arctg |
y |
+2 k , |
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(1+x)2 +y2 |
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1+x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
GDE WYBOR ZNA^ENIQ |
|
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k = 0 1 2 : : : |
|
OPREDELQET WYBOR KONKRETNOJ |
WETWI w=ln(1+z) (NAPRIMER, k =0 OTWE^AET TA, DLQ KOTOROJ ln 1=0).