Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf221
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^-
KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) I PUSTX WNA^ALE w0 | KAKOE{LIBO KONE^NOE KOMPLEKSNOE ZNA^ENIE (w0 2 C ). rAS- SUVDAQ \OT PROTIWNOGO", T. E. PREDPOLAGAQ, ^TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 DANNAQ FUNKCIQ NE PRINIMAET SKOLX
UGODNO BLIZKIE K w0 ZNA^ENIQ (T. E. jf(z);w0j> >0 DLQ WSEH z IZ UKAZANNOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0), MOVNO SDELATX WY-
WOD: FUNKCIQ w = 1 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ I OGRA- f(z);w0
NI^ENNOJ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 I POTOMU IMEET W \TOJ TO^KE (SOGLASNO UTWERVDENI@ NA S. 216) USTRANIMU@ OSOBEN-
NOSTX, A SLEDOWATELXNO (PO TOMU VE UTWERVDENI@), KONE^-
NYJ PREDEL PRI z ! z0. nO OTS@DA WYTEKAET, ^TO FUNKCIQ w = f(z);w0 (A SLEDOWATELXNO, I FUNKCIQ w = f(z)) IMEET
KONE^NYJ1 ILI BESKONE^NYJ2 PREDEL PRI z !z0 , ^TO NEWOZ- MOVNO, POSKOLXKU z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA FUNKCII w =f(z).
w SLU^AE w0 = 1 RASSUVDENIE GORAZDO PRO]E: W L@- BOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f(z) ZAWEDOMO QWLQETSQ NEOGRANI^ENNOJ3, T. E. SREDI EE ZNA^ENIJ ESTX \SKOLX UGODNO BLIZKIE K BESKONE^-
NOSTI". Q.E.D.
uSILENIEM TEOREMY kAZORATI{sOHOCKOGO{wEJER[TRASSA QWLQETSQ SLEDU@]EE (BOLEE TRUDNOE DLQ DOKAZATELXSTWA4) UTWERVDENIE.
TEOREMA pIKARA5 w L@BOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^-
KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ PRINIMAET L@BOE KOMPLEKSNOE ZNA^ENIE ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM LI[X ODNOGO.
1 eSLI |
lim |
1 |
=0. |
|
|
|
|
||||
|
|
z!z0 f(z);w0 |
6 |
|
|
2 eSLI |
lim |
1 |
=0. |
|
|
|
|
||||
|
|
z!z0 f(z);w0 |
|
|
|
3 iNA^E ONA IMELA BY W TO^KE z0 |
USTRANIMU@ OSOBENNOSTX (S. 216). |
||||
4 oNO ESTX, NAPRIMER, U a. i. mARKU[EWI^A W [12] (S. 690{691). |
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
Annales scienti ques de l'Ecole Normale Superieure, ser. II, t. 9, 1880, |
FRANCUZSKIJ MATEMATIK p. 165 Picard, Emile, 1856{1941, | .
222
sFORMULIROWANNU@ TEOREMU INOGDA NAZYWA@T \BOLX[OJ TEOREMOJ pIKARA", SNABVAQ \PITETOM \MALAQ" TOT EE ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA FUNKCIQ QWLQETSQ CELOJ (S SU]ESTWENNOJ OSOBOJ TO^KOJ 1).
wOT NESKOLXKO PRIMEROW KLASSIFIKACII IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK NA OSNOWE PRIWEDENNYH HARAKTERISTIK.
1. |
oSOBYE TO^KI FUNKCII w = ctg z, KOTORAQ QWLQET- |
||||
SQ ANALITI^ESKOJ W PLOSKOSTI C S ISKL@^ENNYMI TO^KAMI |
|||||
k k 2Z, | \TO UKAZANNYE TO^KI (WSE ONI IZOLIROWANNYE1) |
|||||
I 1 |
(NEIZOLIROWANNAQ2). pOSKOLXKU DLQ FUNKCII w = |
1 |
|
|
|
ctg z |
|||||
KAVDAQ TO^KA k QWLQETSQ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ1, A |
|||||
POSLE USTRANENIQ W NEJ OSOBENNOSTI (PUTEM ZAMENY |
|
|
|||
ctgz |
NA tgz) | PROSTYM NULEM, DLQ ISHODNOJ FUNKCII w =ctgz
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
TO^KI k k |
|
Z, QWLQ@TSQ PROSTYMI POL@SAMI. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
pRI PEREHODE K FUNKCII w = ctgz |
; |
|
|
OSOBAQ TO^KA 0 |
||||||||||||||||
z |
||||||||||||||||||||
OKAZYWAETSQ USTRANIMOJ, ^TO WIDNO IZ RAZLOVENIQ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ctgz |
|
1 |
|
= |
z cos z;sin z |
= |
z |
1;z2=2!+ |
; |
z;z3=3!+ |
|
|
|
, |
||||||
; |
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
z |
|
|
sin z |
; |
z |
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z =3!+ |
|
|
|
|
|
||||||||||
I (POSLE USTRANENIQ OSOBENNOSTI) | NULEM 2-J KRATNOSTI. |
||||||||||||||||||||
tO^KI VE k k 2 Z k 6= 0, DLQ FUNKCII w = ctgz ; |
1 |
|
(KAK |
|||||||||||||||||
z |
I DLQ FUNKCII w = ctgz) QWLQ@TSQ PROSTYMI POL@SAMI \TO WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO PROSTOGO, NO WESXMA POLEZNO- GO W PRAKTIKE KLASSIFIKACII OSOBYH TO^EK UTWERVDENIQ | PRQMOGO SLEDSTWIQ TEOREMY lORANA (XII, S. 183).
eSLI z0 QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ ANALI- TI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) I TO^KOJ ANALITI^NOSTI
FUNKCII w = g(z), TO RQDY lORANA FUNKCIJ w = f(z) I w = f(z) g(z) W OKRESTNOSTI TO^KI z0 IME@T ODNU I TU VE GLAWNU@ ^ASTX.
1 w {OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH NET DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII.
2 w L@BOJ OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI ESTX TO^KI WIDA k.
2. |
|
dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII |
|
w = sin |
1 |
|
|
OSOBY- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MI TO^KAMI QWLQ@TSQ |
i I |
1 |
|
(WSE IZOLIROWANNYE). tAK |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
KAK PRI STREMLENII z |
K TO^KAM |
1 i |
|
WDOLX MNIMOJ OSI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(OT NA^ALA KOORDINAT) WELI^INA |
|
|
|
|
|
|
|
, WOZRASTAQ, PRINI- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 DO +1, FUNKCIQ |
|||||||||||||||||
MAET WSE 1DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ OT |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w = sin |
|
|
|
|
|
|
|
NE IMEET PREDELA PRI z |
! i, A POTOMU OBE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TO^KI |
|
i |
| SU]ESTWENNO OSOBYE DLQ \TOJ FUNKCII. tAK |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
=0, OSOBAQ TO^KA |
|
1 QWLQETSQ DLQ FUNKCII |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
KAKzlim sin z2+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w = sin |
|
z2+1 |
USTRANIMOJ BOLEE TOGO, POSKOLXKU PRI ZAME- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||
NE z NA |
z |
|
FUNKCIQ w = sin z2 |
+1 |
PEREHODIT W w = sin 1+z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(DLQ KOTOROJ NA^ALO KOORDINAT ESTX NULX KRATNOSTI 1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BESKONE^NOSTX QWLQETSQ (ZAME^ANIE NA S. 219) NULEM FUNK- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
KRATNOSTI 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
CII w=sin z2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =exp |
|
|
|
|
OSOBYMI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z sin |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
TO^KAMI QWLQ@TSQ: 1 |
|
, |
, |
|
, : : : (IZOLIROWANNYE) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I 0 (NEIZOLIROWANNAQ). TAK KAK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim exp |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= exp lim |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
= exp 1 = e, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!0 ;3! |
|
|
5! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z!1 |
|
|
|
|
z sin z |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
OSOBAQ TO^KA |
1 |
|
QWLQETSQ USTRANIMOJ |
PRI STREMLENII VE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z K L@BOJ IZ TO^EK k , k = 1 2 : : : , S RAZNYH STORON |
WDOLX DEJSTWITELXNOJ OSI ZNA^ENIE FUNKCII STREMITSQ W
ODNOM SLU^AE K 0, A W DRUGOM K +1 SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ NE IMEET PREDELA NI W ODNOJ IZ \TIH TO^EK, A POTOMU KAVDAQ IZ NIH | SU]ESTWENNO OSOBAQ.
4. |
dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = |
ctgz |
OSOBYMI QW- |
||||
cos z;1 |
|||||||
LQ@TSQ TO^KI zk = k k = 0 1 2 : : : (WSE ONI IZOLI- |
|||||||
ROWANNYE) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ). tAK KAK DLQ FUNKCII |
|||||||
w = |
|
|
1 |
|
= sin z(cos z;1) TO^KI zk = k QWLQ@TSQ NULQMI |
||
|
|
ctgz |
|
||||
|
|
|
|
cos z |
|||
|
|
cos z;1 |
|||||
|
|
|
|
|
224 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(KRATNOSTI 1 DLQ NE^ETNYH k I KRATNOSTI 3 DLQ k ^ET- |
||||||||||||||||||||||||
NYH), UKAZANNYE TO^KI OKAZYWA@TSQ DLQ FUNKCII w= |
|
ctgz |
||||||||||||||||||||||
cos z;1 |
||||||||||||||||||||||||
POL@SAMI SOOTWETSTWU@]IH PORQDKOW. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2+ 2 |
|
|
||||
5. |
oSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = ez+1 |
| |
||||||||||||||||||||||
\TO NULI ZNAMENATELQ, T. E. zk =i (2k;1) |
k =0 1 2 : : : |
|||||||||||||||||||||||
(WSE IZOLIROWANNYE) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ). pOSKOLXKU |
|
|||||||||||||||||||||||
|
z2+ 2 |
= (z+i )(z;i ) = |
(z;z0)(z;z1) |
= |
(z;z0)(z;z1) |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
ez+1 |
1 ez i (2k 1) |
1 |
+ |
1 |
z z |
k) |
n |
+ |
1 |
z z |
k) |
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
; |
; ; |
|
( ; |
|
|
|
|
|
( ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
;n=0 |
n! |
|
|
|
|
;n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
OSOBYE TO^KI zk |
PRI k =0 1 OKAZYWA@TSQP |
USTRANIMYMIP |
, A |
|||||||||||||||||||||
PRI k =;1 2 : : : | POL@SAMI 1-GO PORQDKA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
mNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ |
w = |
z+1p |
|
|
IMEET W OKREST- |
||||||||||||||||||
z |
|
NOSTI TO^KI z = 1 DWE ODNOZNA^NYE ANALITI^ESKIE WETWI,
OPREDELQEMYE 0SOOTWETSTWENNO ZNA^ENIQMI p1=1 I p1=;1 TO^KA z0 =1 DLQ PERWOJ IZ NIH NE QWLQETSQ OSOBOJ, DLQ WTO-
ROJ VE ONA SLUVIT POL@SOM 1-GO PORQDKA, POSKOLXKU DLQ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
\TOJ WETWI |
1 |
|
|
|
= 1+p1=0, a |
|
1 |
|
|
= 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
z+p |
|
|
|
|
|
|
z+p |
|
z=16 |
||||
|
|
z |
|
|
z=1 |
z |
iLL@STRIROWATX DANNYE WY[E HARAKTERISTIKI IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK MOGUT TAKVE SLEDU@]IE UTWERVDE- NIQ.
eSLI DLQ CELOJ (T. E. ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C )
FUNKCII w =f(z) EDINSTWENNAQ EE OSOBAQ TO^KA 1 QWLQ-
ETSQ USTRANIMOJ, TO \TA FUNKCIQ ESTX POSTOQNNAQ, PRI
\TOM f(z) zlim!1f(z).
dOKAZATELXSTWO. l@BAQ CELAQ FUNKCIQ w=f(z) IMEET WO WSEJ PLOSKOSTI C RAZLOVENIE tEJLORA f(z)= +P1cnzn, ODNO-
n=0
WREMENNO QWLQ@]EESQ EE RAZLOVENIEM lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI. eSLI OSOBAQ TO^KA 1 \TOJ FUNKCII
225
+P1cnzn \TOGO RAZ-
n=1
LOVENIQ DOLVNA OTSUTSTWOWATX, T. E. f(z)=c0 . Q.E.D.
tEOREMA lIUWILLQ.1 sREDI CELYH FUNKCIJ OGRANI^EN-
NYMI QWLQ@TSQ LI[X POSTOQNNYE.
dOKAZATELXSTWO. eSLI CELAQ FUNKCIQ OGRANI^ENA, TO 1 QWLQETSQ DLQ NEE USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ (S. 216), A PO PREDYDU]EMU UTWERVDENI@ TAKAQ FUNKCIQ ESTX POSTOQN-
NAQ. Q.E.D.
tEOREMA O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNOGO^LENA.1
l@BOJ MNOGO^LEN p(z) (STEPENI n |
> |
1) IMEET KORENX z 2 |
C |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dOKAZATELXSTWO |
. eSLI BY MNOGO^LEN p(z) |
STEPENI n > 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
NE OBRA]ALSQ W NULX NI W ODNOJ TO^KE z |
|
|
C , TO FUNK- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
CIQ |
w = |
|
|
|
|
|
|
OKAZYWALASX BY CELOJ, PRI^EM | POSKOLXKU |
|||||||||||||||||||||||||||
p(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
1 |
=0 | IME@]EJ USTRANIMU@ OSOBENNOSTX W |
1 |
. |TO |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z!1p(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
WOZMOVNO LI[X ESLI \TA FUNKCIQ | POSTOQNNNAQ, |
PRI^EM |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
= lim |
1 |
|
=0 | PROTIWORE^IE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p(z) |
|
z!1p(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
tEOREMA O RAZLOVENII PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
DROBI NA PROSTYE. eSLI MNOGO^LENY p(z) I q(z) |
NE IME- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
@T OB]IH NULEJ (KORNEJ) I STEPENX PERWOGO MENX[E STE- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
PENI WTOROGO, |
TO OTNO[ENIE |
p(z) |
| EGO W \TOM SLU^AE NA- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
q(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ZYWA@T2 |
PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBX@ |
| PREDSTAWIMO, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
PRI^EM EDINSTWENNYM OBRAZOM, W WIDE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
p(z) |
|
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
A1 |
|
|
|
Bm |
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
q(z) |
= (z;a)k + + z;a |
+ (z;b)m + + z;b + |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (z;c)n |
+ + z;c , |
1 uVE WSTRE^ALASX WY[E (XIII, S. 197). 2 sLEDUQ |JLERU [19], x38, c. 47.
226
GDE W ZNAMENATELQH PROSTYH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI a b : : :
| NULI MNOGO^LENA | KRATNOS-
TI \TIH NULEJ ^ISLITELQMI VE IH QWLQ@TSQ NEKOTORYE
KOMPLEKSNYE ^ISLA (TRADICIONNO OBOZNA^AEMYE ZAGLAWNYMI BUKWAMI I OBY^NO NAHODIMYE METODOM NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW | SRAWNENIEM LEWOJ I PRAWOJ ^ASTEJ RAWEN- STWA POSLE PRIWEDENIQ SOSTAWLQ@]IH IH DROBEJ K OB]EMU ZNAMENATEL@).
dOKAZATELXSTWO. eDINSTWENNOSTX UKAZANNOGO PREDSTAW- LENIQ SLEDUET IZ TOGO, ^TO TO^KA a QWLQETSQ OSOBOJ LI[X DLQ PERWOJ (WZQTOJ W KWADRATNYE SKOBKI) GRUPPY PROSTYH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI, W SILU ^EGO \TA GRUPPA PROSTYH DRO- BEJ SOSTAWLQET W TO^NOSTI GLAWNU@ ^ASTX RQDA lORANA SUM- MY WSEH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI, A SLEDOWATELXNO, I FUNKCII
w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI a. pO TEM VE SOOBRAVENI-
QM |
|
|
Bm |
|
|
B1 |
|
|
|
||
|
(z |
|
b)m + + z |
b ESTX W TO^NOSTI GLAWNAQ ^ASTX RQDA |
|||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
; p(z) |
|||
lORANA FUNKCII |
w = |
|
W OKRESTNOSTI TO^KI b I T. D. |
||||||||
q(z) |
|||||||||||
|
pRAKTI^ESKI TAK VE DOKAZYWAETSQ SU]ESTWOWANIE UKA- |
ZANNOGO PREDSTAWLENIQ. tAK KAK TO^KI a b : : : c QWLQ@T-
SQ NULQMI (KRATNOSTEJ k m : : : n) MNOGO^LENA p(z), ONI VE OKAZYWA@TSQ POL@SAMI (TEH VE PORQDKOW k m : : : n)
p(z) |
|
Ak |
|
|
|
A1 |
|
|
|||
FUNKCII w = q(z) . eSLI S^ITATX, ^TO |
(z;a)pk(z+) |
+ z;a ESTX |
|||||||||
GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = |
q(z) |
|
W OKRESTNOSTI |
||||||||
p(z) |
p(z) |
|
|
Ak |
|
|
|
A1 |
|
||
TO^KI a, TO ZAMENA W NEJ q(z) |
NA q(z) |
; (z;a)k + + z;a , |
S ODNOJ STORONY, DELAET OSOBU@ TO^KU a USTRANIMOJ, A S DRUGOJ | OSTAWLQET NEIZMENNYMI GLAWNYE ^ASTI RQDOW
lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTQH TO^EK b : : : c (UTWERVDENIE NA S. 222).
227
pOWTORENIE \TIH RASSUVDENIJ PRIMENITELXNO K TO^KAM b : : : c POZWOLQET SDELATX WYWOD: FUNKCIQ
p(z) |
|
Ak |
|
|
A1 |
|
Bm |
|
|
B1 |
|
|
||
w = q(z) |
; (z;a)k + + z;a ; (z;b)m + + z;b ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
|
|
|
C1 |
|
|
IMEET W PLOSKOSTI C |
|
|
; (z;c)n + + z;c |
|||||||||||
LI[X USTRANIMYE OSOBYE TO^KI, A PO- |
TOMU POSLE USTRANENIQ W NEJ OSOBENNOSTEJ OKAZYWAETSQ CELOJ. tAK KAK PRI z ! 1 \TA FUNKCIQ (SUMMA PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ) STREMITSQ K NUL@, ONA (UTWERVDE- NIE NA c. 223) ESTX TOVDESTWENNYJ NULX. Q.E.D.
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO OPREDELENIE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI NA S. 212 \KWIWALENTNO DANNOMU W SNOSKE NA TOJ VE STRANICE.
2. oBOSNOWATX I PROILL@STRIROWATX PRIMERAMI SLEDU@]U@ TAB- LICU WOZMOVNYH OSOBENNOSTEJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w=f(z)+g(z) W ZAWISIMOSTI OT WIDOW OSOBENNOSTEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ w =f(z)
I w =g(z) W IH OB]EJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE.
|
|
|
USTRANIMAQ OSO- |
POL@S |
|
|
SU]ESTWENNO |
|
|
f |
|
BAQ TO^KA, NULX |
PORQDKA |
|
|
OSOBAQ |
|
|
g |
|
KRATNOSTI k |
l |
|
|
TO^KA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
USTRANIMAQ OSO- |
|
USTRANIMAQ, |
POL@S |
|
|
SU]ESTWENNO |
|
|
BAQ TO^KA, NULX |
|
NULX KRATNOSTI |
PORQDKA |
|
|
OSOBAQ |
|
|
KRATNOSTI m |
|
> minfk mg1 |
l |
|
|
TO^KA |
|
|
POL@S |
|
POL@S |
POL@S |
|
|
SU]ESTWENNO |
|
|
PORQDKA |
|
PORQDKA |
PORQDKA |
|
|
OSOBAQ |
|
|
n |
|
n |
6 max l n |
|
2 |
TO^KA |
|
|
SU]ESTWENNO |
|
SU]ESTWENNO |
f |
g |
|
OSOBENNOSTX |
|
|
|
SU]ESTWENNO |
|
|||||
|
OSOBAQ |
|
OSOBAQ |
OSOBAQ |
|
|
L@BOGO |
|
|
TO^KA |
|
TO^KA |
TO^KA |
|
|
WIDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tO^NEE, KRATNOSTI minfk mg, ESLI m 6= k, I KRATNOSTI >k, ESLI
m=k.
2 tO^NEE, PORQDKA maxfl ng, ESLI n =6 l, I PORQDKA 6 l (WKL@^AQ SLU^AJ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KI), ESLI n=l.
228
3. zAPOLNITX PODOBNU@ TABLICU DLQ FUNKCII w =f(z)g(z).
4. dOKAZATX, ^TO NA GRANICE KRUGA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA NEPREMENNO ESTX NEUSTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA EGO SUMMY.
5. pROWERITX RAWNOSILXNOSTX FORMULIROWOK TEOREMY kAZORATI{ sOHOCKOGO{wEJER[TRASSA NA S. 220 I DANNOJ W SNOSKE NA TOJ VE STRA- NICE.
6. kAKU@ OSOBENNOSTX IMEET FUNKCIQ w=ef(z) W TO^KE z0 , ESLI DLQ FUNKCII w = f(z) \TA TO^KA QWLQETSQ a) POL@SOM? B) SU]ESTWENNO
OSOBOJ?
7. pROWERITX UTWERVDENIE TEOREMY pIKARA (S. 221) DLQ FUNKCIJ
w= cos |
1 |
, |
w= exp |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. pRIWESTI PRIMER MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z), DLQ ODNO- |
|||||||||||||||||||||
ZNA^NYH WETWEJ KOTOROJ TO^KA z0 2 C BYLA BY OSOBOJ, |
PRI^EM DLQ |
||||||||||||||||||||
ODNOJ WETWI | USTRANIMOJ, DLQ DRUGOJ | POL@SOM, DLQ TRETXEJ | |
|||||||||||||||||||||
SU]ESTWENNO OSOBOJ, DLQ ^ETWERTOJ | NEIZOLIROWANNOJ. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin |
p |
;i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
w = |
|
pz;i |
|
|
|
pz+i |
|
, |
z0 =1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pz+1 |
|
|
229
XV. ~TO NAZYWA@T WY^ETAMI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ I KAK IMI OPERIRU@T
wY^ETOM1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) W EE IZOLI-
ROWANNOJ OSOBOJ TO^Ke z0 |
2 C |
NAZYWA@T OBOZNA^AEMYJ2 |
||||||||||
res f(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=z0 |
+ |
|
|
(z ;z0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 W RAZLOVENII lORANA \TOJ |
|||||||||
KO\FFICIENT PRI |
|
|
||||||||||
FUNKCII f(z) =n= |
1 |
cn(z ;z0)n W OKRESTNOSTI TO^KI z0 W |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
SLU^AE, |
P |
|
|
|
|
def |
|
1 (z0 |
|
C ) |
|
|
ESLI \TA TO^KA KONE^NA: |
res f(z) = c |
; |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z=z0 |
|
|
|
WZQTYJ S MINUSOM KO\FFICIENT PRI z;1 W ee RAZLOVENII lORANA f(z)= +P1 cnzn W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI, ESLI
n=;1
def
z0 =1: res f(z) = ;c;1 .
z=1
pONQTIE WY^ETA ANALITI^ESKOJ FUNKCII (PERWONA^ALXNO W EE PO-
L@SE) WWEL W 1826 G. kO[I, WIDQ W NEM (W SLU^AE OBRA]ENIQ FUNKCII W BESKONE^NOSTX) NEKOTORU@ ANALOGI@ S PONQTIEM PROIZWODNOJ. wOT ^TO
MOVNO PRO^ITATX NA S. 11 PERWOGO TOMA EGO \Exercices de Mathematiques" (= [28], ser. II, t. VI, p. 23), GDE WPERWYE POQWLQETSQ TERMIN WY^ET.
\kOGDA NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x PRIDAETSQ BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE ", FUNKCIQ f(x) \TOJ PEREMENNOJ SAMA POLU^AET, WOOB]E
1 uSTOQW[IJSQ PEREWOD TERMINA kO[I le residu | OSTATOK PRI^INU WYBORA IMENNO \TOGO TERMINA DLQ WWODIMOGO IM PONQTIQ kO[I W SWOIH RABOTAH NE OB_QSNIL.
2 w NASTOQ]EE WREMQ (NARQDU S WARIANTAMI \TOGO OBOZNA^ENIQ). pREDLOVENNOE kO[I OBOZNA^ENIE WY^ETOW NA OSNOWE STILIZOWANNOJ BUKWY E | NA^ALXNOJ W NAZWANII OPERACII IZWLE^ENIQ WY^ETOW
(Extraction des residus) | NE PRIVILOSX.
230
GOWORQ, BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE, PERWYJ ^LEN KOTOROGO PROPOR- CIONALEN ", I KONE^NYJ KO\FFICIENT PRI " W PRIRA]ENII FUNKCII ESTX TO, ^TO NAZYWA@T DIFFERENCIALXNYM KO\FFICIENTOM ... eS- LI POSLE NAHOVDENIQ ZNA^ENIJ x, OBRA]A@]IH FUNKCI@ f(x) W BES- KONE^NOSTX, PRIBAWITX K ODNOMU IZ \TIH ZNA^ENIJ, OBOZNA^EMOMU x1,
BESKONE^NO MALOE KOLI^ESTWO ", |
|
A ZATEM RAZLOVITX f(x1 +") PO WOZ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
RASTA@]IM STEPENQM \TOGO KOLI^ESTWA, TO PERWYE ^LENY RAZLOVENIQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BUDUT SODERVATX OTRICATELXNYE STEPENI ", I ODIN IZ NIH BUDET PROIZ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WEDENIEM |
|
1 |
|
|
NA KONE^NYJ KO\FFICIENT, |
|
KOTORYJ MY BUDEM NAZYWATX |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
" |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WY^ETOM FUNKCII f(x) OTNOSITELXNO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ x1 PERE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MENNOJ x."1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
pRIMER |
. wY^ETY ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = z2;1 |
W EE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
OSOBYH TO^KAH 1 ;1 1 RAWNY SOOTWETSTWENNO |
1 |
, 21, ;1: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z2 |
|
1 |
= z |
|
1 |
1 |
z+1 |
= z |
|
|
|
1 |
|
1 |
; |
2 1+(z |
|
1)=2 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
; ; |
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
; |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
z;1 |
|
+ |
(z;21) |
|
|
; |
|
z 1 <2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
;1 |
; ; |
2 |
; |
|
; |
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
j ; j |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z2 |
|
1 |
= z+1 |
1+ z |
|
1 |
= z+1 |
|
1 |
|
2 1+(z+1)=2 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
1 |
; |
|
|
|
z+1 |
|
|
|
;(z;+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
;1; |
;1+ |
|
+ |
|
22 |
|
|
|
+ |
jz+1j<2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z+1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 w ORIGINALE: \Lorsqu'on attribue a une variable independante |
x un |
accroissement in niment petit ", une fonction f(x) de cette variable recoit elle-m^eme en general un accroissement in niment petit dont le premier terme est proportionnel a ", et le coe cient ni de " dans l'accroissement de la fonction est ce qu'on nomme le coe cient di erentiel... Si, apres avoir cherche les valeurs de x qui rendent la fonction f(x) in nie, on ajoute a l'une de ces valeurs, designee par x1 , la quantite in niment petite ", puis, que l'on developpe f(x1 +") suivant les puissances ascendantes de la m^eme quantite, les premiers termes du developpement renfermeront
"1 par un
coe cient, que nous appellerons le residu de la fonction f(x) relatif a la valeur particuliere x1 de la variable x."