Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf211
NA^ALA KOORDINAT (IV, S. 68), WSE TO^KI \TOGO LU^A QWLQ@TSQ
NEUSTRANIMYMI OSOBYMI TO^KAMI (IV, c. 69). (dLQ FUNKCII
sinpz p
VE w = pz PRI TAKOM PONIMANII z WSE TO^KI \TOGO
LU^A OKAZYWA@TSQ OSOBYMI, NO USTRANIMYMI.)
4. dLQ FUNKCII w = ctgz OSOBYMI QWLQ@TSQ TO^KI 0 2 : : : , A TAKVE 1 WSE ONI NEUSTRANIMYE (WWIDU
NEOGRANI^ENNOSTI FUNKCII W L@BOJ OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH).
5. |
fUNKCIQ w = |
sin3 z |
IMEET TE VE OSOBYE TO^KI | 0 |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(USTRANIMU@) I 1 (NEUSTRANIMU@), | ^TO I FUNKCIQ IZ |
||||||||||||||||
PRIMERA 2. sLEDUET, ODNAKO, OTMETITX, ^TO TAK KAK |
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin3 z |
= |
1 |
+1 (;1)nz2n+1 |
3 |
= |
z3 |
+1 (;1)nz2n |
3 , z |
|
C r |
|
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
f |
g |
|||||||||
|
z |
|
z |
n=0 (2n+1)! |
|
z |
n=0 (2n+1)! |
|
|
|
|
|||||
TO^KA 0 POSLE ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ W NEE FUNKCII, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
PRAKTI^ESKI OSU]ESTWLQEMOGO SOKRA]ENIEM NA z ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ DROBI W PRAWOJ ^ASTI, OKAZYWAETSQ (DLQ PRO-
DOLVENNOJ FUNKCII!) NULEM KRATNOSTI 2. w \TOM I PODOB-
NYH SLU^AQH GOWORQT, ^TO I SAMA ISHODNAQ FUNKCIQ w = sin3 z z
(DLQ KOTOROJ TO^KA 0 QWLQETSQ OSOBOJ !) IMEET W \TOJ TO^KE
NULX KRATNOSTI 2.
zAME^ANIE. w SWQZI S POSLEDNIM PRIMEROM SLEDUET OTMETITX, ^TO SU]ESTWUET (NE RAZDELQEMOE AWTOROM) MNENIE, PO KOTOROMU
MYE OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII WOOB]E NE SLEDUET S^ITATX EE OSOBYMI TO^KAMI, A NAOBOROT, PRI^ISLQTX IH K TO^KAM ANALITI-
^ENOSTI \TOJ FUNKCII, NAZYWAQ IH EE PRAWILXNYMI TO^KAMI. w SOOT-
WETSTWII S \TIM PODHODOM, NAPRIMER, FUNKCIQ w = |
sin z |
|
IMEET OSOBOJ |
|||||
sin z |
||||||||
TO^KOJ LI[X 11 ILI DAVE2 WOOB]E NE IMEET |
|
|
|
|
||||
OSOBYH TO^EK. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
1 s^ITAETSQ, ^TO \OSOBENNOSTI" FUNKCII |
W TO^KAH |
k k 2 |
Z, |
|||||
\USTRANENY" EE ANALITI^ESKIM PRODOLVENIEM W NIH FUNKCIEJ w |
|
1. |
||||||
2 sNOSKA 3 NA S. 209. |
|
|
|
|
|
212
iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI I IH KLASSIFIKACIQ
tO^KU z0 2 C NAZYWA@T IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ
ANALITI^ESKOJ FUNKCII w=f(z), ESLI U \TOJ TO^KI SU]EST- WUET OKRESTNOSTX1, WSE TO^KI KOTOROJ (OTLI^NYE OT z0 ) QW-
LQ@TSQ TO^KAMI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII.2
nAPRIMER, DLQ ODNOZNA^NOJ WETWI \KWADRATNOGO KORNQ" |
|||||||||||||||||||||||||
w =pz, WYDELQEMOJ W PLOSKOSTI C |
|
|
S \RAZREZOM" PO KAKOMU{ |
||||||||||||||||||||||
LIBO LU^U, WYHODQ]EMU IZ TO^KI 0 |
(PRIMER 3 NA S. 110), |
||||||||||||||||||||||||
WSE TO^KI \TOGO LU^A (WKL@^AQ 0 I |
|
1) QWLQ@TSQ NEIZOLI- |
|||||||||||||||||||||||
ROWANNYMI OSOBYMI TO^KAMI. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII |
|||||||||||||||||||||||||
w = ctg :z |
(PRIMER 4) OSOBYE TO^KI 0 |
2 : : : QWLQ@T- |
|||||||||||||||||||||||
SQ IZOLIROWANNYMI, A OSOBAQ TO^KA |
|
|
1 |
| NEIZOLIROWANNOJ. |
|||||||||||||||||||||
kLASSIFIKACIQ (OPISANIE HARAKTERNYH RAZNOWIDNOSTEJ) |
|||||||||||||||||||||||||
IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK ANALITI^ESKIH FUNKCIJ BAZI- |
|||||||||||||||||||||||||
RUETSQ NA TOM, ^TO W OKRESTNOSTI KAVDOJ SWOEJ IZOLIRO- |
|||||||||||||||||||||||||
WANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 |
FUNKCIQ PO TEOREME lORANA (XII, |
||||||||||||||||||||||||
S. 183)3 IMEET RAZLOVENIE W RQD lORANA: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
+1 |
cn(z |
; |
z0)n |
PRI |
0< |
|
z |
; |
z0 |
j |
<r |
ESLI z0 |
2 |
C |
|
|||||||||
f(z)= 8n=;1 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
> |
P+1 cnzn |
PRI |
r < |
j |
z |
j |
<+ |
1 |
|
ESLI z0 = |
1 |
: |
|||||||||||||
< |
n= |
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
C , TAK I |
|
z |
|
= |
|
) RQD lORANA |
|||||||||||
B OBOIH SLU^AQH (KAK |
0 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
> |
P |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FUNKCII w = f(z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ
1 t. E. MNOVESTWO WIDA |
fz 2 |
C : 0 < jz ; z0j < rg (PRI NEKOTOROM |
|||
r 0 < r 6 +1), ESLI z0 |
2 C , I |
fz 2 C : r < jzj < +1g (PRI NEKOTOROM |
|||
r >0), ESLI z0 = |
1 |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|KWIWALENTNO: OSOBAQ TO^KA z0 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) S^ITAETSQ IZOLIROWANNOJ, ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 NET
DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII (W PROTIWNOM SLU^AE OSOBU@ TO^KU
z0 NAZYWA@T NEIZOLIROWANNOJ).
3 pRIMENENNOJ K KOLXCU WIDA fz 2C : 0 <jz;z0j< rg, ESLI z0 2C , I
fz 2C : r <jzj<+1g, ESLI z0 =1.
213
TO^KI z0 RAZDELQ@T NA GLAWNU@ I PRAWILXNU@ ^ASTI.1. gLAWNOJ ^ASTX@ RQDA lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII
w = f(z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI
z0 |
|
1 |
|
|
|
|
z0 2 |
|
|
z0 |
=1 |
|
I |
S^ITA@T | SOOTWETSTWENNO SLU^AQM |
|
C |
I |
|
|
| |
|||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
; |
|
n |
c;1 |
c;2 |
|
c;3 |
|
|
|
|
|
|
n=;1cn(z;z0) |
|
= z;z0 |
+ (z;z0)2 |
+ (z;z0)3 |
+ |
|
+P1cnzn = c1z + c2z2 + c3z3 +
n=1
PRO^IE SLAGAEMYE RQDA lORANA2 OTNOSQT K EGO PRAWILXNOJ ^ASTI.
pOSKOLXKU SREDI KO\FFICIENTOW lORANA cn MOGUT BYTX I RAWNYE NUL@, NE ISKL@^ENY SLU^AI, KOGDA GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA3 SODERVIT LI[X KONE^NOE ^ISLO (NENULEWYH) SLAGAEMYH ILI DAVE WOWSE OTSUTSTWUET.
sOOTWETSTWENNO SLU^AQM, KOGDA W RQDE lORANA ANALITI- ^ESKOJ FUNKCII w = f(z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 GLAWNAQ ^ASTX
a) OTSUTSTWUET,
B) SODERVIT KONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH,
W) SODERVIT BESKONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH
IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z0 FUNKCII w=f(z) NAZYWA@T A) USTRANIMOJ,
B) POL@SOM,
W) SU]ESTWENNO OSOBOJ.
1 dLQ RQDA lORANA FUNKCII W KOLXCE |
z 2 |
C |
: 0< r1 < jz;z0j < r2 |
||
ILI |
z 2 C : r1 < jzj < r2 < +1 |
(PERWOE NE QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ |
|||
TO^KI z0 2C , A WTOROE | TO^KI z0 |
=1) TAKOGO RAZDELENIQ | NA GLAWNU@ |
||||
I PRAWILXNU@ ^ASTI | NE PROIZWODQT. |
|
|
|
2 sODERVA]IE NEOTRICATELXNYE STEPENI z ;z0 W SLU^AE z0 2 C I
NEPOLOVITELXNYE STEPENI z , ESLI z0 = 1.
3 rAWNO KAK I EGO PRAWILXNAQ ^ASTX.
214
pONQTIE POL@SA IMEET UTO^NENIE. s^ITAETSQ, ^TO POL@S z0 FUNKCII w = f(z) IMEET PORQDOK (ILI KRATNOSTX) k,
ESLI1 (z;z0);k ESTX STAR[AQ OTRICATELXNAQ STEPENX z;z0 ILI2 zk ESTX STAR[AQ POLOVITELXNAQ STEPENX z W GLAWNOJ
^ASTI RQDA lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0. pOL@SY 1-GO PORQDKA PRINQTO NAZYWATX PROSTYMI.
nAPRIMER, DLQ FUNKCII w= z12 + 1z +z2+ z3 TO^KI 0 I 1 QWLQ@TSQ POL@SAMI SOOTWETSTWENNO 2-GO I 3-GO PORQDKOW. nAGLQDNU@ ILL@STRACI@ PERE^ISLENNYH TIPOW IZOLIRO-
WANNYH OSOBYH TO^EK DA@T CELYE3 FUNKCII w = f(z), DLQ KAVDOJ IZ KOTORYH WO WSEJ PLOSKOSTI C IMEET MESTO RAZ-
LOVENIE tEJLORA
f(z) = c0 + c1z + c2z2 + c3z3 + |
z |
2C , |
ODNOWREMENNO4 QWLQ@]EESQ RAZLOVENIEM lORANA \TOJ FUNK- |
||
CII W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI. |
|
|
eDINSTWENNAQ OSOBAQ TO^KA 1 TAKOJ FUNKCII OKAZYWA- |
||
ETSQ DLQ NEE SOOTWETSTWENNO: A) USTRANIMOJ, |
B) POL@SOM |
|
(PORQDKA k), W) SU]ESTWENNO OSOBOJ |
TOGDA I TOLXKO TOG- |
DA, KOGDA \TA FUNKCIQ ESTX SOOTWETSTWENNO: a) POSTOQNNAQ
(c1 =c2 = |
= 0), B) MNOGO^LEN (ck 6=0 ck+1 =ck+2 = = 0), |
||||||||||
W) CELAQ TRANSCENDENTNAQ FUNKCIQ (III, c. 53). |
|
||||||||||
sMQG^ITX NEUDOBSTWO, SWQZANNOE S NEOBHODIMOSTX@ OT- |
|||||||||||
DELXNO RASSMATRIWATX SLU^AI KONE^NOJ (z0 |
2C ) I BESKONE^- |
||||||||||
NOJ |
(z0 =1) |
OSOBOJ TO^KI |
, |
POZWOLQET ZAMENA PEREMENNOJ |
z |
||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||
NA |
1 |
, PRI KOTOROJ RQD lORANA |
|
1 cnzn FUNKCII w = f(z), |
|||||||
z |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 w SLU^AE z0 2C . |
|
|
|
|
|
|
|||||
3 w SLU^AE z0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t. E. ANALITI^ESKIe WO WSEJ PLOSKOSTI C . |
|
|
4 w SILU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA
(XII, S. 188).
215
QWLQ@]EJSQ ANALITI^ESKOJ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI
(PRI |
j |
z |
j |
> r), I RQD lORANA |
+1 cnz;n FUNKCII w = f |
1 |
, |
|
z |
||||||||
|
|
|
n=;1 |
(PRI |
||||
OKAZYWA@]EJSQ ANALITI^ESKOJ W OKRESTNOSTI NULQ |
||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
jzj < r;1), PEREHODQT DRUG W DRUGA S ODNOWREMENNYM PERE- HODOM DRUG W DRUGA TAKVE I GLAWNYH ^ASTEJ \TIH RQDOW.
nA OSNOWANII \TOGO MOVNO ZAKL@^ITX:
|
|
oSOBAQ TO^KA z0 =1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) QW- |
||||||||||
|
|
LQETSQ |
a) USTRANIMOJ, B) POL@SOM (PORQDKA k), |
|
W) SU- |
|||||||
|
|
]ESTWENNO OSOBOJ, G) NEIZOLIROWANNOJ |
W TOM I TOLXKO W |
|||||||||
|
|
TOM SLU^AE, KOGDA z0 =0 OKAZYWAETSQ OSOBOJ TO^KOJ IMEN- |
||||||||||
|
|
NO TAKOGO WIDA DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f |
|
1 |
. |
|||||||
|
|
z |
||||||||||
|
|
w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII w = sin |
1 |
|
TO^KI 0 I |
1 QW- |
||||||
|
|
z |
||||||||||
LQ@TSQ SOOTWETSTWENNO SU]ESTWENNO OSOBOJ I USTRANIMOJ, |
||||||||||||
POSKOLXKU POSLE ZAMENY z NA |
1 |
\TA FUNKCIQ PEREHODIT W |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
z |
|
|
|
|
|||
|
w =sin |
| FUNKCI@, SOWPADA@]U@ (PRI z =0) S w =sin z, |
||||||||||
|
1=z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
A POTOMU IME@]U@ RAZLOVENIE |
|
|
|
|
sin1=z1 = z; z3!3 + z5!5 ; z7!7 + 0<jzj<+1,
QWLQ@]EESQ EE RAZLOVENIEM W RQD lORANA I W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI (PO OTNO[ENI@ K KOTOROJ WESX RQD SOSTOIT IZ GLAWNOJ ^ASTI), I W OKRESTNOSTI NULQ (PO OTNO[ENI@ K KOTOROJ RQD SOSTOIT TOLXKO IZ PRAWILXNOJ ^ASTI).
pONQTIQMI POL@SA ANALITI^ESKOJ FUNKCII I EGO PORQDKA OPERI- ROWALI (E]E DO OFORMLENIQ \TIH TERMINOW) kO[I (NAPRIMER, W [28],
ser. II, t. II, p. 354 t. VI, p. 25) I rIMAN ([15], S. 68{69). wEJER[TRASS
([43], Bd. II, S. 78) WWEL PONQTIE SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI1, A OBRA-
]AQSX S POL@SAMI, NAZYWAL IH NESU]ESTWENNYMI OSOBYMI TO^KAMI2. tERMIN POL@S WO[EL W OBIHOD IZ KNIG nEJMANA ([39], S. 94) I bRIO I bUKE ([23], p. 15).
1 Wesentliche singulare Stelle.
2 Ausserwesentliche singulare Stellen.
216
hARAKTERISTIKA USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KI |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dLQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 ANALITI^ESKOJ FUNK- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
CII w =f(z) SLEDU@]IE TRI USLOWIQ \KWIWALENTNY: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
z0 |
| USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA FUNKCII w=f(z), T. E. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
RAZLOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z0 |
1 NE SODERVIT GLAWNOJ ^ASTI, IMEQ WID |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f(z) = |
+1 |
cn(z |
; |
z0)n |
= c0 + c1 |
(z |
; |
z0) + c2(z |
; |
z0)2 |
+ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(ESLI z0 2P0 ) ILI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z) = |
P |
cnzn = c0 |
+ |
c;1 |
+ |
c;22 |
+ |
|
|
(ESLI z0 |
= |
1 |
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=;1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 FUNKCIQ w=f(z) IMEET KONE^NYJ PREDEL PRI z !z0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
FUNKCIQ w = f(z) OGRANI^ENA |
;j |
f(z) |
j |
6 h |
|
W NEKOTOROJ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
OKRESTNOSTI TO^KI z0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO |
. pUSTX z0 |
| TO^KA KONE^NOJ PLOSKOSTI. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 ) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
tAK KAK |
|
f(z) = n=0cn(z ;z0) |
W KOLXCE WIDA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
z 2 : 0 < jz ;z0j < r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\TO KOLXCO PRINADLEVIT KRUGU |
|||||||||||||||||||
SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA W PRAWOJ ^ASTI, A POTOMU SU- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
lim f(z) = lim |
P |
cn(z |
; |
z0)n |
= c0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
]ESTWUET |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z!z0 |
|
|
|
z!z0 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 . |
l@BAQ FUNKCIQ, IME@]AQ KONE^NYJ PREDEL W |
|||||||||||||||||||||||||||||||
TO^KE, QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
) 1 . |
|
tAK KAK |
|
z0 | IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA |
|||||||||||||||||||||||||||||
ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z), SU]ESTWUET KOLXCO WIDA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fz 2 C : |
0 < jz ;z0j < rg, W KOTOROM DANNAQ FUNKCIQ QWLQET- |
SQ ANALITI^ESKOJ I PO TEOREME lORANA (XII, c. 183) IMEET
1 t. E. W KOLXCE WIDA z 2 C : 0 < jz ;z0j < r , ESLI z0 | TO^KA KONE^NOJ PLOSKOSTI, I z 2C : r <jzj<+1 , ESLI z0 =1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
217 |
|
+1 |
|
|
; |
z0)n |
j |
z |
; |
z0 |
j |
<r, KO- |
n=;1 |
|
||||||||||
RAZLOVENIE lORANA f(z) = |
|
cn(z |
|
0 < |
|
|
|||||
\FFICIENTY cn KOTOROGO W SILUP |
NERAWENSTW kO[I DLQ KO\F- |
FICIENTOW lORANA (XII, c. 194) I OGRANI^ENNOSTI FUNKCII
(jf(z)j 6 h) W OKRESTNOSTI TO^KI |
z0 UDOWLETWORQ@T NERA- |
||||||||||
WENSTWAM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
jcnj6 |
h |
0 < <r n=0 1 2 : : : |
|
|
|
|
|
|
|||
n |
! 0, MOVNO |
||||||||||
pEREHODQ W \TIH NERAWENSTWAH K PREDELU PRI |
|||||||||||
ZAKL@^ITX: cn = 0 DLQ n =;1 ;2 |
: : : , A POTOMU RAZLOVE- |
||||||||||
NIE lORANA FUNKCII w = f(z) W OKRESTNOSTI TO^KI z0 |
NE |
||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
+1 |
|
|
n |
. |
1 |
|
SODERVIT GLAWNOJ ^ASTI |
IMEQ WID |
f(z)=n=0cn(z;z0) |
|
|
|
||||||
PASPROSTRANITX \KWIWALENTNOSTX USLOWIJ |
1 |
; |
3 |
NA |
|||||||
|
SLU^AJ z0 = 1 POZWOLQET PEREHOD OT FUNKCII w = f(z) K FUNKCII w =f z1 , DLQ KOTOROJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^-
KOJ QWLQETSQ z0 =0. sLEDUET LI[X ZAMETITX, ^TO:
a) USTRANIMOSTX OSOBOJ TO^KI z0 = 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) (T. E. OTSUTSTWIE GLAWNOJ ^ASTI W EE RAZ-
LOVENII lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI) RAWNOSILX-
NA USTRANIMOSTI OSOBOJ TO^KI z0 =0 ANALITI^ESKOJ FUNK- |
||||
CII w=f |
1 |
|
|
|
z |
||||
B) lim f(z) = limf |
1 |
|
||
z |
||||
z!1 |
z!0 |
|||
W) OGRANI^ENNOSTX FUNKCII w=f(z) W OKRESTNOSTI BES- |
KONE^NOSTI (jf(z)j6h PRI |
jzj> r) RAWNOSILXNA OGRANI^EN- |
||||||||
NOSTI FUNKCIIw = f |
1 |
|
W OKRESTNOSTI NULQ: f |
1 |
|
6 h |
|||
z |
z |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
PRI 0<jzj< r . Q.E.D. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 , WKL@^AQ SAMU \TU TO^KU, A POTOMU EGO SUMMA OSU]ESTWLQET ANALITI-
^ESKOE PRODOLVENIE FUNKCII W TO^KU z0, T.E. USTRANQET OSOBENNOSTX W \TOJ TO^KE (W SMYSLE OPREDELENIQ USTRANIMOSTI, DANNOGO NA c. 209).
218
hARAKTERISTIKA POL@SA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dLQ KONE^NOJ |
(z0 |
2 C ) |
|
IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) cLEDU@]IE USLOWIQ \K- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
WIWALENTNY: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 z0 |
| POL@S |
|
PORQDKA |
|
k) |
FUNKCII |
w = f(z), |
T |
. |
E |
. |
RAZ- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
LOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
IMEET W GLAWNOJ ^ASTI LI[X KONE^NOE ^ISLO (NENULEWYH) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
SLAGAEMYH: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f(z) = |
|
|
; |
k |
+ |
|
+ |
|
; |
|
+ |
nP=0 |
cn(z |
; |
z0)n |
(GDE c |
k =0) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(z;z0) |
|
|
|
|
|
|
|
z;z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
6 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim f(z) = |
1 |
|
|
|
PRI \TOM SU]ESTWUET KONE^NYJ I NE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z!z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
RAWNYJ NUL@ |
|
lim (z |
|
|
z0) |
f(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z0 |
;; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 z0 |
QWLQETSQ!USTRANIMOJ OSOBOJ |
TO^KOJ DLQ FUNKCII |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
|
|
|
|
|
, PRI^EM | PRI DOOPREDELENII |
|
|
= 0 | NULEM |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f(z) |
f(z0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
\TOJ FUNKCII (KRATNOSTI k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. |
1 |
) |
2 . dOSTATO^NO ZAPISATX RAZLOVE- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NIE lORANA FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI z0 W WIDE |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z)= (z;z0)k |
|
|
c;k + c;k+1(z;z0)+ + c0(z;z0) |
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(GDE c |
|
|
=0). |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
;k 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
) |
|
3 . tAK KAK lim f(z) = |
1 |
, f(z) = 0 W OKRESTNOSTI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z!z0 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
TO^KI z0 , A POTOMU W \TOJ OKRESTNOSTI FyNKCIQ w = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f(z) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ, |
IMEQ W TO^KE z0 |
NULEWOJ PREDEL, A |
SLEDOWATELXNO, USTRANIMU@ OSOBENNOSTX (S. 216, 2 ). pOSLE EE ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ W \TU TO^KU DOOPREDELENI-
1 def \TA FUNKCIQ POLU^AET W OKRESTNOSTI TO^KI EM f(z) = 0 z0
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
|
|
|
|
|
RAZLOVENIE tEJLORA WIDA |
f(z) |
=n=0 bn(z;z0)n, PODSTANOWKA |
|||||
KOTOROGO W USLOWIE 2 POKAZYWAET, ^TO b0 = |
|
= bk |
; |
1 |
= 0, A |
219
bk =6 0, T. E. FyNKCIQ w = f(1z) IMEET W TO^KE z0 NULX KRAT-
NOSTI k (XIII, S. 198, 2 ).
3 ) 1 . pUSTX K | KRUG S CENTROM z0 , W KOTOROM FUNK- CIQ w = f(1z) (POSLE USTRANENIQ OSOBENNOSTI W TO^KE z0)
IMEET PREDSTAWLENIE f(1z) = (z;z0)k'(z), GDE w ='(z) | ANA-
LITI^ESKAQ FUNKCIQ, NE OBRA]A@]AQSQ W NULX W \TOM KRUGE
(XIII, c. 198, 3 ). pRIMENENIE TEOREMY tEJLORA K FUNKCII |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
w = |
1 |
|
|
(TAKVE ANALITI^ESKOJ W KRUGE K) PRIWODIT K ee |
|||||||||||||||||||||||||||||||
'(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
RAZLOVENI@ tEJLORA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
= +1an(z |
; |
z0)n |
(S a0 |
= |
1 |
|
|
|
= 0), z |
2 |
K, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
'(z) |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
'(z0) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(z) W \TOM |
|||||||||
W SILU KOTOROGO DLQ FUNKCII w = f(z) = (z;z0); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
VE KRUGE (NO UVE S ISKL@^ENNYM CENTROM |
z0) SPRAWEDLIWO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
RAZLOVENIE lORANA1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
f(z)= (z |
; |
z0);k +1an(z |
; |
z0)n |
z |
2 |
K z =z0, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||
c GLAWNOJ ^ASTX@ |
|
|
|
a0P |
|
+ |
|
+ |
ak;1 |
|
(a0 |
=0). |
|
Q.E.D. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z;z0) |
|
|
z;z0 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
zAME^ANIE |
. dOKAZANNOE UTWERVDENIE RASPROSTRANQETSQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
NA SLU^AJ z0 = |
1 |
|
PEREHODOM OT FUNKCII w = f(z) (S IZO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
LIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ z0 = 1) K FUNKCII w = f |
1 |
(S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ z0 =0). pRI \TOM SLEDUET |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A) STEPENI z;z0 (W USLOWIQH 1 I 2 UTWERVDENIQ) ZAME- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
NITX SOOTWETSTWU@]IMI STEPENQMI |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B) S^ITATX IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z0 = 1 ANALI- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
TI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) EE NULEM (KRATNOSTI k), ESLI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
TO^KA z0 |
= 0 OKAZYWAETSQ NULEM (KRATNOSTI k) FUNKCII |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w =f |
(POSLE EE DOOPREDELENIQ f |
|
= 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
1 qWLQ@]EESQ TAKOWYM WWIDU SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI (XII, S. 188).
220
hARAKTERISTIKA SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI
dLQ TOGO ^TOBY IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 ANALITI- ^ESKOJ FUNKCII w = f(z) BYLA SU]ESTWENNO OSOBOJ, NE- OBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DANNAQ FUNKCIQ NE IMELA
PREDELA (NI KONE^NOGO, NI BESKONE^NOGO) PRI z !z0 .
dOKAZATELXSTWO. l@BAQ IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0
ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z) QWLQETSQ LIBO USTRANIMOJ, ^TO RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ U FUNK-
CII w =f(z) KONE^NOGO PREDELA PRI z !z0 (c. 216), LIBO
POL@SOM, ESLI lim f(z)=1 (c. 218), LIBO
z!z0
SU]ESTWENNO OSOBOJ, DLQ KAKOGO SLU^AQ NE OSTAETSQ INOJ WOZMOVNOSTI KAK BYTX \KWIWALENTNYM OTSUTSTWI@ U FUNK-
CII w = f(z) PREDELA (KAK KONE^NOGO, TAK I BESKONE^NOGO)
PRI z !z0. Q.E.D.
tEOREMA kAZORaTI{sOHOCKOGO{wEJER[TRASSA.1 eS-
LI z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z), TO W L@BOJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI DANNAQ FUNK-
CIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ, SKOLX UGODNO BLIZKIE K L@BOMU ZNA^ENI@ w0 2C .2
1 sODERVITSQ W WY[ED[EJ W 1868 G. KNIGE [25] (NA S. 434) ITALXQNS- KOGO MATEMATIKA kAZORATI (Casorati, Felice, 1835{1890), W MAGISTRSKOJ DISSERTACII (TOGO VE 1868 G.) PETERBURGSKOGO MATEMATIKA `LIANA wA-
SILXEWI^A sOHOCKOGO (1842{1927) I (UVE W SOWREMENNYH TERMINAH) W STATXE wEJER[TRASSA 1876 G. \Zur Theorie der eindeutige analytischen Functionen" (NA S. 124 W [43], Bd. II). wOPREKI ISTORI^ESKOJ PRAWDE W ROSSIJSKOJ LITERATURE AWTOROM DANNOJ TEOREMY OBY^NO NAZYWA@T OD-
NOGO sOHOCKOGO, W ZARUBEVNOJ | ODNOGO wEJER[TRASSA.
2 t. E. KAKOWY BY NI BYLI TO^KA w0 |
2 |
C I OKRESTNOSTI |
Vz0 I |
|
|
|
, DLQ KOTOROJ f(z) 2Vw0 . |
||
Vw0 TO^EK z0 I w0, SU]ESTWUET TO^KA z 2Vz0 |
rAWNOSILXNAQ FORMULIROWKA TEOREMY: eSLI z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z), TO DLQ L@BOJ TO^KI w0 2C SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX fzng!z0 , DLQ KOTOROJ ff(zn)g!w0 .