Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008
.pdf191
|
z |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
a3 1 |
|
3 |
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
= |
1 |
; 2 |
z; |
|
; |
|
|
2 |
|
|
z; |
|
; |
3 |
|
|
z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
qz;b |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
2 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
z;1 + |
|
|
|
b2 |
|
z;2 |
|
|
b331 3 |
z;3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b a)(a+3b) |
|
|
|
|
|
|
(b |
|
|
a)(a2 +2ab+5b2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 + |
b;a |
z;1 + |
; |
2 |
2 |
2! |
|
|
|
|
z;2 + |
|
|
; |
|
|
2 |
3 |
|
2! |
|
|
|
|
|
z;3 + |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
|
|
w KRUGE |
|
|
z |
2 C |
: |
|
jzj |
< |
2 |
|
|
OPREDELENY DWE |
(RAZLI^A@]IESQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ZNAKOM) ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = pcos z |
|
\TO |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WYTEKAET IZ TOGO, ^TO Re cos z = cos x ch y > 0, ESLI |
jzj = jx+iyj |
|
< |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A SLEDOWATELXNO, W UKAZANNOM KRUGE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ARGUMENTA, A PO\TOMU (IV, S. 68) I L@BOJ STEPENI |
|
cos z. pO TEOREME |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tEJLORA IMEET MESTO RAZLOVENIE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
= c0 + c1z + c2z2 + c3z3 + |
|
|
|
|
|
jzj |
< |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
KO\FFICIENTY KOTOROGO MOVNO NAJTI (SNA^ALA |
|
c0 |
, ZATEM c1 c2 |
|
|
etc.) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ISHODQ IZ RAZLOVENIQ W RQD KOSINUSA (II, c. 37), TEOREMY O PEREMNOVE- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NII STEPENNYH RQDOW (II, c. 34) I SWOJSTWA EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
OTKUDA c02 =1 (c0 |
;= |
|
|
1) 2c0c1 |
=0 (c1 |
=0) |
|
;2c0c2 |
|
= |
|
|
1 |
|
c2 |
= |
|
c0 |
|
|
: : : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 ; |
z2 |
|
+ |
z4 |
|
= c0 |
+ c1z +c2z2+ c3z3+ |
|
|
c0+ c1z + c2z2+ c3z3 |
+ |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
4! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
rIS. 71
7. fUNKCIQ |
|
z |
|
|
w = ez;1 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W PLOSKOSTI C |
, |
|||
ISKL@^AQ TO^KI |
2 ki k = 0 1 2 : : : , I, PO TEOREME lORANA, W |
|||
KAVDOM IZ KOLEC Ak = fz 2 C : 2 k < jzj < 2 (k+1)g, k = 0 1 2 : : : |
|
192
(RIS. 71, a) IMEET RAZLOVENIE PO STEPENQM z. nAJTI \TO RAZLOVENIE W
KOLXCE A0 |
|
POZWOLQET TEOREMA O DELENII STEPENNYH RQDOW (II, c. 39), W |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SILU KOTOROJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= c0 |
+c1z +c2z2 + , |
|||||||||||||
|
|
|
|
ez |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
z |
+ |
z2 |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1+2! |
3! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
GDE KO\FFICIENTY c0 c1 : : : |
POSLEDOWATELXNO NAHODQTSQ IZ RAWENSTW: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c0 = 1 c0 |
1 |
+c1 = 0 ;c0 |
1 |
|
|
+c1 |
1 |
|
|
+c2 = 0 : : : ~A]E, ODNAKO, IH ZAPISY- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
3! |
2! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WA@T KAK cn = |
Bn |
, |
n = 0 1 2 : : : , NAZYWAQ Bn |
^ISLAMI bERNULLI |
1. w |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\TIH OBOZNA^ENIQH |
|
z |
|
|
|
|
+1 |
Bn |
|
|
n W KOLXCE |
|
A0 |
PRI |
0<jzj<2 ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez;1 = n=0 n! |
|
z |
|
|
|
|
|
( |
|
||||||||||||||||||||||
|
pOLU^ENNOMU RAZLOVENI@ MOVNO PRIDATX INOJ WID, ESLI U^ESTX, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
ez+1 |
|
|
|
|
|
e;z+1 |
|
|
|
|
||||||||
^TO |
Bn |
z |
n |
= |
|
|
|
z |
|
+ |
|
z |
|
; |
1 = |
|
z |
|
|
1 = ; |
z |
|
; |
1 | ^ETNAQ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
z |
;1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=2 n! |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e ;1 ; |
|
2 e; ;1 |
|
|
FUNKCIQP , A PO\TOMU EE STEPENNOE RAZLOVENIE SODERVIT TOLXKO ^ET-
NYE STEPENI z KAK SLEDSTWIE, ^ISLA bERNULLI Bn S NE^ETNYMI NOME-
RAMI, BOLX[IMI |
1, RAWNY NUL@ I, TAKIM OBRAZOM, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
+1 |
Bn |
|
n |
|
|
z |
|
|
|
+1 |
|
B2k |
|
|
|
2k |
|
|
|
|
||||||
|
ez |
; |
|
|
P |
z = 1; 2 |
|
|
P |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 = n=0 n! |
+ k=1 |
(2k)! z 0<jzj< 2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
pOLU^ITX RAZLOVENIE lORANA |
|
z |
|
= |
|
|
1 cnzn W KOLXCE A1 MOV- |
|||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
;1 |
n=;1 |
|
I FORMULY KO\FFI |
|
|||||||
NO IZ UVE POLU^ENNOGO RAZLOVENIQ |
|
W KOLXCE |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
H |
|
|
|
z |
|
|
( |
|
|
|
|
|
PA0e) |
|
|
- |
||||
CIENTOW lORANA |
e |
|
|
(ez |
|
|
1)zn+1 dz |
|
n = 0 1 2 : : : |
(S. 183), |
||||||||||||||||||||
cn =2 i |
; |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
BERQ W KA^ESTWE KONTURA INTEGRIROWANIQ ; LEVA]U@ W KOLXCE A1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
OKRUVNOSTX S CENTROM 0,eODNOKRATNO OBHODIMU@ W POLOVITELXNOM |
||||||||||||||||||||||||||||||
NAPRAWLENII (RIS. 71, B). sLEDUET U^ESTX, ^TOe |
PRI ZAMENE OKRUVNOS- |
TI ; KONCENTRI^ESKOJ OKRUVNOSTX@ ; RADIUSA, MENX[EGO 2 (A |
||||||||
PO\TOMU LEVA]EJ W KOLXCE A0), ZNA^ENIE PRAWOJ ^ASTI FORMULY OKA- |
||||||||
ZYWAETSQe |
IZWESTNYM: |
|
Bn |
|
|
|||
1 |
|
|
z |
|
DLQ n=0 1 2 : : : |
|||
|
|
|
n! |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 iH; (ez;1)zn+1 dz = cn = ( 0 |
DLQ n=;1 ;2 : : : |
||||||
RAZNOSTX VE INTEGRALOW PO OKRUVNOSTQM ; I |
; RAWNA SUMME INTEG- |
|||||||
1 iH WWEL W OSNOWOPOLAGA@]EJ DLQ TEORIIe |
WEROQTNOSTEJ RABOTE |
\iSKUSSTWO DOGADKI" (\Ars conjectanti"), WY[ED[EJ W 1713 G., STAR[IJ IZ [WEJCARSKIH MATEMATIKOW bERNULLI (Bernoulli, Jakob, 1654{1705).
193
RALOW PO ZAMKNUTYM ;+ I ;; , IZOBRAVENNYM NA RIS. 72.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rIS. 72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
iNTEGRALY PO KONTURAM ;+ I ; |
; |
|
WY^ISLQ@TSQ S POMO]X@ INTEG- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
RALXNOJ FORMULY kO[I, PRIMENQEMOJ K KOLXCU |
|
|
z 2 |
C : 0 < jzj < 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S \RAZREZOM" SOOTWETSTWENNO WDOLX OTRICATELXNOJ |
I POLOVITELX- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NOJ ^ASTEJ MNIMOJ OSI S U^ETOM ANALITI^NOSTI (POSLE DOOPREDELENIQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ZNA^ENIEM 1) |
|
W TO^KAH |
|
|
2 i FUNKCIJ |
|
w = |
|
z |
|
|
2 i |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z 2 i |
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 i |
|
|
z |
;1)z |
n+1 dz = |
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
z |
; |
2;i |
;1)z |
n |
|
z;2 i |
= |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 i) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
;H+ |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
;H+ |
|
|
|
|
z+2 i |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 i;H; (ez;1)zn+1 dz = |
|
2 i;H; (ez+2 i;1)zn z+2 i = |
(;2 i)n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wYWOD: W KOLXCE A1 = |
|
|
|
z 2 C : 2 <jzj<4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
n |
|
|
|
; |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
cnz |
= |
|
|
|
|
|
cnz |
+ c0 |
+ c1z + |
|
|
|
|
cnz |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
e ;1 |
|
|
n=;1 |
|
|
|
|
n=;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
1 |
|
|
|
P |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
P |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
n e |
|
|
e |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
=n= |
|
|
|
|
|
+(;2 i)n z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (;2 i)n z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
;1 |
(2 i)n |
|
|
+ n=0 n! |
+(2 i)n |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ILI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P |
;1 (;1)k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+1 |
B2k |
|
|
|
(;1)k2 |
2k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ez |
; |
1 =k= (2 )2k |
|
z |
|
|
+ 3; 2 z + k=1 (2k)! |
|
+ |
|
(2 )2k z |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
194
nERAWENSTWA kO[I DLQ KO\FFICIENTOW tEJLORA I
|
|
+1 |
|
|
|
P |
|
|
. |
1 kO\FFICIENTY RAZLOVENIQ |
|
+1 |
|
n |
|||
f(z) = n=0 cn(z ;z0) |
||||||||
lORANA |
|
|
|
|||||
; |
|
P |
cn(z ;z0) |
n |
|
w = f(z), |
||
SOOTWETSTWENNO |
f(z) = n= |
|
FUNKCII |
( ;1 )
ANALITI^ESKOJ W KRUGE SOOTWETSTWENNO KOLXCE S CENTROM z0 , UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM kO[I
jcnj6 n n=0 1 2 : : : (SOOTWETSTWENNO n=0 1 2 : : : ),
GDE | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO, MENX[EE RADIUSA \TOGO KRUGA (SOOTWETSTWENNO ^ISLO, PROMEVUTO^NOE MEVDU WNUTRENNIM I WNE[NIM RADIUcAMI KOLXCA), A | WERHNQQ GRA-
NICA ZNA^ENIJ jf(z)j NA OKRUVNOSTI C = fz 2C : jz;z0j= g. dOKAZATELXSTWO. B FORMULAH DLQ KO\FFICIENTOW RAZ-
LOVENIJ tEJLORA (S. 180) I lORANA (S. 183) SLEDUET WZQTX W KA^ESTWE KONTURA ; OKRUVNOSTX C , ODNOKRATNO OBHO-
DIMU@ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, I WOSPOLXZOWATXSQ
OCENKOJ INTEGRALA (VIII, c. 133):
jcnj= |
|
1 |
H |
f( ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( ;z0)n+1 d |
|
6 2 n+1 |
2 = n . Q.E.D. |
||||||
|
2 iC |
|
uPRAVNENIQ. 1. oB_QSNITX, PO^EMU DLQ L@BOJ ^ETNOJ ANALITI^ES-
KOJ FUNKCII RAZLOVENIE tEJLORA (lORANA) W KRUGE (KOLXCE) S CENTROM z0 =0 SODERVIT LI[X ^ETNYE STEPENI z.
2. pOLXZUQSX PREDSTAWLENIEM
p(z;a)(z;b) =p(c;a)(c;b) 1+ z;c 1=2 1+ z;c 1=2, c;a c;b
NAJTI NESKOLXKO NA^ALXNYH SLAGAEMYH W RAZLOVENIQH W RQDY tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI c 6= a b ODNOZNA^NYH WETWEJ DWUHZNA^NOJ FUNK-
CII w=p(z;a)(z;b).
3. zAMETIW, ^TO ezz;1 + z2 2zi ctg 2zi , POLU^ITX (NA BAZE PRIMERA 7)
RAZLOVENIQ lORANA FUNKCII w=ctgz DLQ 0<jzj< I <jzj<2 .
1 u kO[I W [28], ser. II, t. II, p. 161 t. XV., p. 450.
195
XIII. ~TO SLEDUET IZ TEOREMY tEJLORA
w PRILOVENIQH TEOREMU tEJLORA1 OBY^NO PRIMENQ@T W SLEDU@]EJ FORMULIROWKE.
eSLI FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C , TO KAKOWA BY NI BYLA TO^KA z0 2D, W KRUGE K S CENTROM z0 , PRINADLEVA]EM OBLASTI D (RIS. 73), IMEET MESTO RAZLOVENIE \TOJ FUNKCII W RQD tEJLORA:
(kAK SLEDSTWIE, RADIUSP SHODIMOSTI \TOGO RQDA NE MENX[E RASSTOQNIQ OT TO^KI z0 DO GRANICY @D OBLASTI D.)
+1 f(n)(z0) |
(z;z0)n z 2K.2 |
f(z) = n=0 k! |
|
|
|
|
rIS. 73 |
||
|
pRIMER |
. |
pRIMENENIE FORMULY SUMMY GEOMETRI^ESKOJ |
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
PROGRESSII |
1;q = 1 + q + q |
|
+ jqj < 1, DAET SLEDU@- |
]IE RAZLOVENIQ FUNKCII w = z1 , ANALITI^ESKOJ W OBLASTI
1 tO^NEE, TEOREMU kO[I O RAZLOVENII ANALITI^ESKOJ FUNKCII W
RQD tEJLORA (XII, c. 180, SNOSKA 1).
2 w SOEDINENII SO SWOJSTWOM \BESKONE^NOJ DIFFERENCIRUEMOSTI" SUMMY STEPENNOGO RQDA (II, c. 33, SLEDSTWIE 1) \TO SLUVIT DRUGIM OBOS- NOWANIEM TOGO, ^TO FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W OBLASTI, IMEET W \TOJ OBLASTI PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW (XI, c. 172).
197
tEOREMA lIUWILLQ.1 fUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ WO WSEJ PLOSKOSTI C (a TAKIE FUNKCII NAZYWA@T CELYMI) QWLQETSQ LIBO NEOGRANI^ENNOJ, LIBO POSTOQNNOJ.
dOKAZATELXSTWO. pRIMENENIE K FUNKCII w =f(z), ANALI-
TI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C , TEOREMY tEJLORA S z0 =0,
PRIWODIT K EE RAZLOVENI@
+1 |
|
cn = |
f(n)(0) |
. |
|
|
|
|
|
||
f(z)= n=0cnzn z 2 C |
1; |
|
k! |
|
|
|
|
|
|||
jcnj6 hn n=0 |
2 : : : , |
|
; |
jf(z)j |
|
h |
, |
|
|||
P |
9h > 08z |
|
|
|
|
||||||
eSLI \TA FUNKCIQ OGRANI^ENA |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
TO |
W SILU NERAWENSTW kO[I (XII, S. 194)
PRI^EM | WWIDU ANALITI^NOSTI FUNKCII WO WSEJ PLOSKOSTI C | W KA^ESTWE MOVNO BRATX SKOLX UGODNO BOLX[OE POLOVITELXNOE ^ISLO. uSTREMLQQ K +1, MOVNO ZAKL@^ITX: cn = 0 DLQ n = 1 2 : : : , T. E. RAZLOVENIE FUNKCII w = f(z) W
PLOSKOSTI |
C PRINIMAET WID |
f(z)= c0 z 2 |
C |
. Q.E.D. |
|
|
tEOREMA O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNOGO^LENA.2
l@BOJ MNOGO^LEN p(z) = a0zn+a1zn;1+ +an;1z+an STEPENI n > 1 S DEJSTWITELXNYMI ILI MNIMYMI KO\FFICIENTAMI
(a0 6= 0) IMEET KORENX (T. E. PRINIMAET ZNA^ENIE 0) W PLOS- KOSTI C .
dOKAZATELXSTWO. eSLI BY TAKOJ MNOGO^LEN p(z) NE IMEL KORNEJ (T. E. NE OBRA]ALSQ W NULX) W PLOSKOSTI C , TO FUNK-
CIQ w = p(1z) OKAZYWALASX BY ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOS-
1 uVE WSTRE^ALASX WY[E (XI, S. 176, UPRAVNENIE 3).
2 pERWYM EE WYSKAZAL W WY[ED[EJ W 1629 G. KNIGE \nOWOE IZOBRE-
TENIE W ALGEBRE" (\Invention nouvelle en l'algebre") FRANCUZSKIJ MATE-
MATIK vIRAR (Girard, Albert, 1595{1632), a PERWOE PRIEMLEMOE DOKA- ZATELXSTWO OPUBLIKOWAL (W 1799 G., DAW WPOSLEDSTWII E]E TRI) gAUSS
([33], Bd. III, S. 1{30). rASHOVEE EE NAZWANIE \OSNOWNAQ TEOREMA ALGEB-
RY" MOVET SOZDATX NEWERNOE PREDSTAWLENIE O DOSTIVENIQH \TOJ NAUKI.
198
KOSTI C (T. E. CELOJ) I PRITOM OGRANI^ENNOJ: EE OGRANI-
^ENNOSTX WNE NEKOTOROGO ZAMKNUTOGO KRUGA z 2C : jzj6r |
|||||||||||
ESTX SLEDSTWIE TOGO, ^TO lim |
1 |
=0, A NA \TOM KRUGE | TO- |
|||||||||
|
|||||||||||
GO, ^TO FUNKCIQ w = |
1 |
z!1p(z) |
|
|
|
|
|||||
|
NEPRERYWNA NA NEM. pO TEOREME |
||||||||||
|
|
||||||||||
lIUWILLQ FUNKCIQ w =p(z |
) |
1 |
OKAZYWALASX BY POSTOQNNOJ, |
||||||||
p |
(z) |
||||||||||
PRI \TOM RAWNOJ NUL@ (TAK KAK lim |
1 |
|
= 0) W PLOSKOSTI C . |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z!1p(z) |
|
|||
pREDPOLOVENIE OB OTSUTSTWII U MNOGO^LENA KORNEJ PRI- |
|||||||||||
WODIT, TAKIM OBRAZOM, K PROTIWORE^I@. Q.E.D. |
|||||||||||
nULI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ |
|
|
|
|
|||||||
|
nULQMI |
FUNKCII w = f(z), |
ANALITI^ESKOJ W OBLASTI |
D C , NAZYWA@T WSE TE TO^KI \TOJ OBLASTI, W KOTORYH ZNA^ENIE FUNKCII RAWNO NUL@. gOWORQT PRI \TOM, ^TO TO^Ka z0 2D ESTX NULX KRATNOSTI (ILI PORQDKA) k \TOJ FUNKCII,
ESLI f(z0) = f0(z0) = =f(k;1)(z0) = 0 TOGDa KAK f(k)(z0)=60
NULI KRATNOSTI 1 NAZYWA@T PROSTYMI.
sLEDU@]EE UTWERVDENIE DAET \KWIWALENTNYE OPISANIQ
NULEJ I IH KRATNOSTEJ.
eSLI w =f(z) | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI D C , A z0 | TO^KA \TOJ OBLASTI, TO SLEDU@]IE TRI USLOWIQ
\KWIWALENTNY: |
|
1 f(z0) = f0(z0) = |
= f(k;1)(z0) = 0 a f(k)(z0) 6= 0, T. E. z0 |
ESTX NULX KRATNOSTI |
k \TOJ FUNKCII |
2 |
RAZLOVENIE tEJLORA FUNKCII w = f(z) W PRINADLEVA- |
|||||||||||
]EM OBLASTI D KRUGE S CENTROM z0 IMEET WID |
|
|
||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
(z z0)k+1+ |
|
(ck =0) |
||
f(z)= cn(z z0)n = ck(z z0)k+ ck+1 |
|
|||||||||||
|
|
n=k |
; |
|
; |
|
; |
|
|
6 |
||
3 |
W NEKOTOROMP |
KRUGE S CENTROM z0 |
SPRAWEDLIWO PREDSTAW- |
|||||||||
|
|
|
|
k |
'(z), |
|
w = '(z) |
|
|
, |
|
|
LENIE |
f(z) = (z;z0) |
GDE |
| FUNKCIQ |
ANALI- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
TI^ESKAQ I NE IME@]AQ NULEJ W \TOM KRUGE.
199
dOKAZATELXSTWO. rAWNOSILXNOSTX USLOWIJ 1 I 2 | PRQ- MOE SLEDSTWIE TEOREMY tEJLORA (XII, c. 180). pRI WYPOLNE-
NII USLOWIQ 2 ZAPISX f(z)=(z;z0)k |
|
ck + ck+1(z;z0) + |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
OZNA^AET WYPOLNENIE USLOWIQ 3 , IZ KOTOROGO, SOGLASNO POD- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
S^ETU PROIZWODNYH | NAPRIMER, PO FORMULE lEJBNICA |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
(n) |
|
|
|
n |
|
|
j |
k |
|
(j) |
|
|
|
|
|
(n j) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(z;z0) |
'(z) |
|
= j=0 Cn[(z;z0) ] |
|
|
|
['(z)] |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
SLEDUET, |
^TO |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f(n)(z0)= (z |
z0)k'(z) |
(n) |
= |
0 |
|
|
ESLI n=0 1 : : : k;1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
z=z0 |
|
k!'(z0) |
|
ESLI n=k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A POTOMU WYPOLNENO USLOWIE 1 . Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
pRIMERY. |
1. |
sOGLASNO FORMULE |JLERA (II, c. 38) NULI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
FUNKCII w =sin z |
| \TO KORNI URAWNENIQ |
eiz;e;iz |
=0, ILI, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
||||||
^TO TO VE SAMOE, e2iz ;1 = 0, T. E. z = |
Ln1 = |
1 |
|
i2 n= n, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2i |
2i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 0 |
|
1 |
|
2 : : : |
tAK KAK |
|
sin0( n)=cos( n)=0, WSE TO^KI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n QWLQ@TSQ PROSTYMI NULQMI FUNKCII w =sin z. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. tAK KAK |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
; |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
+ = |
||||||||||||||||||
(1;cos z)(ez2;1)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z |
; |
|
z |
|
+ |
|
z |
z |
+ |
z |
+ |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
4! |
|
6! |
1! |
2! |
3! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
z2 |
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= z |
2! |
; |
4! + |
6! ; 1+ 2! + |
3! + |
, |
TO^KA z =0 QWLQETSQ DLQ FUNKCII w =(1;cos z)(ez2;1) NULEM
4-J KRATNOSTI. dRUGIE NULI \TOJ FUNKCII, KRATNOSTEJ
(KAK POKAZYWAET WY^ISLENIE PROIZWODNYH) SOOTWETSTWENNO
2 I 1, | \TO z = 2 n I z = (1 i)pn , n=1 2 : : :
3. tO^KA 1 QWLQETSQ NULEM (PROSTYM) DLQ ODNOJ IZ DWUH WYDELQEMYH W EE OKRESTNOSTI ODNOZNA^NYH WETWEJ w =pz ;1.
1 tAK KAK WZQTYJ W SKOBKI STEPENNOJ RQD SHODITSQ W KRUGE D (S
CENTROM z0), EGO SUMMA, OBOZNA^AEMAQ '(z) (S '(z0) = ck = 0), QWLQETSQ |
||||
|
|
|
6 |
z0. |
ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ, NE RAWNOJ NUL@ W OKRESTNOSTI TO^KI |
||||
|
|
P |
|
|
2 (u |
v)(n) = |
n |
Cnj u(j)v(n;j). |
|
j=0 |
|
|||
|
|
|
|
|
200
sWOJSTWo IZOLIROWANNOSTI NULEJ ANALITI^ESKIH
FUNKCIJ. l@BOJ NULX ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C FUNKCII w =f(z) (f(z)6 0) IMEET KONE^NU@ KRATNOSTX, I WSE
NULI QWLQ@TSQ IZOLIROWANNYMI: KAVDYJ OBLADAET OKREST-
NOSTX@, NE SODERVA]EJ DRUGIH NULEJ \TOJ FUNKCII.
dOKAZATELXSTWO. wTORAQ ^ASTX UTWERVDENIQ (OB IZOLI- ROWANNOSTI NULEJ) ESTX SLEDSTWIE PERWOJ: ESLI z =z0 | NULX KONE^NOJ KRATNOSTI k ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =f(z), TO
|
|
|
f(z) = (z |
; |
z0) |
k |
'(z), |
|
|
|
'(z) = 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
IZ PREDSTAWLENIQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GDE |
|
|
|
W KRUGE S |
|||||
CENTROM z0 (S. 198, USLOWIE 3 ), SLEDUET, ^TO W \TOM KRUGE NET |
|||||||||||||||||||
OTLI^NYH OT z0 |
NULEJ \TOJ FUNKCII. dOSTATO^NO PO\TOMU |
||||||||||||||||||
PRIJTI K PROTIWORE^I@, PREDPOLOVIW, ^TO NEKAQ ANALITI- |
|||||||||||||||||||
^ESKAQ W OBLASTI D C FUNKCIQ w = f(z) |
(f(z) |
6 0) IMEET |
|||||||||||||||||
W NEKOTOROJ TO^KE z0 2D NULX BESKONE^NOJ KRATNOSTI, T. E. |
|||||||||||||||||||
f(z0) = f0(z0) = f00(z0) = = 0. pUSTX z1 |
| L@BAQ TO^KA |
||||||||||||||||||
OBLASTI |
D, |
W KOTOROJ |
f(z1) |
6= 0, |
A |
L |
|
| LOMANAQ |
, |
IDU]AQ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W OBLASTI D OT TO^KI z0 K TO^KE z1 |
|
(VII, S. 107). wOSPRI- |
|||||||||||||||||
NIMAQ EE KAK \IZLOMANNYJ" OTREZOK DEJSTWITELXNOJ OSI, |
|||||||||||||||||||
MOVNO UTWERVDATX SU]ESTWOWANIE TO^KI z 2L, |
QWLQ@]EJ- |
||||||||||||||||||
SQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA Z1 |
TEH TO^EK z 2 L, |
||||||||||||||||||
W KOTORYH FUNKCIQ w = f(z) IMEET NULX BESKONE^NOJ KRAT- |
|||||||||||||||||||
NOSTI. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a) ESLI z 2Z1, T. E. f(z ) = f0(z ) = f00(z ) = = 0, TO IZ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 f(n)(z ) |
(z;z )n (W SODERVA- |
|||||||||||
RAZLOVENIQ tEJLORA f(z) = n=0 |
k! |
|
|
||||||||||||||||
]EMSQ W OBLASTI D KRUGE S CENTROM z ) SLEDOWALO BY, ^TO |
|||||||||||||||||||
z NE QWLQETSQ WERHNEJ GRANICEJ MNOVESTWA Z1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B) ESLI z = Z |
|
, T. E. FUNKCIQ |
w = f(z) |
W TO^KE z LIBO |
NE IMEET NULQ, LIBO IMEET NULX KONE^NOJ KRATNOSTI, TO W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI NET (OTLI^NYH OT z ) NULEJ \TOJ FUNKCII, TAK ^TO z NE MOVET BYTX TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA Z1.