Моделирование 48

Распределение Пуассона

1. Биноминальное распределение

Рассмотрим событие A

p - вероятность появления события A

(1-p) - вероятность непоявления события A

n - число испытаний

m - частота появления события A

,

где

pⁿ - вероятность того, что событие A произойдет каждый раз

n Ч p^n-1 Ч (1-p) - вероятность того, что событие произойдет (n-1) раз

C_n^n-2 Ч p^n-2 Ч (1-p)² - вероятность того, что событие произошло 2 раза

(1-p)ⁿ - вероятность того, что событие не произошло ни разу

P_m= C_n^m Ч p^m Ч (1-p)^n-m - вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет m раз

C_n^m - число сочетаний из n по m.

Пример:

n = 10

p = 0.5

m = 1

C₁₀¹ = 10

p₁ = 10 Ч 0.5¹ Ч 0.5^10-1=10 Ч 0.5¹⁰

m = n Ч p = 5

D = n Ч p Ч (1-p)=2,5

2. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона - частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p =>0 (редкие события)).

a = n Ч p - параметр Пуассона (математическое ожидание)

Пример: В ящике 100 деталей как качественных, так и бракованных. Вероятность бракованных изделий 0.01. Допустим, что мы вынимаем изделие, смотрим - бракованное оно или нет - и бросаем обратно. Получилось, что из 100 изделий, которые мы перебрали, два оказались бракованными. Какова вероятность достать 2 бракованных изделия?

a) по биномиальному распределению получаем

b) по распределению Пуассона получаем

Как видно, величины получились близкими, поэтому в случае редких событий вполне допустимо применять закон Пуассона, тем более, что он вычисляется с меньшими вычислительными затратами.

Поток случайных событий

Поток событий - это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени.

T_j - интервал между событиями.

(случайная величина)

T_н - время наблюдения.

T_c - момент совершения события.

l - плотность потока - среднее число событий в единицу времени, интенсивность потока. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле

, где N - число событий, произошедших за время наблюдения T_н

Если T_j = const или определено какой-либо формулой T_j = f (T_j-1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.

Случайные потоки бывают:

• ординарный - вероятность одновременного появления 2-x и более событий равна нулю;

• стационарный - частота появления событий l = const(t);

• без последействия - вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

  Пуассоновский поток

  Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

  Число событий за интервал времени (t₀, t₀+t) определяется из закона Пуассона:

  , где m - число событий за время (t₀, t₀+t).

  

  Если

  l = const(t), то это стационарный поток Пуассона (простейший).

  Тогда a = l Ч t,

  l = var(t), это нестационарный поток Пуассона.

  Для простейшего потока:

  - это вероятность появления события за время t.

  P₀ - вероятность непоявления ни одного события за время t:

  

l - характеризует крутизну линии .

Чем больше l, тем вероятность сильнее убывает со временем.

Вероятность стремится к нулю.

P_хб1 - вероятность появления хотя бы одного события:

Чем больше интенсивность появления событий (чем больше l), тем быстрее наступает это событие.

Изучая закон, можно определить, что:

, , то есть m_x = s

Это означает, что поток без последействия.

Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса s (последействия), так как первое событие не влияет на второе.

или

r - случайное число равномерно распределенное от 0 до 1

t - интервал между случайными событиями (случайная величина)

Пример: Рассмотрим поток изделий на операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем 8 штук за сутки. Необходимо промоделировать этот процесс в течении T_н = 100 часов.

, (то есть в среднем 1 деталь за 3 часа).

s = 3