А.Ю. Тюрин Транспортно-производственные системы

10

Продолжение табл. 4

Номер			Исходные данные
варианта
39	1000	1600	3500
	8	4	4	2	5	5
	37,2	92	202,8	147,6	137,2	118,6
	203	110	168	225	111	226
40	800	2500	3200
	5	8	4	4	4	5
	47,7	94,5	79,4	17,8	119,3	88,4
	244	89	197	219	152	257
41	500	1600	3500
	6	6	4	8	5	5
	70,8	71,2	180,4	37,4	18,7	182,8
	169	192	84	187	194	258
42	800	1500	3200
	4	8	2	4	8	9
	114,8	92,8	201,8	199,7	51,9	191,6
	209	120	150	148	130	179
43	1000	2000	3000
	5	5	2	2	9	9
	183,4	200,1	119,7	153,9	5,8	71,3
	108	152	210	173	179	248
44	500	1500	3200
	4	5	4	4	8	9
	98	52,2	15,7	108,2	71	72
	179	187	221	165	202	238
45	800	1600	3000
	4	8	5	5	2	4
	190,4	29,7	21,1	52,2	123,5	130,9
	165	225	232	89	214	230
46	1000	2500	3500
	5	6	8	4	4	5
	67,1	194,1	28,4	61,4	176,4	78,7
	131	260	144	96	254	95

11

Продолжение табл. 4

Номер			Исходные данные
варианта
47	500	1000	3000
	6	4	9	9	2	6
	173,5	79,2	148,3	22,7	131,2	198,7
	176	244	102	124	148	188
48	800	2000	3200
	4	6	4	9	8	5
	125,2	175,1	6,1	96,4	20,3	58,9
	163	122	183	235	169	85
49	1000	1600	3500
	4	8	8	4	4	9
	17,6	53,4	171,8	56,1	176,9	67,9
	236	209	227	165	226	159
50	800	2500	3200
	9	4	9	8	8	5
	156,1	189,3	41,4	197,9	72,6	24,4
	80	241	261	243	91	86
51	500	1600	3500
	9	4	4	8	2	5
	130,1	98,8	71,6	129,8	77,6	86,6
	232	225	145	223	98	210
52	800	1500	3200
	6	8	6	8	9	8
	131,5	128,6	32,6	168,8	73,7	138,9
	250	251	130	91	101	90
53	1000	2000	3000
	4	6	6	5	6	2
	179	83,7	50,7	137,4	53,6	152,8
	224	180	204	143	201	151
54	500	1500	3200
	5	8	6	9	9	6
	196,9	194,6	99,3	199,1	21,3	84,9
	179	222	224	146	171	88

12

Продолжение табл. 4

Номер			Исходные данные
варианта
55	800	1600	3000
	9	8	4	8	2	8
	143,9	133,4	127,5	25,5	54,2	180,2
	214	178	238	220	148	107
56	1000	2500	3500
	6	5	6	6	8	4
	75,2	182,3	103,1	160	94,7	104,3
	207	127	168	193	141	141
57	500	1000	3000
	5	6	9	9	4	6
	70,3	156,1	133,9	101,4	30,6	164,4
	93	197	244	128	197	87
58	800	2000	3200
	4	5	8	6	8	4
	73,6	62,7	24,3	28,8	203,9	108,8
	153	198	242	257	121	143
59	1000	1600	3500
	9	6	5	4	5	4
	54,1	93,9	128,6	79,7	121,2	123,2
	218	144	264	108	112	165
60	800	2500	3200
	8	2	9	6	8	4
	22,1	180,9	194,7	23,7	106,1	131,3
	244	239	254	102	144	93

Методические указания по выполнению задания №1:

•решить детерминированную задачу (1) в двух вариантах, используя данные табл. 4: первый вариант – количество автомобилей каждого типа по 4 шт., второй вариант – количество автомобилей соответственно 10, 1 и 1 шт.;

•решить задачу в стохастической постановке (7) при следующих исходных данных: λ i = 0,04ogri и ci = 10vi . Все остальные недостающие данные берутся из табл. 4 согласно номеру варианта;

13

•привести таблицы расчетов, сделать выводы о закреплении транспортных средств за перевозимым грузом.

Практическое занятие №2 Определение политики замены транспортных средств

Цель: определить оптимальную политику замены автотранспортных средств, дающую максимальный доход от работы автомобилей за определенный период.

Работа подвижного состава на линии происходит неравномерно, что обусловливается плановым заданием, техническими параметрами автомобиля, простоем под погрузкой и разгрузкой, вероятностью схода с линии по технической неисправности и некоторыми другими факторами. В связи с этим каждый автомобиль приносит неодинаковый доход за один и тот же период времени, и может возникнуть ситуация, когда расходы на содержание транспортного средства станут превышать его доходы. Следовательно, требуется определить такую политику замены парка подвижного состава, которая дает максимальный эффект от эксплуатации автомобилей.

Исходные данные:

•годовой доход от автомобиля возраста t;

•годовые расходы на содержание автомобиля возраста t;

•стоимость замены автомобиля возраста t.

Математическая постановка задачи (детерминированный вариант)

По результатам работы автомобилей можно предположить, что доходы, затраты на содержание и замену представляют собой экспоненциальную зависимость от срока службы транспортного средства

r( t ) =	Pe− st - годовой доход от автомобиля возраста t;	(9)
u( t ) =	A + B( 1 − e− wt ) - годовые расходы на содержание автомо-
биля возраста t;		(10)
c( t ) =	C( 1 − ke− dt )- стоимость замены автомобиля возраста t, (11)

где P - доход нового автомобиля, р.;

14

A - затраты на содержание нового автомобиля, р.;

A + B - предельные затраты на содержание автомобиля по мере его старения, р.;

C - стоимость замены устаревшего автомобиля новым, р.;

k - доля C , остающаяся в качестве продажной цены автомобиля сразу после покупки.

Тогда суммарный доход за год v от автомобиля возраста t при оптимальной политике замены за оставшийся период находится из выражения

rv

( 0 ) −

uv ( 0 ) −

cv ( t ) +

afv+ 1( 1) - заменить

fv ( t ) =

max r

( t ) −

u

v

( t ) +

af

v+ 1

( t

+

1 )

- сохранить

,v = 1, N ,(12)

v

где a - коэффициент приведения доходов к единому масштабу измерения, коэффициент обесценивания рубля, коэффициент дисконтирования доходов.

Данная задача заключается в выборе между сохранением старого автомобиля или заменой его новым на каждом шаге многошагового процесса принятия решения, и может быть решена методами динамического программирования.

Рассмотрим контрольный пример. Автомобиль эксплуатируется 10 лет. Доходы, расходы и стоимость замены за каждый год описываются выражениями (9)-(11). Начальные коэффициенты, входящие в

эти формулы, следующие: P = 90, A = 20 , B = 70 , C = 230 , s =	0,05 ,
w = 0,13 , k = 0,01, d = 0,59 и коэффициент дисконтирования	a = 1.

Кроме этого мы имеем автомобиль, прослуживший 3 года и имеющий характеристики, приведенные в табл. 5.

Таблица 5

Характеристики исходного автомобиля

Возраст	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
автомоби
ля
Доход, р.	70,09	66,67	63,42	60,33	57,39	54,59	51,93	49,39	46,98	44,69
Затраты
на содер-	20	28,53	36,03	42,61	48,38	53,46	57,91	61,82	65,26	68,27
жание, р.
Затраты	227,7	228,7	229,2	229,6	229,7	229,8	229,9	229,9	229,9	229,9
на заме-
ну, р.

15

Расчет начинаем с конца, т.е. с 10 года. Для этого, используя исходные данные и основное уравнение (12), определим значения f10(t) и занесем их в табл. 6.

			Значения функции f10(t)						Таблица 6
t	f10(t)	Политика		t	f10(t)	Политика	t	f10(t)	Политика
1	57,08	Сохранить		5	16,64	Сохранить	9	-10,89	Сохранить
2	45,41	Сохранить		6	8,76	Сохранить	12	-23,58	Сохранить
3	34,86	Сохранить		7	1,60	Сохранить
4	25,20	Сохранить		8	-4,93	Сохранить

Из табл. 6 следует, что на 10-м году при любом возрасте автомобиля его требуется сохранить. Аналогичным образом произведем расчеты для функций f9(t)- f1(t). Полученные значения занесем в табл. 7-15.

			Значения функции f9(t)						Таблица 7
t	f9(t)	Политика		t	f9(t)	Политика	t	f9(t)	Политика
1	102,49	Сохранить		4	41,94	Сохранить	7	-3,33	Сохранить
2	80,27	Сохранить		5	25,40	Сохранить	8	-15,82	Сохранить
3	60,16	Сохранить		6	10,36	Сохранить	11	-41,86	Сохранить
			Значения функции f8(t)						Таблица 8
t	f8(t)	Политика		t	f8(t)	Политика	t	f8(t)	Политика
1	137,34	Сохранить		4	50,70	Сохранить	7	-14,22	Сохранить
2	105,57	Сохранить		5	27,00	Сохранить	10	-54,29	Сохранить
3	76,80	Сохранить		6	5,43	Сохранить
			Значения функции f7(t)						Таблица 9
t	f7(t)	Политика		t	f7(t)	Политика	t	f7(t)	Политика
1	162,65	Сохранить		4	52,30	Сохранить	9	-22,59	Заменить
2	122,20	Сохранить		5	22,07	Сохранить
3	85,56	Сохранить		6	-5,46	Сохранить

16

			Значения функции f6(t)							Таблица 10
t	f6(t)	Политика		t	f6(t)		Политика	t	f6(t)	Политика
1	179,28	Сохранить		3	87,16	Сохранить		5	11,18	Сохранить
2	130,96	Сохранить		4	47,34	Сохранить		8	2,77	Заменить
			Значения функции f5(t)							Таблица 11
t	f5(t)	Политика		t	f5(t)		Политика	t	f5(t)	Политика
1	188,04	Сохранить		3	82,23	Сохранить		7	19,50	Заменить
2	132,56	Сохранить		4	36,48	Сохранить
			Значения функции f4(t)							Таблица 12
t	f4(t)	Политика		t	f4(t)		Политика	t	f4(t)	Политика
1	189,64	Сохранить		3	71,34	Сохранить
2	127,64	Сохранить		6	37,22	Сохранить
			Значения функции f3(t)							Таблица 13
t	f3(t)	Политика		t	f3(t)		Политика	t	f3(t)	Политика
1	184,71	Сохранить		2	116,75		Сохранить	5	64,62	Сохранить
			Значения функции f2(t)							Таблица 14
t	f2(t)	Политика		t	f2(t)		Политика	t	f2(t)	Политика
1	173,83	Сохранить		4	102,76		Сохранить
			Значения функции f1(t)							Таблица 15
t	f1(t)	Политика		t	f1(t)		Политика	t	f1(t)	Политика
3	152,85	Сохранить

Значение f1(3)=152,85 р., взятое из табл. 15, это и есть суммарный доход, которого можно добиться при оптимальной политике. Анализируя табл. 7-15 в обратном порядке, мы устанавливаем оптимальную политику замены автомобиля: сохранить автомобиль в течение пер-

17

вых 4 лет, заменить его на 5-м году и сохранять до конца процесса, т.е. до 10 года включительно. Для контроля доходов за 10 лет составим табл. 16, которая показывает происхождение суммарного дохода, равного 152,85 р.

	Движение доходов по годам				Таблица 16
Год	Политика	Доход, р.	Год	Политика	Доход, р.
1	Сохранить	50,09	6	Сохранить	57,08
2	Сохранить	38,14	7	Сохранить	45,41
3	Сохранить	27,40	8	Сохранить	34,86
4	Сохранить	17,72	9	Сохранить	25,30
5	Заменить	-159,79	10	Сохранить	16,64
			Суммарный до-		152,85
				ход

Математическая постановка задачи (стохастический вариант)

Встохастической постановке вместо конкретных величин дохода

ирасходов на содержание в любой год эксплуатации возьмем нормальный закон распределения этих величин. Тогда основное уравнение будет выглядеть следующим образом:

rv ( 0 )P( rv ( 0 )) − uv ( 0 )P( uv ( 0 )) −

fv ( t ) = max r ( t )P( r ( t ))

−

u

v

( t )P( u

v

( t )) +

v

v

− cv ( t )P( cv ( t )) + afv+ 1( 1)

,

v = 1,N ,

(13)

+ afv+ 1( t + 1)

где P( rv ( 0 )), P( rv ( t )),

P( uv ( 0 )),

P( uv ( t )), P( cv ( t )) - вероятно-

сти наблюдения заданных величин.

Вероятности при нормальном законе распределения находятся из

следующего соотношения

−

x

P( X <

x

(14)

x ) = F( x ) = Ф

σ

,

где

- среднее значение x , σ -

среднеквадратическое отклоне-

x

ние.

Значения функции Ф(x) приводятся в справочной литературе.

18

В табл. 17 представлены значения коэффициентов, входящих в формулы (9)-(11), и коэффициента дисконтирования a .

Таблица 17

Контрольные задания

Номер
вариан	P	A	B	C	s	w	k	d	a
та
1	155	62	58	137	0,04	0,05	0,01	0,2	0,87
2	156	23	50	212	0,08	0,03	0,04	0,21	0,71
3	192	49	56	199	0,02	0,04	0,02	0,14	0,83
4	147	41	43	207	0,08	0,04	0,04	0,22	0,75
5	154	98	42	169	0,03	0,06	0,03	0,1	0,82
6	65	28	69	136	0,02	0,02	0,02	0,14	0,9
7	196	52	43	120	0,03	0,04	0,02	0,15	0,85
8	98	70	40	124	0,06	0,01	0,02	0,22	0,75
9	167	50	44	219	0,06	0,04	0,02	0,11	0,82
10	154	93	71	102	0,06	0,06	0,02	0,19	0,81
11	127	57	47	152	0,04	0,01	0,02	0,23	0,71
12	108	49	54	120	0,05	0,02	0,03	0,17	0,73
13	190	72	55	150	0,03	0,05	0,02	0,2	0,83
14	174	21	40	109	0,03	0,03	0,01	0,1	0,81
15	148	63	71	110	0,03	0,04	0,02	0,15	0,73
16	155	94	56	111	0,07	0,03	0,02	0,16	0,74
17	99	27	59	122	0,08	0,01	0,02	0,14	0,88
18	162	41	63	133	0,03	0,01	0,02	0,2	0,76
19	85	58	42	144	0,02	0,03	0,02	0,21	0,82
20	163	94	46	170	0,03	0,04	0,02	0,22	0,72
21	188	69	47	119	0,05	0,02	0,04	0,12	0,71
22	101	63	76	169	0,05	0,05	0,03	0,19	0,85
23	199	47	54	153	0,07	0,02	0,02	0,17	0,87
24	131	54	55	129	0,06	0,03	0,03	0,22	0,78
25	95	43	37	168	0,04	0,04	0,02	0,21	0,8
26	78	74	67	179	0,07	0,02	0,03	0,13	0,9
27	59	24	69	149	0,05	0,02	0,01	0,12	0,71
28	157	62	58	128	0,05	0,05	0,03	0,15	0,89

19

Продолжение табл. 17

Номер
вариан	P	A	B	C	s	w	k	d	a
та
29	161	27	61	192	0,02	0,03	0,02	0,14	0,91
30	170	75	50	195	0,04	0,03	0,02	0,22	0,73
31	146	47	35	124	0,03	0,03	0,04	0,17	0,8
32	195	37	48	151	0,04	0,04	0,01	0,17	0,9
33	133	92	62	157	0,07	0,01	0,03	0,19	0,8
34	73	37	46	201	0,02	0,04	0,03	0,2	0,77
35	195	84	63	217	0,08	0,03	0,01	0,22	0,87
36	154	52	30	121	0,03	0,04	0,02	0,11	0,76
37	146	87	54	124	0,08	0,03	0,02	0,2	0,75
38	117	38	73	179	0,05	0,03	0,04	0,18	0,9
39	127	46	73	133	0,04	0,02	0,02	0,1	0,86
40	176	42	65	152	0,08	0,05	0,02	0,11	0,79
41	100	76	45	203	0,03	0,04	0,04	0,13	0,9
42	67	98	61	177	0,08	0,04	0,02	0,21	0,72
43	115	80	42	149	0,05	0,04	0,02	0,18	0,74
44	61	91	35	184	0,08	0,02	0,04	0,21	0,79
45	123	81	71	149	0,03	0,03	0,02	0,12	0,83
46	64	36	64	165	0,03	0,06	0,02	0,1	0,79
47	93	80	74	206	0,03	0,02	0,01	0,12	0,78
48	78	98	73	175	0,07	0,02	0,02	0,1	0,87
49	167	83	46	158	0,06	0,05	0,03	0,13	0,74
50	104	65	47	168	0,05	0,04	0,01	0,17	0,74
51	194	94	79	209	0,05	0,05	0,04	0,13	0,74
52	154	21	46	190	0,03	0,02	0,02	0,15	0,82
53	96	43	70	140	0,05	0,03	0,04	0,15	0,85
54	148	52	77	183	0,06	0,02	0,03	0,2	0,8
55	185	42	63	215	0,04	0,03	0,01	0,14	0,91
56	164	66	60	134	0,06	0,05	0,04	0,11	0,81
57	112	25	52	190	0,05	0,03	0,04	0,23	0,82
58	129	69	34	123	0,04	0,01	0,01	0,15	0,82
59	133	82	32	152	0,02	0,03	0,03	0,17	0,83
60	99	92	68	174	0,05	0,05	0,01	0,11	0,75