Построение модели.

Различают два крупных подхода к построению модели:

• формальный;

• неформальный.

Неформальный подход базируется на методах экспертного оценивания, то есть получение данных (мнений) группы экспертов и обработка этих данных. Существует много способов экспертного опроса и методов обработки данных опроса, однако их изучение выходит за пределы нашей дисциплины.

Формальные подходы. Существуют 2 больших формальных подхода к построению математических моделей.

Подход на базе фундаментальных законов естественных наук

1. Подход на базе фундаментальных законов естественных наук, то есть всего того, что в настоящее время накоплено человечеством - в физике, химии и т.д. Отметим при этом, что эти законы имеют свою область эффективного применения. Такие модели строятся чаще всего для детерминированных условиях, то есть они не учитывают неопределенность. Для достаточно сложных объектов и процессов такие модели обычно являются динамическими, нелинейными и имеют сложную структуру. Это именно те модели, которые мы ранее назвали объектами внутреннего механизма процесса или моделями в большом диапазоне изменений входных и выходных воздействий процесса, и эти модели отображают все необходимые стадии преобразования энергии или вещества исследуемого процесса.

Отметим особенности таких моделей:

1. как правило, для процессов и явлений, протекающих с преобразованием энергии и вещества, агрегатных превращений (переход из одного состояния в другое), модели достаточно сложны по своей структуре, содержат нелинейные операторы преобразования. Зачастую динамические модели таких объектов записывают в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных. Они могут содержать некорректные математические операторы, то есть такие, для которых малые ошибки исходных данных преобразуются в очень большие ошибки результатов расчетов;

2. для них нельзя использовать данные, непосредственно поступающие из действующих систем контроля, так как эти данные содержат обычные и грубые ошибки.

Данные, получаемые из действующих систем контроля, должны быть предварительно обработаны. После этого их можно использовать для расчета с использованием моделей внутренних механизмов процесса.

Основной целью такой обработки данных является выделение полезной составляющей сигнала, которая отражает соответственно непосредственное изменение измеряемой величины. Для этой цели используют алгоритмы фильтрации сигналов, в т.ч. и робастного типа (см. соответствующую методичку по фильтрации).

Выделение полезной составляющей с помощью фильтра низкой частоты можно пояснить следующим рисунком:

Рисунок 7 - Выделение полезной составляющей с помощью фильтра низкой частоты

На выходе этой схемы имеется два сигнала Y₀(t)иε(t), причемY₀(t)отождествляется со сглаженным значениемỸ(t), аy(t)– отклонение от сглаженного значения следует отождествлять с помехой, ошибкой ε(t), по такой же схеме рис. 7 можно выделять полезную составляющую входаY₀(t) и W(t).ЗначенияY₀(t) и W(t),как наиболее близкие составляющие полезного сигнала, могут быть использованы для обработки с помощью модели внутреннего механизма процесса.

В свою очередь значение Y₀(t)можно получать с помощью моделей внутреннего механизма процессаY₀(t)=Ф{V(t),W(t)}.

Примеры применения основных физических и физико-химических законов для построения математических моделей в большом применительно к металлургическим процессам приведены в книге профессора Цымбала В.П. Математическое моделирование сложных систем в металлургии: Учебник для ВУЗов/ В.П. Цымбал.- Кемерово; Москва: издательское объединение «Российские университеты».: КузбассВУЗИздат – АСТШ.-2006-431с.

Для примера рассмотрим простейший случай построения такой модели, взятый из книги Воронова А.А. Основы теории автоматического управления/М.-Л.: Энергия.-1965.-396с. (стр.45-54)

Пример: построить математическую модель двигателя постоянного тока с независимым постоянным возбуждением, управляемым путем изменения напряженияUна якоре двигателя.

Рисунок 8 - Двигатель постоянного тока с независимым постоянным возбуждением

Считая поток возбуждения постоянным (U_b=const), имеем

; (31)

; (32)

. (33)

где J– момент инерции ротора двигателя;

ω– угловая скорость вращения вала двигателя;

М_Д– движущий момент двигателя;

М_С– момент сопротивления;

I– ток якоря;

U– напряжение на якоре двигателя;

R_Я– сопротивление якоря двигателя;

L_Я– индуктивность якоря двигателя;

k_I, k_ω– постоянные коэффициенты.

Будим считать в качестве выходного воздействия модели, например, угол поворота вала двигателя, т.к. именно эта величина используется в качестве выходного воздействия двигателя в исполнительном блоке системы регулирования.

Таким образом, исходными для вывода математической модели двигателя являются выражения (31), (32), (33), где выражение (31) – известный закон механики, связывающий момент инерции и движущий момент; (32) – выражение, известное из теории электромашин, связывающее движущий момент двигателя и ток якоря; (33) – выражение, известное в электротехнике как закон Кирхгофа.

Заменив оператор дифференцирования символомpи проделав элементарные арифметические операции, получим из выражения (33):

; (34)

Подставив (34) в (31) и (32), получим:

; (35)

; (36)

; (37)

Обозначим ; (38)

- электромеханическая постоянная времени;

; (39)

- электромагнитная постоянная времени;

Получаем следующее ДУ в операторной форме:

; (40)

Как видно, это уравнение 2-го порядка с двумя входными воздействиями UиМ_С.

1. Если принять, что T_l << T_m, то можно величинойT_l пренебречь, т.е.T_l=0.

; (41)

2. Обычно время разгона двигателя намного меньше, чем время разгона связанного с двигателем регулирующего органа, поэтому можно принять T_m=0.

Если пренебречь М_С (т.е.М_С = 0), тогда

; (42)

а угол поворота вала двигателя

. (43)

Обычно, рассматривая в ТАУ модель системы регулирования, часто принимают в качестве модели двигателя (исполнительного механизма) модель интегрального звена, если в качестве выходной переменной принимать угол поворота двигателя.

Структура и значения параметров математической модели внутреннего механизма процесса определяется исходя из теории процессов, протекающих в О.И. Следовательно, если стоит задача построения внутреннего механизма процесса, то надо обратиться к теории этих процессов.