Идентификационный подход

2 Идентификационный подход – этот подход основан на построении модели путем получения и обработки экспериментальных данных. Методы построения таких моделей – методы идентификации, а сам процесс построения модели – идентификация. С помощью методов идентификации получают функциональные или кибернетические модели.

Весь процесс построения модели методами идентификации можно разбить на 2 этапа:

1. Получение данных;

2. Обработка данных.

Получение данных

Будем различать 3 вида эксперимента, с помощью, которых получают необходимые для построения модели данные: пассивный, активный, комбинированный.

2.1 Регистрационный или пассивный эксперимент - это такой, при котором исследователь регистрирует все необходимые ему экспериментальные данные, которые он может получить по результатам работы действующей системы контроля, а также с помощью дополнительно установленных на объекте средств измерения и контроля.

Но он совершенно не вмешивается в работу объекта исследования, не наносит никаких дополнительных воздействий с целью идентификации. Поэтому такой способ получения данных организовать наиболее просто и с наименьшими затратами. Однако он имеет очень ограниченную область эффективного применения, его можно использовать только для неуправляемых объектов. Объектов, не являющихся частью системы управления, и соответственно, не охваченных прямыми и обратными управляющими связями. В то же время, подавляющее большинство натурных объектов является частью системы управления, например, охваченных обратными связями, как это показано ниже на рисунке 8. Для таких объектов построить математическую модель преобразующих каналов по данным пассивного эксперимента практически невозможно, т.к. нарушаются основные предпосылки методов идентификации.

Рисунок 9 - Пример системы управления с обратной связью

По данным пассивного эксперимента в большинстве случаев невозможно найти искомую модель.

Основные предпосылки методов идентификации

Рассмотрим уравнение:

Y=ku+

Умножим на U:

Y*u=k*u²+*u

Тогда, математическое ожидание:

M{yu}=M{k*u²}+{*u}

M{y}=M{u}=0

Kyu=1/N*∑(ui-uср)

Ku=Kyu/Дu–Keu/Дu

(При Keu=0)

Ku=Kyu/Дu

1. Исходные данные не должны содержать выбросов или грубых ошибок.

2. Структура математической модели должна быть линейно-параметрической, т.е. линейной по отношению к параметрам, и таких структур может быть много.

Если структура зависимости известна и не линейна, то ее можно привести к линейно-параметрическому виду, в частности, используя точное математическое преобразование, либо приближенное, например, путем разложения в ряд (любой ряд, имеющий линейно-параметрическую структуру).

Cхема Гаммерштейна:

=>U1(i) иU2(i) взаимосвязаны

Согласно схеме Гаммерштейна мы можем из линейного дифференциального уравнения придти путем переопределения к статической линейно-параметрической форме.

3. Критерий точности должен быть среднеквадратический, т.е. он дифференцируемый, непрерывный (например, среднемодульный прерывается в 0).

МНК получен в результате решения задачи оптимизации аналитическим путем. Точное решение задачи оптимизации возможно лишь в случае ЛКГ, где Л - линейность модели к искомым переменным, К – квадратичность критерия, Г – «гауссовость» эффектов неучитываемых факторов (ε), т.е. с нормальным законом распределения (рисунок 10).

Q m Q m

1. 0

Рисунок 10

4. Выходная переменная ураспределена нормально для каждого фиксированного значения входной величиныv_j, ,M – число факторов, учитываемых моделью, т.е.ε распределено нормально. Предпосылка не говорит о том, что выходная переменнаяYдолжна быть распределена нормально, а нормальным распределение должно быть для эффектов неучитываемых факторовε. Проверить эту предпосылку можно в том случае, если реализовать так называемые дублирующие опыты, т.е. для одних и тех же постоянных значенийVпровести серию экспериментов. Значения выходной переменной в этой серии будут отличаться друг от друга за счет влияния неизвестных факторов (Wн). Эти отклонения можно определить, как разность экспериментальных значенийyи выборочной средней, значения которой находятся по результатам усреднения значенияyв дублирующих экспериментах.

5. Постоянно действующее возмущение ε представляет собой последовательность независимых случайных величин с нулевым средним значением и некоторой неизвестной дисперсией (постоянной), т.к. задача решается ЛГК

Если зафиксировать последовательно входную переменную и проводить эксперименты, то т.к. ,то εбудет статистически независимой. Если на интервале объекта имеется связь между переменными (т.е. объект динамический), то следующий эксперимент проводить через время больше интервала памяти объекта. Если ограничение не будет исполняться, то оценка коэффициента будет смещенной и зависеть от коэффициента корреляции.

6. Дисперсия должна быть однородной, тогда при увеличении объема выборки оценка будет не смещенной, т.е. приближаться к действительной при увеличении числа эксперимента nдо бесконечности или можно сказать, что объем выборки будет приближаться к генеральной совокупности.

Генеральная совокупность – это такая совокупность, объем которой равен ∞.

Поскольку практически генеральную совокупность в процессе эксперимента получить невозможно, то экспериментатор всегда получает часть этой совокупности, которая называется выборочной.

Для проверки гипотезы принадлежности двух полученных экспериментальным путем дисперсий одной и той же совокупности американский ученый Фишер предложил процедуру, основанную на следующем критерии:

Критерий Фишера.Есть 2 оценки дисперсии:D₁иD₂. Принадлежат ли они одной генеральной совокупности?

, приD₁>D₂. Если полученная величина меньше табличной, то они принадлежат одной генеральной совокупности. Дисперсияεдолжна быть постоянная (однородная) при зафиксированныхv_j.

7. Отсутствие статистической связи между эффектами неучтенных факторов εи учтенными факторамиv_j. Нарушение этой предпосылки обусловлено наличием прямых и обратных управляющих связей, если объект идентификации является управляемым, т.е. частью системы управления.

8. Последовательность значений v_j, реализованных в процессе эксперимента, должны быть независимы между собой, т.е.v_j(i)должны быть статически независимо отv_j(i+1), гдеj- номер фактора,, i-номер эксперимента. Аналогичное требование накладывается и наy(как следствие). Поскольку МНК использует для нахождения статических зависимостей, а практически все реальные объекты являются динамическими, то для выполнения этой предпосылки необходимо интервал времени между двумя соседними экспериментами брать больше, чем время памяти объекта, т.е. после того, когда все переходные процессы в объекте, обусловленные предыдущим экспериментом, закончатся.

9. Учитываемые факторы v_j иv_кприк≠j между собой статистически независимы. Нарушение этой предпосылки приводит к смещению оценок параметров при этих факторах. Они не будут отражать реально существующее соответствие междуyи v_j. Если эти факторы очень тесно связаны (r≈0,9), то один из факторов нужно исключить (который тяжелее реализовать). Если коэффициенты корреляции между этими факторами небольшой, напримерrменьше либо равно 0.5, то их исключать нельзя: надо проводить ортогонализацию факторов.

10. Входная величина v_jне должна содержать ошибок измерения. т.е. учитываемые факторыv_jявляется неслучайными и управляемыми факторами. Погрешность всегда будет, но она должна будет существенно малой, по сравнению с диапазоном изменения измеряемой величины. Исследователь может изменять значения входных переменных в соответствии с предварительно разработанным планом.

Вывод: предпосылки в основном выполняются при активном эксперименте. Нарушение предпосылок всегда будет приводить к смещению полученных оценок,

Вывод.

Если мы будем рассматривать объект отдельно от всей системы, то получим смещенные оценки параметров моделей объекта управления. Необходимо рассматривать объект как часть системы, а не обособленно.

Идентификация регулирующего канала может оказаться выполнимой только в том случае, когда среди действующих на объект возмущений имеется хотя бы одно доступное для контроля (прямого или косвенного) возмущение, идущее по одному каналу с регулирующим воздействием.

Условия проведения пассивного метода идентификации:

1) Эффекты неучитываемых факторов, искажающие реакцию объекта идентификации на выбранное входное воздействие, должны быть независимыми от этого воздействия (в противном случае в состав погрешности оценки динамической характеристики, помимо случайной составляющей, которая может быть сведена к допустимо малой величине с помощью методов математической статистики, будет входить также и неустранимая систематическая погрешность). Другими словами, не должно быть корреляции между входной учитываемой величиной и эффектами неучитываемых факторов

2) Входное воздействие, по которому осуществляется идентификация, должно обладать достаточно широким частотным спектром, во всяком случае, не меньшем, чем полоса частот, в пределах которой требуется оценить динамическую характеристику системы (то есть это воздействие должно изменяться в достаточно большом диапазоне)

3) Поэтому при нанесении активных исследовательских воздействий их выбор (структура, параметры) должен осуществляться с учетом этих первых двух условий

По данным пассивного эксперимента в большинстве случаев невозможно найти искомую модель. Рассмотрим в качестве примера модель следующего вида:

, (44)

ε₁– эффекты влияния неучтенных факторов.

При этом объект исследования является объектом управления. Если система управления не обладает динамикой, то ошибка управления ε будет полностью совпадать ε₁. В противном случае появится дополнительная ошибка равная δε, т.е. ε₂= ε₁+ δε, где δε = динамические ошибки, возникающие в процессе компенсации возмущений.

Но величина этой ошибки меньше, чем ε₁, т.е. что для нединамической системы ε₁соответствует уравнению (44) и будет совпадать с ошибкой управления. В этом случае ошибка управления ε₂ совпадает с эффектами неучтенных факторов.

В этом случае динамической системы ошибка регулирования ε₂будет в переходные процессы больше ε₁.

Принцип выбора объекта исследования (ОИ):

При выборе ОИ необходимо так отделять его от окружающей среды, чтобы разрыв был либо при очень слабой управляющей связи, или при ее отсутствии. Предполагается отсутствие связи между u(t)иε(t).В случае если стоит задача идентификации промышленного объекта управления, являющегося частью системы управления, то в качестве объекта исследования следует выбрать систему управления

Пусть стоит задача оценивания значений коэффициентов k_uэтого уравнения и для решения этой задачи мы выберем метод наименьших квадратов

Оператор математического ожидания можно заменить средним арифметическим. Для простоты дальнейших рассуждений будем считать, что ε, y и uесть случайные величины с нулевым математическим ожиданием.

(45)

Метод наименьших квадратов (МНК) дает формулу:

(46)

Формулы (45) и (46) тождественны, если отсутствует корреляция между ε и u. Согласно пятой предпосылке МНК,K_εuдолжен быть равен 0, тогда формулы будут одинаковы и соответственно коэффициент передачиK_uбудет несмещенн.

Однако: при использовании данных пассивного эксперимента в силу существования достаточно тесных связей междуε и uэто условие независимостиε и uникогда не будет выполняться и полученная оценка коэффициента передачи будет всегда заниженной на величину.

В частности, при мы получи значение оценки, а в случаекоэффициент будет с обратным знаком по отношению к действительному его значению.

2.2. Активный эксперимент– это такой способ получения экспериментальных данных, при котором исследователь в целях идентификации вмешивается в работу объекта, наносит специальные воздействия исследовательского характера. При этом управляющие связи, как правило, размыкаются. Это может привести к нарушению нормального протекания технологического процесса, нарушению его режимов, что естественно может привести к значительным экономическим потерям. Поэтому такой эксперимент зачастую сложно реализовать в условиях действующей системы управления.

Активный эксперимент практически всегда связан с устранение прямых и обратных связей. Если управляющую связь не размыкать, то выходные воздействия объекта управления и соответственно системы управления также будут всегда приближаться к заданным значениям.

Т.о. эффекты, нанесенные активным воздействием, активным характером будет компенсироваться уничтожаться, что не позволит построить адекватную математическую модель преобразования каналов объекта.

Т.о. если не размыкать управляющие связи, то активные исследовательские воздействия, например по каналам преобразования изменений неконтролируемых возмущений, будут этой системой с компенсированной и полученная на выходе кривая будет являться комбинацией переходных процессов двух каналов преобразования: по контролируемому возмущению и по регулирующему воздействию.

Мало того, что объект подвержен влиянию неконтролируемых возмущений (это практически характерно для всех промышленных объектов), то активные воздействия необходимо наносить многократно, чтобы в дальнейшем можно было бы использовать процедуру усреднения по множеству для уменьшения эффектов неконтролируемых возмущений.

При нанесении активных воздействий следует обратить особое внимание нужно обратить особое внимание на форму изменения этих воздействий. Она должна быть такой, чтобы можно было бы выполнить предпосылки применения методов идентификации, например в частности связанные с отсутствием статистической связи между учитываемыми факторами и эффектами неконтролируемых возмущений.

Достоинством активных экспериментов является то, то в их результате можно получать экспериментальные данные, которые удовлетворяют предпосылки методов идентификации и, соответственно, получать на их основе адекватные модели.

Недостаток: сложность реализации из-за больших экономических потерь; возможность тяжелых последствий, например, авария на Чернобыльской АЭС.

2.3 Комбинированный эксперимент– такой способ получения данные, который рациональным образом сочетает как активный, так и пассивный эксперимент. В настоящие время нет четких алгоритмов комбинирования видов экспериментов. На основе анализа опыта можно отметить следующие инженерные правила:

1. сочетание методов должно быть таким, чтобы обеспечить как получение эффективных данных для последующей обработки, так и уменьшение затрат и потерь в действующих системах при реализации такого эксперимента;

11. имеются основанные на опыте решения задач идентификации рекомендации когда, при каких свойствах и условиях функционирования объекта и в какой последовательности проводить активные и пассивные эксперименты.

Такие рекомендации позволяют реализовать комбинированные эксперименты, которые в какой-то мере могут удовлетворять перечисленным выше требованиям.

Рекомендации:

1) начинать идентификацию надо с построения модели регулирующего канала;

2) если имеется несколько каналов регулирования, то идентификацию необходимо начинать с того, которым чаще пользуются в целях оперативного регулирования или который является более быстродействующим, т.е. имеет меньшее запаздывание и меньшую инерционность. Такой порядок проведения комбинированного эксперимента позволяет существенно сократить время функционирования объекта в разомкнутом режиме, т.е. без управления.

Рассмотрим пример, с помощью которого поясним один из вариантов комбинированного эксперимента. Пусть объект исследования является управляемым и имеет 2 входных воздействия, одно из которых является регулирующим u(t), а второе - контролируемым возмущающим воздействием w_k(t). Также на объект действуют неконтролируемые возмущенияw_н(t) (рис.13).

Требуется: Оценить методами идентификации модели преобразующих каналов, т.е. найти математические модели φ_u{·}; φ_w{·}.

; (47)

. (48)

При этом разрешено провести активный эксперимент, но с минимальным вмешательством в работу ОИ.

Рисунок 13 - Система регулирования объекта с двумя входными воздействиями.

Можно ли поставленную задачу решить при помощи данных пассивного эксперимента?

Первый вариант.

Можно, при выполнении следующих условий:

1. y*(t) = var

2. диапазон изменений контролируемых возмущений достаточно велик, чтобы оценить модель преобразующих каналов.

Чтобы выяснить, причем здесь условие 1, рассмотрим метод инструментальных переменных для оценивания параметра k уравнения вида y=kv +.

Сущность метода инструментальных переменных.

Пусть существует переменная z, удовлетворяющая следующим условиям:

1) ; (49)

2) ; (50)

3) , (51)

где K_vz, K_yz, K_εz – корреляционные моменты (ковариации) между соответственно переменными v и z, y и z, ε и z.

То есть переменная z должна быть статистически связана с учитываемой переменной v, зависимой выходной переменной y и статистически не связана с эффектами неучитываемых факторов .

Чтобы показать основное уравнение метода инструментальных переменных для нахождения коэффициента , в исходном уравнении умножим левую и правую части наz:

yz = kvz+z. (52)

Применим к обеим частям уравнения оператор математического ожидания

(53)

(54)

Предположим, что , тогда оценка коэффициентаk будет равна

(55)

С учетом свойств переменной z получим

(56)

Переменная z– инструментальная переменная. Её свойства сформулированы теоретически, исходя из условия эффективности метода наименьших квадратов. При этом, если учитываемые переменныеvдля управляемых объектов практически всегда связаны с эффектами прочих факторовε, то авторы метода выдвигают гипотезу о существовании некоторой переменнойz, названной инструментальной, которая должна удовлетворять записанным выше трем условиям. Потому что при выполнении именно этих условий задача идентификации по данным пассивного эксперимента для управляемых объектов может быть успешно решена.

Широкому практическому распространению метода инструментальных переменных препятствует лишь одно ограничение: где взять z?

В общем случае, справедливом для всех управляемых объектов, в качестве zможет быть использовано задающее воздействиеy*(t)в случае, если оно переменное.

Переменная y*(t)всегда статистически будет связана сy(t),посколькуy(t) для эффективного функционирования системы управления должна с заданной точностью отслеживать изменениеy*(t). В свою очередьy*(t)будет связана и сu(t),так как эта связь обусловлена действующим в системе законом регулирования (к_yy≠0).

Эффективно функционирующая система управления должна отрабатывать задающее воздействие независимо от уровня, свойств и характера изменения неконтролируемых возмущений, следовательно, статистическая связь между y*ипрактически всегда отсутствует.

Из анализа метода инструментальных переменных можно сделать вывод о том, что в случае, когда задающее воздействие – величина переменная, задачу идентификации одного регулирующего канала можно решить путем обработки данных пассивного эксперимента.

Для нашего примера модель может быть найдена методом инструментальных переменных на основе данных пассивного эксперимента. Поэтому будем считать, что половину 1- варианта задачи мы решили.

Для решения второй половины задачи выразим y(t)через её составляющие.

y(t) = y_u(t)+y_w(t)+y_wн(t); (57)

y_u(t) =;(58)

y_w(t) = ;(59)

y_wн(t)– приведенные к выходу объекта возмущения.

2. предполагая, что y_wн(t)отсутствует или мало, можно записать:

y_w(t) = y(t) – y_u(t); (60)

y_u(t) можно рассчитать, зная модель регулирующего канала объекта и значения регулирующего воздействия u(t). Конечно, значения y_w(t) будет содержать дополнительные погрешности расчетов в отличие от тех значений y_w(t), которые можно было бы получить экспериментально.

Зная y_w(t) и w_k(t), можно решить задачу идентификации канала преобразования контролируемых возмущений, но при выполнении одного условия: если контролируемые возмущения w_k(t) будут изменяться в достаточно большом диапазоне.

Рассматриваемый вариант можно расширить решив задачу идентификации на базе данных пассивного эксперимента и в случае наличия неконтролируемых возмущений. Но при условии, что контролируемые возмущения и приведенные возмущения между собой статистически не связаны.

Второй вариант.

Если же эти изменения невелики (возмущения w_k(t)), то можно провести активный эксперимент, не разрывая управляющих связей. Например, нанести скачок по контролируемому возмущению, при этом получим следующую картину (рисунок 14). Кривая I и II получаются в зависимости от настроек закона регулирования.

Рисунок 14 - Результат нанесения скачка по контролируемым возмущениям

Учтем, что эффективно работающая система регулирования должна удовлетворять двум основным требованиям:

• быть устойчивой;

• отвечать заданному критерию качества.

Поэтому отклонения y_w(t)от заданного уровня (кривыеIиIIна рисунке 10) должны быть малыми. Они в общем случае существенно не повлияют на эффективность работы системы регулирования (конечно, при разумной величине скачкаw_k(t)).

В этом случае необходимо расчетным путем определить

y_w(t)= y(t)- y_u(t)(61)

по уже указанной схеме.

Кривая y_w(t), полученная расчетным путем, на графике обозначена кривой III при условии, что в качестве модели объекта по каналу преобразования контролируемого возмущения применяли модель инерционного звена 1-го порядка.

Сделаем следующие выводы по первой части примера:

Задачу идентификации управляемого объекта, имеющего 2 входных воздействия, одно из которых регулирующее, а другое – контролируемое возмущение, можно успешно решить по данным пассивного эксперимента, если выполняются следующие условия:

1. y*(t) – величина переменная, что позволяет ее взять в качестве инструментальной и использовать для идентификации регулирующего канала метод инструментальных переменных;

2. Если диапазон изменения контролируемых возмущений w_k(t) достаточно большой, то можно решить задачу идентификации каналов преобразования контролируемых возмущений w_k(t) путем имитационного моделирования. Для реализации такого моделирования необходимо иметь математическую модель регулирующего канала объекта и измеренные значенияu(t), которые должны быть строго синхронизированы со значениями w_k(t). В процессе моделирования должны определяться

y_w(t)= y(t)- y_u(t)(62)

В такой моделирующей системе целесообразно использовать рекуррентные методы идентификации (см. лекции по идентификации).

Рекуррентные методы идентификации позволяют существенно уменьшить время моделирования, поскольку с их помощью оценка требуемых параметров модели последовательно уточняется на каждом шаге поступления данных.

3. Если диапазон изменения колебания возмущения W_k мал, то пассивного эксперимента не получится. Но в этом случае можно реализовать активный эксперимент по каналу преобразования контролируемых возмущений, не размыкая регулирующие связи. В этом случае система не теряет своей эффективности т.к. регулятор обратной связи скомпенсирует реакцию объекта на эти возмущения. Однако полученные данные y(t) позволят в этом случае получить адекватную модель φ_w{·}.

12. Если y_wн(t) ,то согласно формуле 57, получим вместоy_w(t)оценкуy_w(t) + y_wн(t).Если принять гипотезу о независимости этих двух составляющих или, что одно и то же, принять гипотезу о статистической независимости входных контролируемых и неконтролируемых переменных, эта задача может быть также решена.

Однако в этом случае, если иметь в виду последний вариант идентификации предыдущей схемы с нанесением скачкообразных изменений w_k(t), необходимо эксперимент продублировать несколько раз и полученные результаты усреднить по множеству.

При сглаживании по времени появляется дополнительное инерционное запаздывание, что при дальнейшей обработке полученных кривых приведет к смещенным оценкам.

y’_w(t) = y_w(t) + y_wн(t) (63)

Изменим второе условие. Пусть уровень контролируемых возмущений не велик, то есть для идентификации канала преобразования по контролируемым возмущениям необходимо наносить активные воздействия. Но при этом регулятор в обратной связи продолжает функционировать. В этом случае регулятор будет компенсировать эти активные исследовательские воздействия, но эффекты нанесенных регулирующих воздействий могут быть вычислены и исключены из y(t).

Расчет y_w(t) или y’_w(t) (формула 63) можно рассматривать как моделирование объекта при отключенной управляющей (регулирующей) обратной связи. При этом происходит расчетное размыкание цепей обратной связи или осуществляется перевод управляемого объекта в неуправляемый.

13. третий вариант: y*=const. В этом случае, для идентификации регулирующего канала требуется:

• размыкание обратной регулирующие связи;

• нанесение активных воздействий исследовательского характера по регулирующему каналу.

Этот вариант отличается от предыдущих двух тем, что здесь для идентификации регулирующего канала необходимо реализовать активный эксперимент в чистом виде с размыканием регулирующей связи и нанесением активных воздействий исследовательского характера. Решение задачи идентификации канала преобразования контролируемых возмущений полностью совпадает рассмотренной выше задачей.

Здесь целесообразно для уменьшения затрат времени использовать рекуррентные методы идентификации.

Рассмотренные выше способы получения данных: пассивный, активный и комбинированные эксперименты, можно релизовать как в ретроспективном варианте, так и в темпе с процессом.

В 1-ом случае необходимые экспериментальные данные получают любым способом, предварительно накопив необходимый или возможный объем выборки экспериментальных данных.

В этом случае обработка накопленных экспериментальных данных производится традиционными методами. Наиболее часто применяют для получения статических моделей - регрессионный и корреляционный анализ, а для динамических моделей корреляционный динамический анализ.

Кроме, такого способа данные могут быть получены и обработаны одновременно в темпе с поступлением данных с действующей системы управления. Для такой обработки применяют рекуррентные методы идентификации.

Рекуррентные методы идентификации используются еще и для нестационарных объектов, то есть таких, свойства которых с изменением времени или условий функционирования меняются, соответственно изменяются и параметры математических моделей или даже их структура.

Необходимым условием использования рекуррентных способов идентификации для нестационарных объектов является следующее:

v_д << v_z, (64)

где v_д– скорость дрейфа характеристик объекта;

v_z – скорость изменения учитываемых в модели переменных, т.е.

z={w,u,y}.(65)

Если это условие не выполняется (в частности, происходят резкие и существенные изменения характеристик объекта), то рекуррентные процедуры не гарантируют эффективное отслеживание параметров модели объекта.