семестров

Вариант 8

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =5x; y =1+sin x; y =1+	1	; y =log x.
	x		2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	−x −12,		x p0,
x									1
						π
f (x) =	3,		0 ≤x ≤				,	f (x) =			.
						2			2x −5
				π
			x f		;
tgx,				2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

x2 +6x −2 lim x3 3x ;

x→∞ +

1

lim(1+sin x)sin x ;

x→0

2− x−3 lim x2 49 ;

x→7 −

limsin5x ; x→0 sin3x

	4. Найти производные функций.		x
	y =tg2 (2x +1); u =(2t +1)sin2t;	y =			;
			2
			x −1
	x =t −sint,
	y =1−cost.

x2 −3x+2 lim x2 2x 1; x→1 − +

lim cos2x.

x→π2 x

y =e−2x cos3x;

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

От канала шириной 3 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять из одного канала в другой?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

	y = x ln x; y =	4x3 −x4	.
		8

11

Вариант 9

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

	1	x		y =2sin x;	y =	3	;	y =1+log2 x.
y =−	3		;			x

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2	+2x +1, x p2,			1
	x
	f (x) = 4−x,			2 ≤x pπ,	f (x) =−			.
						x −2
	tgx,			x ≥π;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

	lim	2x3 +7x2 −6		;	lim	5x −x	;
		3x3 −x				x −5
	x→∞				x→5

lim(1+sin x)ctgx ;							lim	sin2 x		;
x→0							x→0	4x2
4. Найти производные функций.
				2		−2t			1+x2
y =	1+ln				x;	u =e	sint;	y =			;
										2
									1−x
		3	t,
x =
			−1.
y =2t

x2 +x−12 lim x2 5x 6; x→3 − +

lim xtgx.

x→π4

y =e3xtg 2x ;

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Из полосы жести шириной 8 см нужно сделать желоб с поперечным сечением в форме сегмента круга. Каким должен быть центральный угол сегмента, чтобы вместимость желоба, т.е. площадь сечения, была наибольшей?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =1+e−x2 ; y =16(x3 −12x−2).

12

Вариант 10

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

	y =2−x; y =cos x; y =	2		;	y =−log1			x.
		x −1
						3

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2		x p0,
	x +3x +2,								1
						π
	f (x) =	2x −1,	0 ≤x ≤				,	f (x) =−			.
						2			x +3
				π
			x f		;
	sin2x,			2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

2x3 +3x −5

;

lim

x −1

;

lim

x2 −4x +4

;

x2 −6x

x−2

x→∞

x→1

x −1

x→2

2

3x

sin3x

cos x

lim 1−

x

;

lim

;

lim

x −1

.

1−cos2x

x→∞

x→0

x→0

4. Найти производные функций.
π		x				2		1+cos2x		x2
y =lntg	+			;	u =t		sin(2t −1); y =		;	y =xe	;
		2						1−cos3x
4

x =cosat,y =sinat.

5.Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Впрямоугольном листе картона длиной 50 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты, и из оставшейся части складывается открытая прямоугольная коробка. При какой стороне вырезаемого квадрата объем коробки будет наибольшим?

6.Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

13

y =xln x; y =	1	+	2	.
	2
	x		x

Вариант 11

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =−3−x; y =	1	sin x;	y =	3	4−x2 ; y =1+log1	x.
				2
	2				2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	+4x, x p2,			1
	−x
f (x) = 2,			2 ≤x p3,	f (x) =			.
					2x −3
	3−x,		x ≥3;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

1+4x −x2

;

lim

x2

;

lim

x2 +x−12

;

x→∞ x +3x2 +x4

x→0

x2 +4 −2

x→−4 x2 +2x−8

5

x

x2

π −x

lim 1+

;

lim

;

lim

.

x

1−cos3x

cos x

x→∞

x→0

x→π

4. Найти производные функций.

2x

t

y =ln 3 x +1;

u =t sin(2t −1); y =

y =e2t cos

;

;

x +1

2

x =tgt2,

y =cos2t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками 24 м. Освещенность Е точки обратно пропорциональна расстоянию ее от источника света.

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =33 x −x; y = xx+21.

14

Вариант 12

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =−2−x; y =tg2x; y =	4	9−x2 ; y =log1			x.
	3
		3

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	x p−3,
x +7x +12,								1
					π
f (x) =	2x −1,	−3≤x ≤				,	f (x) =−		.
			π		2			x +1
		x f		;
sin x,			2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

x2 −3x +7

;

lim

3− 8+x

;

lim

x2 −1

;

+3x+2

x→∞ 3x2 +x +1

x→1

x−1

x→−1 x2

1+x 2x

lim

1−cos x

;

lim

cos x

.

lim

;

2

x −2

x→∞

x

x→0

x

x→0

4. Найти производные функций.

1

x

y =

3+ln2x;

u =2t cos(2t +1);

y =

y =

−x

ctg

;

2

;

1+x2

2

x = 4 t3 ,

y =sin2t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

При каких значениях высоты и радиуса основания конус будет иметь наименьшую площадь боковой поверхности, если образующая конуса равна 10 м.

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

15

y =x +e−x; y = x4 +27. 2x3

Вариант 13

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

		1		x		2		2
	y =				; y =3sin2x; y =		9	−x ; y =1−log1	x.
		3				3
								2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	x p1,
	2x −x ,			π			3
f (x) =	2−x,	1≤x ≤		2	,	f (x) =−		.
			π				x −1
	tgx,	x f		;
			2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

	lim	3x2 +6x −7				;
		6x2 −7x +6
	x→∞
			5	x
	lim 1−		x	;
	x→∞

lim		x2 +16 −4			;
		x2
x→0
lim		xsin x	;
	1−cos2x
x→0

4. Найти производные функций.

	y = ln3x; u =2sin(3t −2);	y =	sin x2	;
			x

2x2 −5x+2 lim x2 3x 2 ; x→2 − +

lim sin3x.

x→π2 x

y = 3 2x cos 2x ;

= t

x sin 2 ,

y =2tgt.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

При каком значении высоты у и радиуса основания х конус будет иметь наибольший объем, если образующая конуса равна 5 м?

16

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

2		x3	−9x
y =x ln x;	y =			.
			5

Вариант 14

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =x2 −2x +3; y =−tgx; y =1+	1	; y =−log x.
	x		2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		x
		(0,5) ,		x p0,
						π			3
	f (x) = 1−2x,		0 ≤x p				,	f (x) =			.
						4			x −2
				π
			x ≥		;
	sin2x,			4

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

x −6x2

;

lim

3x2 −4x+1

;

lim

1−cos x

;

x→∞ 1+3x2

x→1

x2 −1

x→0

xsin

x

2

1 x+1

x2 −9

sin2x

lim 1+

;

lim

;

lim

.

x −

2 −1

x

x→∞

x

x→3

x→π

4. Найти производные функций.

2

x −1

y =sin

2x;

u =

1 sin(2t +3);

y =

; y =tgxcos2x;

ln(x −1)

2

x =cos2t,

y =1 sin 2t.

2

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

При каком значении высоты h и радиуса основания R вместимость конуса будет наибольшей? Образующая конуса l равна 120 см.

17

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =x −ln x; y = x21−1.

Вариант 15

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

2			1	2
y =x	+4x +3; y =−tgx;	y =	3	9−x ; y =ln x.

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		x	x ≤2,
		2 ,			1
	f (x) = 4	−x,	2 px pπ,	f (x) =			.
					2x −4
	cos x,		x ≥π;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

3x2 −5x +1

;

lim

1+3x − 1−2x

;

lim

x2 +x−2

;

x

x2 −4

x→∞

2x +3

x→0

x→−2

2

x

1−cos x

1

x

lim 1+

;

lim

;

lim 1+

.

x

1−cos2x

x

x→∞

x→0

x→1

	4. Найти производные функций.		ln2	x
	y = cos3x; u =5sin(2t +1); y	=			;	y =sin3x tgx;
			x

x =2costy =sin 2t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции. Железный бак без крышки с квадратным основанием имеет объем

V=150 куб. м. При каких размерах бака на его изготовление пошло наименьшее количество листового железа?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =x +	ln x	;	y =	3		−	1	.
	x			x			3
							x

18

Вариант 16

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =−3x; y =cos2x; y =	3	4−x2 ; y =log	x.
2		4

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2	−x −2, x ≤2,			1
	x
	f (x) = x	−2,		2 px ≤π,	f (x) =			.
						x +3
	sin x,			x fπ;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim	x2 +3x −1			;	lim		x −1		;
							−
x→∞ 2x2 +5					x→1
							x 1
		1+x x				1−cos4x
lim			;		lim					;
							2
x→∞		x			x→0		x
4. Найти производные функций.
y =		3x3 −2x;			u =t cos(2t −5);				y =
		2
x =		2cos t,
y =sin2t.

x2 −3x+2 lim x2 4x 3; x→1 − +

lim sin3x.

x→π2 x

ln x ; y =2x tg3x; x2 −1

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Закрытый железный бак с квадратным основанием имеет объем V=200 куб. м. Какими должны быть высота и сторона основания бака, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? 6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

2 x		4
y =x e	;	y =x +		.
			x

19

Вариант 17

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =1−4x2; y =2cos2x; y =2−	1	; y =log (x−1).
	x		2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2,	x ≤0,
	x			2
f (x) =	2 ,	0 px p1,	f (x) =		.
	4−x2 ,	x ≥1;		x −1

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

3x3 +8x −2

;

lim

x −3

;

x3 −x

x→∞

x→3

3x −x

2

2

lim(1+x)x ;

lim

x

;

2x

x→0

x→0 1−cos2

4. Найти производные функций.

cos3x

y =

ln3 x; u =

1

cos(2t −2);

y =

;

2

2

x

,

x =t −t

2

y =2t +1.

	lim	2x2 +5x−7		;
		x2 −1
	x→1

lim(sin x +cos x).

x→π2

y = 3 x sin2x;

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Требуется изготовить коническую воронку с образующей l=10 см. Какой должна быть ее высота, чтобы объем воронки был наибольшим?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =ln(4−x2 ); y =2−	1	.
	2
	x

20