семестровые математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра высшей математики

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Задачи для самостоятельной работы по дисциплине «Математика»

Новокузнецк 2011

УДК 512.64(07) В269

Рецензент кафедра физики Сибирского государственного индустриального

университета (зав. кафедрой д.ф.-м.н., проф. Громов В.Е.)

В 269 Векторная алгебра и аналитическая геометрия/Сост.: Л.М.Калинина: СибГИУ. –Новокузнецк, 2011. - 30 с.

Даны вопросы для подготовки к коллоквиуму, задания для самостоятельной работы студентов, структурная блок-схема и основные формулы по разделу «Векторная алгебра».

- 2 -

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ ПО РАЗДЕЛУ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

1. Система и метод координат на прямой, на плоскости и в пространст-

ве.

2.Понятие вектора. Способы его задания.

3.Модуль и направляющие косинусы вектора, их вычисление через проекции вектора на координатные оси.

4.Теоремы о проекциях вектора на ось.

5.Линейные операции над векторами: сложение, вычитание и умножение на скаляр. Определение, геометрическая иллюстрация, линейные операции в проекциях на координатные оси данных векторов.

6.Понятие о координатном базисе. Разложение вектора по координат-

ному базису i , j,k .

7.Скалярное произведение векторов. Определение, геометрический и физический смысл.

8.Свойства скалярного произведения.

9.Формула для вычисления скалярного произведения векторов, заданных проекциями на координатные оси.

10.Применение скалярного произведения к решению геометрических и физических задач.

11.Векторное произведение. Определение, геометрический и физический смысл.

12.Свойства векторного произведения.

13.Формула для вычисления векторного произведения, если заданы проекции вектора на координатные оси.

14.Применение векторного произведения к решению задач геометрии

имеханики.

15.Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, проходящей через две точки, проходящей через данную точку в заданном направлении, в отрезках на осях, параллельных координатным осям.

16.Построение прямой по данному уравнению.

17.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному направлению. Общее уравнение плоскости.

18.Исследование общего уравнения плоскости. Примеры на построение плоскостей.

19.Канонические уравнения прямой в пространстве.

20.Параметрические уравнения прямой как уравнения движения.

21.Эллипс. Определение, уравнение, геометрический смысл букв, входящих в уравнение. Построение кривой по уравнению.

22.Окружность. Определение, уравнение, построение окружности по уравнению.

-3 -

23.Парабола. Определение. Уравнение парабол с осями, параллельными координатным осям.

24.Цилиндрические поверхности. Определение, уравнения, построе-

ние.

25.Сфера и эллипсоид. Уравнения и построение поверхностей.

26.Уравнение и построение параболоида.

Упражнения

1. Какой вектор называется единичным? Как выразить вектор a через его единичный вектор?

2. Какой вектор делит угол между данными векторами a и b пополам? 3. Как аналитически выразить условие коллинеарности и условие орто-

гональности векторов?

4. Можно ли построить треугольник из векторов a , b и ar - b ? Как это сделать?

5.Может ли точка находиться в состоянии равновесия под действием трех сил не расположенных в одной плоскости? Почему?

6. Какой физический смысл имеют выражения rr ґ F , wґ r ?

7.Могут ли одновременно скалярное и векторное произведения двух векторов обращаться в нуль?

8.Как изменится скалярное произведение векторов, если их длины увеличить в два раза и изменить направление каждого вектора на противоположное?

9.Как изменится векторное произведение, если длины векторов увеличить вдвое?

10.Как найти линию пересечения плоскости 3x - 2y + z = 6 с координатными плоскостями?

11.В чем состоит метод сечений построения поверхностей? Построит

поверхность x = y2 + z2 .

- 4 -

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. Решить системы уравнений

			м
	3x + 4y = 3,		п	- y + z =	10,
			пx
м			п
п			п
п					= 3,
а) н		5y = 2;	б) н2x + y - 2z
п7x -			п
п			п
о			пx	+ 3y - 2z	= 0.
			по

2.Вычислить длину вектора ar = 6i - 2j + 3k и углы, которые этот вектор образует с векторами i , j, k .

3.В точке A (6; - 8; - 3) приложены силы F1 = (1; 1; 3) и F2 (- 2; 2; 1).

Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки B (5; - 8; 5).

4.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку M (2; - 1). Построить прямую.

5.Прямая с направляющим вектором l = (2; - 1; - 3) пересекает в точке

(

)

плоскость, вектор нормали которой N =

(

3; -

4; 5

)

. На-

M - 2; - 5; 2

писать уравнение прямой и плоскости в пространстве.

6. Даны уравнения движения точки

(

)

y = 2 - 2t ,

M x; y; z

: x = 2 + 2t ,

z = 1 + t . Вычислить расстояние,

пройденное точкой M за промежуток

времени от t1

= 0 до t2 = 6 .

x2 + y2

7.

Построить

геометрические

образы

уравнений

= 25,

4y2 - 9x2

= 36 , y = 2x - 1 на плоскости и в пространстве.

8.

Построить

геометрические образы системы

неравенств

9x2 + y2 Ј 9,

yЈ 0 на плоскости и в пространстве.

9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости

1
0	1	2
	Рис. 1
	- 5 -

					Вариант 2
1. Решить системы уравнений
			м
	x +	3y = 7,	п	-	3y = 0,
			п2x
м			п
п			п
п				-	2z = 1,
а) н	3x -	5y = 4;	б) н5y
п			п
п			п
о			п7x +		9z = 12.
			оп

2.Вычислить длину вектора AB и углы, которые этот вектор образует с координатными осями, если A (2; - 1; 3), B (1; 0; - 1).

3.	Найти вектор линейной скорости v точки, вращающейся вокруг оси Oz						с
				r	r	- j .
	угловой скоростью w = 3k , если радиус-вектор точки r = 2i
4.	Написать			уравнение прямой, проходящей	через точки	A (0; - 1)	и
	B -	3; 1		. Построить прямую.
	(		)

5.Построить плоскость и составить её уравнение, если известны величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях: 3 на оси Ox , 2 на оси Oy и 2

	на оси Oz .
6.	Найти уравнение равномерного				прямолинейного		движения точки
	M (x; y; z )		)	из начального положения M0 (2; 0; 1)				со	скоростью
	vr =	(		.
		1; 2; 3
7.	Построить геометрические образы уравнений					y = x2	+ 2 , x2		+ y2	=	9,
	xy =	- 2 на плоскости и в пространстве.
8.	Построить		геометрические образы		системы	неравенств		x2 + 4y2		Ј	4,

yі x на плоскости и в пространстве.

9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости

у

1

−3 −2 −1 0 1

2

х

Рис. 2

- 6 -

						Вариант 3
1.	Решить системы уравнений
				м
		5x +	3y = 0,	п	+	y -	z = 1,
				п2x
	м			п
	п			п
	п				2y +		z = 3,
	а) н		5y = 4;	б) нx -
	п7x -			п
	п			п
	о			п3x -		y +	5z = 9.
2.				оп
	Найти работу по перемещению материальной точки из положения
	M1 (2; -		3; 1) в положение M2 (-				1; 0; 1)под действием равнодействую-
	щей двух сил F1 =			(1; 3; 5)и F2			= (0; 1; - 4).

3.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC ,

если A (2; 1; - 3), B (0; - 1; 2), C (- 2; 1; 3).

4.Составить уравнение плоскости, отсекающей от осей Ox и Oy отрезки величиной 2 и 3 соответственно и параллельной оси Oz .

5.Найти величину скорости движения точки, если даны уравнения её дви-

жения x = 2t - 1, y = 3t , z = - t + 1.

6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A (2; - 3) и обра-

7.	зующей с осью Ox угол 30o .			уравнений x2 - y2		y =	x ,
	Построить	геометрические	образы		= 1,
	x2 + 2x + y2 = 0 на плоскости и в пространстве.
8.	Построить	геометрические	образы	системы неравенств	4x2	+ y2 Ј	4,
	y Ј 1, y і	0 на плоскости и в пространстве.

9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости

у

2

1

−3 −2 −1 0 1

2

х

Рис. 3

- 7 -

						Вариант 4
1.	Решить системы уравнений
						м
		4x +	3y -	2 =	0,	п	z = 1,
						п5y -
	м					п
	п					п
	п						3y + 7z = 11,
	а) н		2y +	5 =	0;	б) нx +
	п7x -					п
	п					п
	о					п5x +	3z = 0.
2.						оп
	Найти высоту параллелепипеда, если его основание лежит на плоскости
	2x + 3y + z = 1, а диагональ совпадает с вектором ar =							(	3; 1; -	)
										2 .

3.Найти момент силы F = (2; 0; 1), приложенной к точке B (2; 1; - 3), от-

носительно точки A (0; - 2; 1).

4.Плоскость, параллельная оси Oy , отсекает от осей Ox и Oz отрезки, равные соответственно 2 и 3. Построить плоскость и написать её уравнение.

5.Найти путь, пройденный точкой за 5 сек, если даны уравнения движения

x = 5 + 2t , y = - 1 + 3t , z = 2t .

6.	(	3	)	и обра-
	Написать уравнение прямой, проходящей через точку A 2; -
	зующей с осью Oy угол 30o .
7.	Построить геометрические образы уравнений y = 9 - x2 ,	y =		3 -	x ,
	x2 - 2x + y2 - 3 = 0 на плоскости и в пространстве.
8.	Построить геометрические образы системы неравенств y Ј 9 -	x2 , y і			0
	на плоскости и в пространстве.

9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости

у

2

1

0 1

2 3

х

Рис. 4

- 8 -

						Вариант 5
1. Решить системы уравнений
				м
	2x +	7y =	11,	п5y - z = 7,
				п
м				п
п				п
п
а) н	3x -	5y =	6;	б) н2y - 5z = 3,
п				п
п				п
о				п	+	y + z =	0.
				пx
				о

2.Твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через начало координат с постоянной угловой скоростью wr = (1; - 1; 4). Найти линейную скорость

точки M (4; 1; - 1), принадлежащей телу.

3. Вычислить				)	площадь			параллелограмма построенного на векторах
ar	=	(	3;4; 0		и b =	(	0; -	)
								3; 1 .

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно плоскости 2x - y + z - 3 = 0.

5.Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку

M (2; - 3; 1).

6.Найти координаты точки, симметричной точке M (3; 4; 5) относительно

плоскости x - 2y + z - 6 = 0.

7. Построить геометрические образы уравнений y = 4x - x2 , y = 4x - 8,

x2 = 4y -	y2 на плоскости и в пространстве.
8. Построить	геометрические образы системы неравенств x2 Ј 4 - y ,

yі - x на плоскости и в пространстве.

9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости

		2
		1
−1	0	1	2	3
		Рис. 5

- 9 -

										Вариант 6
1.	Решить системы уравнений
								м
		8x -		3y = 1,				п
								пx + y - z = 0,
	м							п
	п							п
	п								-	5z = 3,
	а) н	4x	+	5y = 13;				б) н2y
	п							п
	п							п
	о							п7y +		3z = 10.
						(	r	оп	r
					r			)		= 2i - j + k , b = i + 3j - k ,
2.	Найти np				c		2a - 3b
								, если a
	cr =	8i	-		k .

3.Найти высоту пирамиды с вершиной в точке A (2; 1; - 1), в основании ко-

торой лежит треугольник с вершинами в точках B (1; - 1; 0), C (2; 1; 0) и

D (- 2; - 1; 0).

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; - 1; 0),

перпендикулярно прямой x -2 1 = y-+12 = z -1 1.

5.Найти уравнение движения точки в пространстве по прямой, образующей с координатными осями Ox и Oy углы 60o и 45o, если начало движения

совпадает с началом координат, а величина скорости | v |= 3 .

6.Составить уравнение прямой на плоскости, отсекающей от оси Oy отрезок, равный 2 и образующей с осью Ox угол 45o .

7.	Построить	геометрические		образы	уравнений	y2 - x2	=	4 ,
	x2 + y2 -	2x = 3, y + x2 =	4 на плоскости и в пространстве.
8.	Построить	геометрические	образы системы		неравенств	x2 + y2	Ј	25,
	x + y і -	1 на плоскости и в пространстве.

9.Описать системой неравенств заштрихованную на рисунке часть плоскости

2

1

−1 0 1 2 3

Рис. 6

- 10 -