семестров

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Индивидуальные задания

Новокузнецк 2011

УДК 517 (07) Д 503

Рецензент кафедра физики Сибирского государственного индустриального уни-

верситета (зав. кафедрой д.ф.-м.н., проф. Громов В.Е.)

Д 503 Дифференциальное исчисление функций: индивидуальные задания / Сост.: Калинина Л.М., Волошина М.С.: СибГИУ. – Новокузнецк, 2011. – 29 с.

Изложены индивидуальные задания по теме «Дифференциальное исчисление функций». Приведены 25 вариантов заданий, содержащие по 6 задач каждый, по всем разделам для самостоятельного решения.

Предназначены для студентов всех направлений и специально-

стей.

2

ВВЕДЕНИЕ

Индивидуальное задание по теме «Дифференциальное исчисление функций» содержит 6 заданий в каждом из 25-ти вариантов; в свою очередь, каждое задание состоит из одной или нескольких задач и упражнений. Все варианты составлены по одному плану и одинаковы по трудности.

Индивидуальное задание содержит типовые задачи по указанной теме и имеет целью проверить навыки работы с элементарными функциями, усвоение их свойств, построение графиков путем элементарных преобразований или посредством исследования с помощью производных. Задание должно выполняться самостоятельно каждым студентом.

Предложенные варианты индивидуальных заданий могут использоваться для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» студентами всех направлений и специальностей.

3

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =2x; y =sin	x	; y =	4−x2 ; y =log	x.
2			2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2			1
	x +2x +1, x p1,
	f (x) =	4−x,	1≤x pπ,	f (x) =			.
					x −2
	cos x,		x ≥π;

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim	x2 −2x +1	;	lim	x −1−3		;
				x −10
x→1	x2 −x		x→10

	1	x	lim	1−cos2x	;
lim 1−	x	;		2
x→∞			x→0	x
4. Найти производные функций.
y = 3 2+3ln2x;			u =t2 cos(3t −2);		y =

x =e2t ,

y =cos3t.

		lim	2x2 +3x−1;
		x→∞	x2 +2x
		limsin2x.
		x→π	x
	1+x	;	y =tg2x cos3x;
	1−x

5.Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Втреугольник с основанием 10 м и высотой 8 м вписан прямоугольник. При каких размерах он имеет наибольшую площадь?

6.Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =x −ln x; y =	3		−	1	.
	x			3
				x

4

Вариант 2

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

	π		y = 16−x2 ; y =log1	x.
y =2x −1; y =sin x−	6	;
			3

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	−x −12,			x p0,
x
							π			1
f (x) = 1,			0	≤x p				,	f (x) =			.
							2				2
					π					x −
			x	≥		;					3
tgx,					2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim	10x2 −5x +1	;	lim	1+x − 1−x	;	lim	x2 −6x+5	;
				x
x→∞ 2x2 +3x −2			x→0			x→1 (x−1)2

2

x

lim

sin2x

;

lim

tgx

.

lim 1−

x

;

tgx

x

x→∞

x→0

x→π

4. Найти производные функций.

4

1−sin2x

2 cosx

y =

ln(2x +1);

u =2tsin(3t +1);

y =

;

y =x e

;

1+cos2x

2

x =

2t

−1,

= 3 t.

y

5.Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Впрямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см вписан прямоугольник. При каких размерах площадь прямоугольника будет наибольшей?

6.Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =x +	ln x	;	y =	1	.
	x			2
				x −1

5

Вариант 3

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =2x2 +1; y =sin2x; y = 1−x2 ; y =log0,5 x.

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		−1,		x p0,		1
		−x
	f (x) =	e	,	0 ≤x p1,	f (x) =			.
						x −5
				x ≥1;
	2x +1,

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

7x2 +6

;

lim

2− x

;

4−x2

x −4

x→∞

2

x→4

2

2

)

1−cos 2x

x2

lim 1+x

;

lim

xsin x

;

x→0

(

x→0

4. Найти производные функций.

lim x2 +−2x−15; x→5 2x2 −7x−15

limxsin2x.

x→π

y = 3 ln6; u =	1 sin(4t −1);	y =sin3x	; y = x tg3x;
	4	x

x =2t +1,

y =cos2 t.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

При каких размерах прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, его площадь будет наибольшей?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =ln(4−x2 ); y =x+	4	.
	x

6

Вариант 4

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =−ex; y =sin2 x; y = 2−x2 ; y =log2 x.

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	x ≤1,
	1−x ,
			π			2
f (x) =	1−2x,	1px ≤	2	,	f (x) =		.
						x −1
	tgx,	x f	π	;
			2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim	5x3 +x			;	lim		2− x			;
	3x3 −6x						x −4
x→∞					x→4
		1	2x2				sin3x
lim 1+				;	lim				;
		2					tgx
x→∞		x			x→0

4. Найти производные функций.

	lim	2x2 +5x+2		;
		x+2
	x→−2

limsin2x.

x→π x

4

2

1

cos2x

−x2

x

y =

x

+3x;

u =4cos(

t −2);

y =

;

y =e

tg

;

2

1+sin x

3

x =ln2 t,

y =2+lnt.

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Из круглого бревна с диаметром сечения 30 см нужно выпилить брус с прямоугольным сечением. Найти размеры сечения бруса, чтобы площадь сечения была наибольшей.

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =x2ex; y =2−	1	.
	2
	x

7

Вариант 5

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

−x			x			2		x
y =2	;	y =sin			; y =	4−x ;	y =ln		.
			2					2

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

		2
		x +x −12, x p0,
					π				1
	f (x) =	1−2x,	0 ≤x ≤				,	f (x) =			.
					2				x +2
		cos x,	x f	π		;
				2

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

x −5

;

lim

x

;

lim

2x2 −11x−+5

;

+3x −1

x−5

x→∞ x2

x→0

2− x +4

x→5

1

3x

sin2x

tgx

lim 1+

;

lim

;

lim

.

x

2

−x

π −x

x→∞

x→0

x

x→π

4. Найти производные функций.

4

tg3x

x

x

−x

y =e

+

1+e ;

u =t sin2t;

y =

;

y =2

cos3x;

sin x

3

t

2

−1,

x =

= 3 t +1.

y

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции. Полотняный шатер объема 160 куб. м имеет форму прямого кру-

гового конуса. При каких значениях высоты и радиуса основания на покрытие шатра пойдет наименьшее количество полотна?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =1−x2x3 ; y =ln(x2 −1)2 .

8

Вариант 6

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

		1		x		4
	y =				+1; y =−sin2x; y =		;	y =log1	x.
		2				x
								3

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	2	x ≤0,
	x +2x,							1
				π
f (x) =	tgx, 0 px p			4		,	f (x) =−		.
								x +1
	2−x,	x ≥	π		;
			4

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

x −2

;

lim

x −4

;

lim

x−4

;

x2 +x−

20

x→∞ x2 −4

x→4

2x +1−3

x→4

2

x+1

xtgx

x

lim 1+

;

lim

;

lim

.

x

2

x

sin3x

x→∞

x→0

1−cos

x→π

4. Найти производные функций.

2

y =

3 cos

x

;

u =

2 cos(3t +1);

y =

x

;

y =(2x−1)2tg

x

;

ln x

2

3

2

x =acost,

=bsint.

y

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

От канала шириной 4 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять из одного канала в другой?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

y =	x	; y =5xe−x.
	3
	(1+x)

9

Вариант 7

1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.

y =x2 −6x +4; y =−cos2x; y = x; y =log1 (x+2).

3

2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.

	−x
		,	x p0,
	e								2
					π
f (x) =	1+x,		0 ≤x ≤				,	f (x) =			.
						4			x +3
				π
	tgx,		x f			;
				4

3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.

lim

7x4 +x2 −1

;

lim

x+1−2

;

x2 −9

x→∞

x5 −x3

x→3

1

x

1

x

lim 1+

x

;

lim 1−

x

;

x→1

x→∞

4. Найти производные функций.

ln(x +1)

y = 3 sin2x; u =

2

sin(3t −1);

y =

;

3

x

2

t,

x =cos

y =sint.

	lim	x2 −1		;
		3x2 −x−2
	x→1

lim	1−cos2 2x		.
x→0		xsin x
3		x

y =x cos 2;

5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.

Полоса жести шириной 10 см должна быть согнута в виде открытого желоба. Каким должен быть центральный угол а, чтобы вместимость желоба (т.е. площадь сечения в форме сегмента) была наибольшей?

6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.

	y = x ln x; y =	4x3 −x4	.
		8

10