Лекция №4

Выбор шага дискретизации с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Экстраполирующий многочлен Тейлора, описывающий исходную функцию x(t) , определяется выражением:

V (t) x(t0 )	x (t0 )(t t0 )			x (t0 )(t t0 )2	...	xn (t0 )(t t0 )n		,
1!		2!					n!
где x (t0 ), x (t0 ), xn (t0 )		соответственно первая, вторая и
nя производные непрерывной функции							x(t) в момент
времени t0 .

(t)

Погрешность экстраполяции

• Значение погрешности восстановления на интервале аппроксимации не должно превышать максимального значения остаточного члена разложения:

где

– максимальное значение модуля

(t)

x(t) V (t)

M

n 1

t ti 1

(n 1)

, t

ti 1

,ti ,

(n 1)

на интервале

производной функции

аппроксимации.

Mn 1

(n 1)

x(t)

Ступенчатая экстраполяция

•Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени (ступенчатая экстраполяция).

Значение воспроизводящей функции V (t) в любой момент времени t на каждом

iом интервале ti 1 t ti принимается

равным отсчету x(ti 1 ) :

V (t) = x(ti 1 )

Ступенчатая экстраполяция

x(t)

V (t) V (t)

x(t)

t

ti 1 ti ti 1

Рис. 4.1

Ступенчатая экстраполяция

• Значение остаточного члена достигает максимума в конце интервала при t ti :

(t) 0m M1 ti ti 1 M1 t.

Отсюда получаем условие, определяющее шаг дискретизации:

t 0m M1 .

Линейная экстраполяция

•Определим шаг равномерной дискретизации с помощью

многочлена Тейлора первой степени. При линейной экстраполяции для восстановления сигнала x(t) помимо отсчета x(t0 )используется значение первой производной функции в момент времени t0 . На каждом

iом	интервале времени	t	i 1	t t
				воспроизводящаяi
функция равна:

V(t) x(ti 1 ) x (ti 1 )(t ti 1)

ипредставляет собой отрезок прямой, касательный к функции x(t) в момент времени t ti 1 .

Линейная экстраполяция

x(t)

V (t)

V (t)

x(t)

Рис. 4.2

t

ti 1 ti ti 1

Линейная экстраполяция

•При линейной экстраполяции максимальное значение остаточного члена достигается в конце интервала при

t ti и равно:	(t) 1m	M	2		ti ti 1		2		M	2	t	2	.
		2							2

Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации: t 2 1m

M 2

•Сравнение линейной экстраполяции с линейной интерполяцией показывает, что для обеспечения допустимой погрешности при экстраполяции требуется вдвое большее число отсчетов по сравнению с интерполяционным методом.

Адаптивная дискретизация

•В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредственное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала. Наиболее широко на практике применяются алгоритмы дискретизации с адаптацией по длине интервала.

•Идея такой дискретизации состоит в следующем. На основе имеющегося дискретного отсчета (или отсчетов) на текущем интервале дискретизации определяются параметры восстанавливающей функции, формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Затем в любой текущий момент времени определяется разность между соответствующими значениями исходной и воспроизводящей функцией, т.е. погрешность восстановления на основе, например, критерия наибольшего отклонения. Если эта погрешность достигает предельно допустимого значения, наращивание интервала прекращается и производится отсчет.

•В качестве воспроизводящих функций при адаптивной дискретизации наиболее часто используют степенные алгебраические полиномы.

Адаптивная дискретизация

В зависимости от возможного изменения шага дискретизации различают две группы методов:

•дискретизация с некратными интервалами, при которой

шаг дискретизации ti непрерывно меняется в интервале ti min ti ti max ;

• дискретизация с кратными интервалами, при которойti i t – дискретная величина (i 1, 2,3,...) .

В реальных системах для восстановления непрерывной функции по дискретным отсчетам обычно применяют степенные полиномы нулевого и первого порядка. При этом используют принцип экстраполяции.