ИИТиАС - II_1 / Вещество во внешних энергетических полях (Воронов, Дорошенко)

Pms,

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов.

Знак минус указывает на то, что направления моментов противоположны. Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой орбиты, хотя для разных орбит значения V и r различны. Формула (2.5) выведена для круговой орбиты, но она справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза (1915 г.), которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей нити железного стержня при его намагничивании во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое оказалось равным -e/m и в два раза большим, чем выведенная величина q (2.5). Знак носителей, обуславливающих молекулярные токи, совпадал со знаком заряда электрона.

Для объяснения полученного результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а в последствии доказано опытами Штерна, Герлаха, Иоффе, что, кроме орбитальных моментов (2.1) и (2.3), электрон обладает собственным механическим моментом импульса Les, называемым спином. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона Les соответствует собственный (спиновый) магнитный момент пропорциональный Les и направленный в противоположную сторону:

41

Pms =q Les,

(2.6)

где q = -e/m называется гиромагнитным отношением спиновых моментов.

Из эксперимента найдено, что спиновый магнитный момент равен магнетону Бора и его проекция на направление вектора магнитной индукции B может принимать только одно из следующих двух значений:

Pms = ± eh/4πm = ± М Б ,	(2.7)
где h - постоянная Планка,
МБ - магнетон Бора, являющийся единицей магнитного	момента
электрона.

Особенностью спина является то, что в магнитном поле спин может быть ориентирован только двумя способами: либо параллельно В, либо антипараллельно.

При отсутствии поля в общем случае магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. Магнитный момент атома, следовательно, складывается из магнитных моментов, входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра (обусловлен магнитными моментами входящих в ядро протонов и нейтронов). Однако, магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому ими пренебрегают.

Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы) ра-

вен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных	и спино-
вых) входящих в атом (молекулу) электронов:
Рa = ∑Рm +∑Рms.	(2.8)

42

Рис.2.2. Силы, действующие на электроны в атомах во внешнем магнитном поле.

Этот результат необходим для дальнейшего объяснения намагничивания веществ.

2.2. Прецессия электронных орбит. Теорема Лармора.

Рассмотрим влияние магнитного поля на движение электронов в атомах вещества, а точнее, рассмотрим, какие процессы произойдут в орбите движения электрона при наложении внешнего магнитного поля.

Предположим для простоты, что электрон в атоме движется по круговой орбите, плоскость которой перпендикулярна к вектору магнитной индукции B. Если электрон движется по часовой стрелке (при наблюдении с конца вектора В), то Pm совпадает с B.

Если магнитное поле отсутствует, то на электрон действует кулоновская сила притяжения Fк его ядром, играющая роль центростре-

мительной силы, т.е.
Fk = ma = mω2 r	при В = 0,

где ω - угловая скорость вращения по орбите, m - масса электрона, r - радиус орбиты электрона.

При включении внешнего магнитного поля на электрон будет действовать сила Лоренца Fл (рис.2.2). Изменение силы, действующей на электрон, приводит к изменению угловой скорости вращения электрона по орбите.

Уравнение движения будет иметь вид: 43

man = Fк - Fл,

что скажется на изменении угловой скорости.

Учитывая Fл = eVB, sin α=1, уравнение движения запишем в форме: mr(ω + ∆ω) 2 = Fк - eVB, (2.9)

решаем это уравнение относительно ∆ω. Раскрывая скобки, получим:

mrω +2mrω∆ω + mr∆ω2 = Fк - eVB.

Учитывая, что Fк=mrω 2, V=ωr, и то, что слагаемым, содержа-

щим ∆ω2, можно пренебречь, находим:

∆ω = −	eVB	= −	eB	.	(2.10)
	2mrω
			2m

Вектор магнитной индукции B можно представить через на-

пряженность H магнитного поля как В = µ0Н, тогда

∆ω = −	eµ0 H
	2m .	(2.11)

Таким образом, если плоскость орбиты электрона перпендикулярна полю, а направление движения электрона таково, что магнитный момент совпадает с вектором B, действие внешнего магнитного поля сводится к замедлению вращательного движения электрона по орбите (об этом говорит знак минус). Если движение электрона по орбите будет противоположное, то сила Лоренца будет направлена к центру, что вызывает ускорение орбитального движения электрона.

Если плоскость орбиты электрона ориентирована произвольным образом по отношению к вектору магнитной индукции B или Н, то влияние внешнего поля оказывается более сложным, при этом вектор

44

Pm составляет угол α с вектором В или Н. В этом случае плоскость орбиты начинает прецессировать, т.е. орбита получает дополнительное движение, такое, что вектор магнитного момента Pm, сохраняя по-

стоянным угол α, вращается вокруг направления В(Н) с некоторой угловой скоростью, т.е. описывает поверхность конуса, ось которого совпадает с В (рис.2.3).

Угловая скорость этого прецессионного движения определяется формулой

	ωL = −	µ0 eH	,	(2.12)
		2m

где ωL -угловая скорость ларморовской прецессии.

Рис.2.3. Прецессия электронной орбиты в магнитном поле.

Теорема Лармора: единственным результатом влияния магнитного поля на электронную орбиту являет-

ся прецессия орбиты и вектора магнитного момента Pm с угловой скоростью Лармора ωL вокруг оси, проходящей через центр орбиты и параллельной вектору В.

Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, ко-

45

торое эквивалентно круговому току, т.е. появляется дополнительный ток ∆I, который можно представить, с учетом (2.12), в виде

	∆I =	e	=	eωL	=	eµ0 H		(2.13)
		νL		2π		4πm
	Этому току соответствует дополнительный магнитный момент ∆
	Pm, который можно выразить как
	∆Pm = ∆I S = e 2 µ0 S H / 4πm,							(2.14)

где S - площадь проекции орбиты электрона на плоскость перпендикулярную к направлению внешнего поля.

Наведенный внешним полем магнитный момент электрона ∆Pm

всегда направлен противоположно внешнему полю Н, в	векторной
форме можно записать
∆Pm = - e µ0 S H / (4πm)	(2.15)
Следовательно, он вызывает намагничивание среды в	направле-

нии, противоположном направлению внешнего поля. Этот эффект, присущий всем атомам, получил название диамагнитного эффекта. Если в атоме имеется Z электронов, то общий наведенный магнитный момент атома ∆Pm,a равен векторной сумме наведенных магнитных моментов всех электронов, т.е.

z

∆Pm,a = ∑ ∆Pmi

i = 1

Полный магнитный момент атома равен векторной сумме орбитального магнитного момента Pm, спинового магнитного момента Pms

46

и наведенного магнитного при помещении во внешнее магнитное по-

ле момента ∆Pm .

2.3. Магнитное поле в веществе. Вектор намагничивания

Макроскопически реакция любого вещества на помещение его во внешнее магнитное поле сходна с поляризацией диэлектриков, помещенных в электрическое поле. Для количественного описания намагничивания магнетиков вводят вектор намагничивания, определяе-

мый магнитным моментом единицы объема магнетика,
J = Pm,v / V = ∑ Pm,a / V,	(2.16)

где Pm,v = ∑ Pm,a - магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных атомов или молекул.

Рассматривая характеристики магнитного поля, мы вводим вектор магнитной индукции B, характеризующий результирующее магнитное поле, создаваемое макро- и микротоками, и вектор напряженности H, характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей : внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого веществом. Тогда вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля в маг-

нетике равен векторной	сумме магнитных индукций внешнего поля
B0 (поля, создаваемого	намагничивающим током в вакууме) и поля
микротоков B1 (поля, создаваемого молекулярными токами) :
В = В0 + В1 ,		(2.17)
где В0 = µ0 Н.

47

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l, внесенного в однородное внешнее магнитное поле с индукцией В0. Под действием этого поля стержень намагничивается. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору B0. Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис.2.4), некомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Рис. 2.4. Модель Ампера молекулярных токов в проводнике.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и создает внутри него поле, магнитную индукцию B1 которого можно вычислить для N=1 (соленоид из одного витка ) по формуле:

	µ	0	I1
B1 =				(2.18)
		l

48

где I1 - сила молекулярного тока ,

l - длина рассматриваемого цилиндра ,

µ= 1 - магнитная проницаемость .

Сдругой стороны, I1/l - ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, или его линейная плотность, поэтому магнитный момент этого тока равен

Pm,v = I1 S = ∑ Pm,a,

где V= S l - объем всего стержня. Вектор намагничивания равен

I = Pm,V = I1S = I1 I

Sl Sl l

Сопоставляя (2.18) и (2.19), получим , что

B1 = µ0 J ,

или в векторной форме

В1 = µ0 J.

Подставив выражения для B0 и B1 в (2.17) получим:

B = µ0 H + µ0 J	(2.20)
или
B / µ0 = H + J	(2.21)
Как показывает опыт, в несильных полях	намагниченность

прямопропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничивание, т.е.

J = χН

(2.22)

где χ - безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества, определяет склонность тела к намагничиванию. Эта

49

зависимость практически линейна. Используя формулу (2.22), выражение (2.20) можно записать в виде:

B = µ0 (1 +χ) H,

откуда

Н = В / [µ0 (1 +χ)] .

Безразмерная величина

µ = 1 + χ (2.24)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (2.24) в (2.23), получим соотношение

B = µ0 µ H,

которое ранее постулировалось.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора B) является обобщением закона

∫Bdl = ∫Bl dl = µ0 (∑J + ∑J1 ) ,

L L

где ∑ J и ∑ J1 − соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции не имеют источников и являются замкнутыми.

50