Числовые характеристики случайных величин Характеристики Медиана положения

Медианой случайной величины (Ме) называют такое её значение, для которого функция распределения равна 1/2. Это означает, что вероятность случайной величины х принять значение меньше медианы, в точности равно вероятности этой величины принять значение больше медианы.

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Медиана положения

Для непрерывной случайной величины это можно выразить следующим образом:

Me
f (x)dx f (x)dx
	Me

или графически на рисунке:

где площади под кривой плотности вероят- ности левее и правее значения х, равного Ме, соответственно S1 и S2 равны. 13

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Медиана положения

Для дискретной случайной величины в качестве Ме принимают такое значение xm-1 и

xm чтобы удовлетворялось условие:

m 1	n
p xi p xi
i 1	i m

Таким же образом, только через относитель- ные частоты определяется медиана для эмпирического ряда.

Т.о. для эмпирического ряда медиана – это
такой замер в упорядоченном ряду, который
как бы делит совокупность на две равные
части: одна часть имеет значения варьи-
рующего признака меньше, другая – больше,
чем средний замер.	14

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Медиана положения

Когда в упорядоченном ряду нет повторя-
ющихся значений, то медиана, при нечетном
количестве членов группы (n), равна среднему
члену:		Me xi
	i n 1
где
	2
Например,		заработная плата сотрудников
представлена		следующим упорядоченным

рядом (в рублях): 7800, 8000, 8100, 8500, 9000, 9600, 10500, 10800, 11000.

Срединное место занимает цифра 9000 – это и есть медиана.

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Медиана положения

При четном количестве членов упорядо- ченного ряда медиана равна полусумме средних членов:

x x

где i n2

M е i 2 i 1

Например, если в нашем примере добавить десятый член ряда 11500 (7800, 8000, 8100, 8500, 9000, 9600, 10500, 10800, 11000, 11500) то медиана будет равна:

9000 9600 9300

2

Числовые характеристики случайных величин Характеристики рассеивания

Для достаточно полной характеристики случайной величины недостаточно знать положение среднего значения, вокруг которого она группируется.

Необходимо ещё знать, как ложатся отдель- ные величины относительно этого центра, сильно разбросаны, или, напротив, тесно сгруппированы.

X

X

Числовые характеристики случайных величин Характеристики рассеивания

Для этого вводят характеристики рассеи- вания случайной величины:

дисперсию,стандартное отклонение,размах.

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Дисперсия рассеивания

Дисперсией теоретической случайной вели- чины называют математическое ожидание ква- драта отклонения её значений от её матема- тического ожидания.

Для дискретной случайной величины хi

дисперсия – это сумма произведений квадра- тов отклонений хi от её математического

ожидания Мх, умноженных на соответству- ющие вероятности:n

Dx (xi M х )2 p(xi )

i 1

Для непрерывной случайной величины:

Dх f (x)(x M х )2dx

	Числовые характеристики случайных величин
	Характеристики		Дисперсия
	рассеивания
	Для эмпирического распределения диспе-
рсию обозначают		обычно через				σ2	и
определяют её как среднюю величину прои-
зведений квадратов			отклонений случайной
величины от ее средней арифметической:
	2 1	n xi Х 2
	n
			i 1

Выражение для дисперсии зависит от числа данных в ряду – n, что доказывается в соответствующих разделах математической статистики и при небольшом числе n (n<30) запишется следующим образом:.

		1		n
	2			xi	Х 2
		n 1
				i 1

Числовые характеристики случайных величин Характеристики Дисперсия рассеивания

Для повторяющихся значений хi дисперсия запишется так:

при n > 30:

2 1	m
			Х 2 hi
	xi
n	i 1

при n < 30:

		1		m
	2			xi		Х 2 hi
		n 1
				i 1