Методические указания к задаче 1

Рассчитать переходный процесс в цепи, соответствующей индивидуальному варианту № 30 (базовые параметры элементов – вариант №7). Исходные данные варианта приведены в таблицах.

№ схемы	кR	кL	кC	Элементы электрической цепи в схеме рисунка 1	Источники энергии в схеме рисунка 1	Определить ток
30	1,50	1,20	1,00	R1, R2, L2, R3, C3	Е2

№ варианта	E2, B	R10, Ом	R20, Ом	L20, мГн	R30, Ом	C30, мкФ
7	50	12	11	400	25	150

Последовательность срабатывания ключей:

сначала размыкается ключ К₃₃ (К₃₃ = К₁),

затем замыкается ключ К₂₁ (К₂₁ = К₂) .

Схема электрической цепи, в которой происходят коммутации, приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Схема заданной электрической цепи

Параметры элементов схемы электрической цепи (рисунок 3):

R_к = 6 Ом;

R₁ = k_R × R₁₀ = 1,5  12 = 18,0 Ом;

R₂ = k_R × R₂₀ = 1,5  11 = 16,5 Ом;

R₃ = k_R × R₃₀ = 1,5  25 = 37,5 Ом;

L₂ = k_L × L₂₀ = 1,2  400 = 480 мГн = 0,48 Гн;

C₃ = k_C × C₃₀ = 1,0  150 = 150 мкФ = 150 10^6 Ф.

Решение

1. Расчёт первой коммутации

(ключ К₁ размыкается)

Указываем на схеме положительные направления токов ветвей.

1.1. Рассматриваем режим работы электрической цепи до коммутации и определяем независимые начальные условия (при t = 0).

До коммутации режим работы цепи установившийся, т.е. токи и напряжения постоянные. В этом режиме напряжение на индуктивности и ток в ветви с ёмкостью равны нулю – рисунок 4.

Рисунок 4 – Установившийся режим электрической цепи до

первой коммутации

По закону Ома для электрической цепи постоянного тока:

(А).

На основании законов коммутации независимые начальные условия для первой коммутации в электрической цепи запишутся:

.(1)

1.2. После первой коммутации (ключ К₁ разомкнулся) электрическая цепь принимает вид, показанный на рисунке 5 (ключ К₂ на схеме не указываем).

Рисунок 5 – Схема электрической цепи после первой коммутации

Режим работы электрической цепи после коммутации опишется уравнениями по законам Кирхгофа для мгновенных значений:

(2)

1.3. Для цепи после коммутации (рисунок 5) записываем характеристическое уравнение.

Для этого составляем входное операторное сопротивление цепи относительно любой ветви и приравниваем его к нулю. Для второй ветви входное операторное сопротивление цепи запишется:

В результате математических преобразований входное сопротивление принимает вид характеристического уравнения:

После подстановки числовых значений параметров элементов электрической цепи получаем характеристическое уравнение цепи:

;

или .

1.4. Находим корни характеристического уравнения электрической цепи после первой коммутации.

(3)

Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые, т.е. переходный процесс после первой коммутации будет периодическим (колебательным). Здесь:– коэффициент затухания,–частота затухающих колебаний.

1.5. Свободные составляющие искомого тока, тока в ветви с индуктивностью, напряжения на ёмкости запишутся:

1.6. Рассматриваем установившийся режим после первой коммутации и находим принуждённые (установившиеся) составляющие токов ветвей и напряжения ёмкости. Так как в этом режиме токи и напряжения постоянные, то напряжение на индуктивности и ток ветви с ёмкостью равны нулю (рисунок 6).

Рисунок 6 – Установившийся режим электрической цепи

после первой коммутации

(4)

1.7. Законы изменения переходных токов, напряжения на ёмкости после первой коммутации запишутся:

Для определения постоянных интегрирования записываем токи, напряжение на ёмкости и их первые производные для момента коммутации :

1.8. Находим зависимые начальные условия (граничные условия для момента первой коммутации t = 0).

Для нахождения зависимых начальных условий записываем уравнения для электрической цепи после коммутации (2) для момента времени t = 0:

С учётом известных независимых начальных условий (1) имеем систему трёх уравнения с тремя неизвестными. Решив полученную систему уравнений, находим для момента коммутации зависимые начальные условия :

(5)

Для нахождения начальных значений производных токов продифференцируем систему уравнений для цепи (2) и запишем полученные уравнения для момента времени t = 0:

Решив полученную систему уравнений с учётом известных независимых и найденных зависимых начальных условий (1, 5), находим начальные значения первых производных токов:

(6)

1.9. Определяем законы изменения искомого тока, тока в ветви с индуктивностью, напряжения на ёмкости.

1) Искомый ток ветви.

Для определения постоянных интегрирования для искомого тока ветви имеем систему уравнений (с учётом найденных начальных значений тока и его первой производной):

Решение полученной системы уравнений:

Закон изменения искомого тока после первой коммутации:

.(7)

2) Ток в ветви с индуктивностью.

Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений:

Решение полученной системы уравнений:

Закон изменения тока в ветви с индуктивностью после первой коммутации:

.(8)

3) Закон изменения напряжения на ёмкости после первой коммутации.

Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (с учётом найденных начальных значений):

Решение полученной системы уравнений:

Закон изменения напряжения на ёмкости после первой коммутации:

.(9)