3. Закон изменения искомого тока после первой и второй коммутаций.

(17)

4. График изменения искомого тока во времени.

Рисунок 9 – Закон изменения тока

Методические указания к задаче 2

Рассчитать операторным методом переходный процесс в цепи индивидуального варианта № 30 (базовые параметры элементов электрической цепи – вариант №7).

Исходные данные варианта:

№ схемы	КR	КL	КC	Элементы электрической цепи в схеме рисунка 2	Источник энергии в схеме рисунка 2	Определить ток
30	1,50	1,20	1,00	R11, R12, R21, R32, C1, L2	j(t)	i3(t)

№ варианта	Jm, A	fj, град.	R10, Ом	R20, Ом	R30, Ом	RК, Ом	C10, мкФ	L20, мГн
7	6	150	12	11	25	6	60	400

Замыкается ключ К₁₂ = К.

Схема электрической цепи, в которой происходит коммутация, показана на рисунке 10.

Рисунок 10 – Схема электрической цепи

Параметры элементов схемы электрической цепи (рисунок 10):

C₁ = k_C × C₁₀ = 1,0  60 = 60 мкФ = 60 10^6 Ф;

L₂ = k_L × L₂₀ = 1,2  400 = 480 мГн = 0,48 Гн;

R₁ = k_R × R₁₀ = 1,5  12 = 18,0 Ом;

R₂ = k_R × R₂₀ = 1,5  11 = 16,5 Ом;

R₃ = k_R × R₃₀ = 1,5  25 = 37,5 Ом; R₁₁ = R₁ = 18,0 Ом ; R₁₂ = 2,0  R₁ = 36,0 Ом;

R₂₁ = R₂ = 22,5 Ом ; R₃₂ = 3,0  R₃ = 112,5 Ом;

R_К = 6,0 Ом .

Решение

Указываем на схеме электрической цепи положительные направления токов ветвей.

1. Рассматриваем установившийся режим электрической цепи до коммутации и находим независимые начальные условия – внутренние источники энергии в эквивалентной операторной схеме.

В установившемся режиме электрической цепи до коммутации токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону. Расчёт режима цепи до коммутации выполняем комплексным методом. Расчётная схема в комплексной форме для установившегося режима электрической цепи до коммутации (ключ К разомкнут) приведена на рисунке 11.

Рисунок 11 – Расчётная схема установившегося режима

электрической цепи до коммутации

Угловая частота синусоидального источника энергии:

Реактивные сопротивления индуктивности и ёмкости токам частоты источника энергии:

Комплексное действующее значение тока источника тока:

Комплексные сопротивления ветвей электрической цепи:

По методу двух узлов комплексное действующее значение напряжения между узлами схемы определится:

По закону Ома в комплексной форме имеем:

Законы изменения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в установившемся режиме до коммутации запишутся:

Независимые начальные условия для расчёта переходного процесса (законы коммутации) для электрической цепи (рисунок 10) запишутся:

(18)

2. Эквивалентная операторная схема замещения электрической цепи после коммутации (ключ К замкнулся).

На операторной схеме замещения электрической цепи после коммутации указываем изображения токов ветвей, тока источника тока, операторные сопротивления элементов электрической цепи, внутренние источники энергии:

Рисунок 12 – Эквивалентная операторная схема замещения

3. По операторной схеме замещения (рисунок 12) находим изображение искомого тока I₃(p).

Для упрощения дальнейших преобразований на операторной схеме замещения цепи (рисунок 12) обозначим (рисунок 13):

Рисунок 13 – Операторная схема замещения цепи

Изображение искомого тока по операторной схеме замещения можно найти методом контурных токов (в случае наличия в схеме источника ЭДС) или методом узловых потенциалов (в случае наличия в схеме источника тока).

При составлении уравнений для изображений по методу контурных токов целесообразно выбирать контуры таким образом, чтобы искомое изображение тока входило только в один контур.

Для полученной схемы замещения найдём выражение для изображения тока с помощью метода двух узлов в операторной форме:

Изображение искомого тока определится на основании закона Ома в операторной форме:

После подстановки изображения тока источника тока, преобразования полученного выражения, получим изображение искомого тока в виде правильной несократимой дроби:

После преобразований и подстановки числовых значений параметров элементов электрической цепи, имеем:

(20)

(21)

4. По найденному изображению тока с помощью формулы разложения находим оригинал – закон изменения тока во времени:

(22)

Корни полинома знаменателя изображения определятся:

Таким образом, для изображения тока имеем одну пару сопряжённых мнимых корней (определяющих установившуюся составляющую тока), и другую пару сопряжённых комплексных корней (определяющих свободную составляющую тока):

(23)

Для случая сопряжённых мнимых и комплексных корней формула разложения (22) упрощается (мнимые части выражений оригинала уничтожаются, а действительные – суммируются):

(24)

Определяем значения выражения числителя в формуле разложения для изображения тока (20, 21) для найденных корней (23):

Значения выражения производной знаменателя (20, 22) в формуле разложения (24) для найденных корней (23) определятся:

После подстановки найденных значений в формулу разложения тока (24), получаем закон изменения тока ветви во времени:

5. Закон изменения тока ветви во времени запишется:

(25)

6. Проверку найденного операторным методом закона изменения тока ветви выполним с помощью классического метода расчёта переходных процессов в электрической цепи.

Исходя из полученного закона изменения тока ветви (25), принуждённая и свободная составляющие тока ветви запишутся:

Классическим методом принуждённая составляющая тока ветви определится из рассмотрения установившегося режима электрической цепи после коммутации. Расчёт этого режима выполняется комплексным методом аналогично расчёту установившегося режима электрической цепи до коммутации:

Закон изменения тока в ветви в установившемся режиме после коммутации (принуждённое значение тока) запишется:

Корни характеристического уравнения электрической цепи после коммутации определятся приравниванием к нулю входного операторного сопротивления цепи:

Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые, т.е. переходный процесс после коммутации будет периодическим (колебательным). Коэффициент затухания процесса ,частота затухающих колебаний.

Свободная составляющая искомого тока запишется:

Постоянные интегрирования определятся решением системы уравнений:

Зависимые начальные условия определятся из системы уравнений для цепи после коммутации (рисунок 10), записанных по законам Кирхгофа для момента времени :

С учётом известных независимых начальных условий (18) имеем систему трёх уравнения с тремя неизвестными. Решив полученную систему уравнений, находим для момента коммутации зависимые начальные условия :

Для нахождения начальных значений первых производных токов имеем систему уравнений:

Для определения постоянных интегрирования для искомого тока ветви имеем систему уравнений:

Решение полученной системы уравнений:

Закон изменения искомого тока, найденный классическим методом расчёта:

Полученный закон изменения тока совпал с операторным методом – расчёты, выполненные двумя методами, верны.

7. Закон изменения тока ветви во времени после коммутации приведён на рисунке 13. Время переходного процесса определится практическим временем затухания свободной составляющей тока:

Рисунок 13 – Закон изменения тока