Задача 2

РАСЧЁТ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА С несколькимиИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ

Содержание задачи

На рисунке 2 приведена общая схема линейной электрической цепи, в которой действуют несколько источников синусоидальных ЭДС e_k(t) = E_mk×Sin(2pf·t +fe_k)и один источник синусоидального токаj(t) = J_m×Sin(2pf·t +f_j ). Частота изменения электродвижущих сил источников ЭДС и тока источника тока f = 50 Гц.

Рисунок 2 – Общая схема электрической цепи синусоидального

тока с несколькими источниками энергии

Базовые значения параметров пассивных элементов цепи для схемы рисунка 2 и вариантов задачи 2 (одинаковые для всех студентов группы) приведены в таблице 1. Параметры источников энергии, имеющихся в схеме электрической цепи рисунка 2, приведены в таблице 3. Номер варианта задания для группы выбирается по указанию преподавателя (номера вариантов для обеих задач одинаковы). Номер индивидуального варианта цепи соответствует номеру фамилии студента в групповом журнале.

В соответствии с таблицей 2 индивидуального варианта цепи устанавливаются отсутствующие в общей схеме рисунка 2 пассивные элементы и источники энергии. Также устанавливаются значения переводных коэффициентов индивидуального варианта задачи для параметров пассивных элементов, имеющихся в схеме электрической цепи.

Требуется:

1. По указанному варианту задания для группы из таблицы 1 выписать значения базовых параметров элементов электрической цепи. По данным таблицы 2 необходимо определить, какие элементы из имеющихся в схеме рисунка 2 отсутствуют в индивидуальном варианте схемы электрической цепи. Нарисовать схему электрической цепи, исключив отсутствующие в индивидуальном варианте элементы. Реальные параметры элементов цепи определяются с помощью указанных в таблице 2 значений переводных коэффициентов по приведённым выше формулам (задача 1).

2. Определить комплексные действующие значения токов во всех ветвях цепи, используя метод узловых напряжений (потенциалов) или метод контурных токов.

3. Cоставить для цепи баланс активных и реактивных мощностей источников электрической энергии и приёмников.

4. Найти комплексное действующее значение тока в заданной ветви (в соответствии с крайним правым столбцом таблицы 2), используя метод эквивалентного генератора. Расчёт методом эквивалентного генератора должен сопровождаться вычерчиванием всех необходимых схем для нахождения и. Сравнить полученное значение тока ветви со значением, найденным в пункте 2. Определить комплексное сопротивление заданной ветви, при котором ток в ветви будет иметь наибольшее значение. Найти значение тока в ветви при этом сопротивлении.

Таблица 3 – Параметры источников энергии электрической

цепи рисунка 2

Вариант	1	2	3	4	5	6	7
Em1, B	70,7	77,8	89,1	99,0	106,1	141,4	169,7
fe1, град.	0	30	45	60	90	– 60	– 30
Em2, B	106,1	198	70,7	212,1	141,4	169,7	89,1
fe2, град.	120	– 60	30	– 90	60	0	90
Em3, B	89,1	99,0	106,1	141,4	169,7	198,0	212,1
fe3, град.	– 90	0	– 45	90	120	60	0
Em4, B	198	106,1	141,4	106,1	70,7	169,7	99
fe4, град.	30	45	60	120	– 60	– 45	– 90
Jm, А
fj, град.	– 60	45	120	45	30	– 30	– 90

Методические указания к решению задачи 1.

Расчёт электрических цепей синусоидального тока выполняется комплексным (символическим) методом. Задача 1 (рисунок 1) содержит один источник электрической энергии. Расчёт таких цепей выполняется методом преобразования цепи (методом нахождения эквивалентного комплексного сопротивления электрической цепи).

Комплексные сопротивления индуктивности и ёмкости синусоидальному току заданной частоты определяются по формулам:

;

.

Комплексные сопротивление ветвей цепи (рисунок 1) с последовательным соединением элементов определятся:

Комплексное действующее значение напряжения на входе цепи по заданному закону изменения напряжения во времени определится:

После преобразований электрическая цепь для расчёта комплексных действующих значений токов принимает вид, изображённый на рисунке 3.

Рисунок 3 – Схема электрической цепи после преобразований

Ветви электрической цепи с токами и(рисунок 3) соединены параллельно. Для параллельных ветвей электрической цепи эквивалентное комплексное сопротивление определится по формуле:

.

В результате преобразования параллельных ветвей схема электрической цепи принимает вид, изображённый на рисунке 4.

Рисунок 4 – Эквивалентная схема электрической цепи

Эквивалентное комплексное сопротивление электрической цепи определится как сумма комплексных сопротивлений всех последовательно соединённых приёмников (рисунок 4):

.

Комплексное действующее значение тока на неразветвлённом участке цепи (ток в источнике энергии) определится на основании закона Ома в комплексной форме:

.

Комплексное действующее значение напряжения на участке с параллельным соединением ветвей электрической цепи определится:

.

Токи в параллельных ветвях электрической цепи определятся:

;

.

Все токи ветвей электрической цепи связаны соотношением (на основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме):

, или.

Проверка правильности выполненного расчёта может быть сделана на основании составления баланса мощностей – равенства комплексных, активных и реактивных мощностей источника электрической энергии и приёмников:

;;.

Комплексная мощность, отдаваемая источником энергии в электрическую цепь:

Здесь – сопряжённый комплекс тока в источнике.

Активная и реактивная мощности приёмников энергии:

;

По найденным комплексным действующим значениям токов ветвей их законы изменения во времени (мгновенные значения) запишутся:

;

;

.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся во времени величины одной частоты для момента времени . Топографической диаграммой называют такую векторную диаграмму комплексных потенциалов (напряжений), когда каждой точке схемы соответствует определённая точка на векторной диаграмме. Топографическую диаграмму для электрической схемы строят, откладывая на комплексной плоскости векторы комплексных напряжений последовательно для всех элементов цепи, получая комплексные потенциалы всех точек схемы.

Алгоритм построения векторных диаграмм

1. Задаются комплексной плоскостью.

2. Выбирают масштаб тока m_iи в этом масштабе на комплексной плоскости из начала координат откладывают найденные комплексные действующие значения токов ветвей (построение векторов на комплексной плоскости удобно выполнять по их проекциям на координатные оси).

3. Определяют комплексные действующие значения напряжений на всех элементах электрической цепи.

4. Обозначают все точки ветвей схемы (буквами или цифрами). Одну из точек схемы принимают за точку нулевого потенциала (эта точка помещается в начало координат комплексной плоскости). Определяют комплексные действующие значения потенциалов всех остальных точек схемы по отношению к точке с нулевым потенциалом.

5. Выбирают масштаб напряжений (потенциалов) m_u и в этом масштабе последовательно на комплексной плоскости строят комплексные потенциалы всех точек схемы.

Примечание: При построении топографической диаграммы целесообразно выбирать последовательность построения такой, чтобы обход пассивных элементов схемы осуществлялся против направления тока в них. В этом случае потенциалы следующих точек возрастают на величину падения напряжения на соответствующем элементе и на диаграмме вектора напряжений суммируются (в противном случае потенциалы уменьшаются и вектора напряжений необходимо вычитать).