Пример 1

Исходные данные группового варианта (по данным таблицы 1) приведены в таблице 5, а исходные данные индивидуального варианта задания (по данным таблицы 2) приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Переводные коэффициенты варианта задачи

№ цепи	кR	кL	кС	Отсутствуют элементы в схеме рисунка 1 и рисунка 2	Отсутствуют источники в схеме рисунка 2	Определить ток в схеме рисунка 2
0	0,90	1,00	1,40	L3, L4, C4	e2, e4	i4

Таблица 5 – Базовые параметры элементов варианта задачи

Um, B	f, град	R10, Ом	R20, Ом	R30, Ом	R40, Ом	L10, мГн	L20, мГн	C10, мкФ	C20, мкФ	C30, мкФ
212,13	– 30	30	40	50	10	35	89,13	90,95	162,4	41,34

Для рассматриваемого варианта схема заданной электрической цепи показана на рисунке 5.

Рисунок 5 – Расчётная схема электрической цепи

Активные и реактивные сопротивления элементов электрической цепи токам заданной частоты f= 50 Гц с учётом значений переводных

коэффициентов параметров элементов определятся:

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

Комплексные сопротивления ветвей электрической цепи (рисунок 3):

Ом;Ом;

Ом;

Ом.

Эквивалентное комплексное сопротивление участка электрической цепи с параллельным соединением ветвей (рисунок 4) определится:

Эквивалентное комплексное сопротивление всей электрической цепи:

Ом.

Комплексное действующее значение напряжения на входе цепи:

В.

Комплексные действующие значения токов ветвей цепи:

А.

B.

А;

А.

Проверка найденных значений токов по первому закону Кирхгофа:

.

Баланс мощностей источника и приёмников:

;;.

Комплексная мощность, отдаваемая источником энергии в цепь:

ВА.

Таким образом, активная и реактивная мощности, отдаваемые источником электрической энергии в цепь:

Вт;ВАр.

Активная мощность приёмников энергии:

Реактивная мощность приёмников энергии:

Относительные погрешности выполненного расчёта:

;

.

Расчёт режима электрической цепи выполнен верно, баланс мощностей соблюдается с требуемой точностью.

По найденным комплексным действующим значениям токов ветвей их законы изменения во времени запишутся:

А;

А;

А.

Для построения топографической векторной диаграммы находим напряжения на всех элементах цепи:

За точку нулевого потенциала принимаем точку наименьшего потенциала схемы – точку “ а ”, таким образом:

.

Тогда комплексные потенциалы остальных точек схемы определятся: В;В;

В;

В;В;В;

;

В.

По найденным напряжениям на элементах цепи и комплексным потенциалам точек схемы строится для электрической цепи в масштабе топографическая векторная диаграмма напряжений.

Векторная диаграмма токов и топографическая векторная диаграмма напряжений для заданной цепи (рисунок 5) показана на рисунке 6.

Рисунок 6 – Векторная диаграмма токов и топографическая

векторная диаграмма напряжений

Методические указания к решению задачи 2.

Исходная цепь синусоидального тока (рисунок 2) содержит несколько источников энергии (один из них – источник тока). Цепь имеет три узла (у = 3) и пять ветвей (в = 5), причём одна из ветвей электрической цепи содержит источник тока (в _{и т}= 1).

Метод узловых напряжений (потенциалов) основан на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома. По методу узловых напряжений составляются уравнения для узловых напряжений, при условии, что один из узлов цепи принимается за опорный. (По методу узловых потенциалов опорный узел заземляется, его потенциал принимается равным нулю, а уравнения составляются для относительных потенциалов остальных узлов). Число уравнений, которые должны быть составлены для цепи по методу узловых напряжений (потенциалов) на единицу меньше числа узлов (у – 1 = 2).

В общем виде по методу узловых напряжений уравнение для k-того узла электрической цепи запишется:

,

где ,…,– напряжения узлов электрической цепи по отношению к узлу, выбранному за опорный (индекс “ о ”);

– собственная узловая проводимость узла “ к ” , равная арифметической сумме комплексных проводимостей ветвей, присоединённых к этому узлу;

– общая узловая проводимость узлов “к” и “”, равная арифметической сумме комплексных проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы;

– алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов источников тока ветвей, подходящих к узлу “ к ” ;

– алгебраическая сумма произведений комплексных действующих значений ЭДС источников ветвей, сходящихся в узле “ к ”, на комплексную проводимость этих ветвей.

Примечание: Если положительные направления ЭДС или токов источников тока направлены к узлу, то в правой части уравнения составляющие для них записывают со знаком “ плюс ” (в противном случае – со знаком “ минус ”).

Решая полученную систему уравнения, определяют узловые напряжения относительно опорного. После определения узловых напряжений для ( у – 1) узлов электрической цепи по закону Ома найдутся токи ветвей цепи.

Для ветви, расположенной между узлами “ k ” и “ ”, комплексное действующее значение тока определится:

.

В уравнении по закону Ома: – комплексное напряжение между началом и концом ветви;– комплексное действующее значение ЭДС источника – записывается со знаком “ плюс ” при совпадении положительного направление ЭДС в ветви с положительным направлением тока в ветви;– комплексное сопротивление ветви.

Заданная цепь (рисунок 2, рисунок 7) имеет три узла, следовательно, по методу узловых напряжений для цепи необходимо составить два уравнения для узловых напряжений (у – 1 = 2). Если в качестве опорного принять узел 3 схемы, то система уравнений для цепи по методу узловых напряжений для узловых напряжений запишется:

Собственные узловые проводимости для узлов цепи (два одинаковых индекса):

;

.

Общие узловые проводимости цепи (два различных индекса):

.

Решение полученной системы уравнений определит значения узловых напряжений цепи: и.

Токи в ветвях цепи определятся на основании закона Ома:

;

;

;

.

В общем виде уравнение по методу контурных токов для k-того контура электрической цепи запишется:

,

где N– число независимых контуров электрической цепи, определяемое соотношением:;

,– контурные токи независимых контуров цепи;– собственное сопротивление контура “ к ” с контурным током, равное арифметической сумме комплексных сопротивлений ветвей, входящих в рассматриваемый контур;

– общее сопротивление смежных контуров с контурными токамии, равное арифметической сумме комплексных сопротивлений ветвей, расположенных между соответствующими контурами (эти сопротивления положительны, если направления контурных токов смежных контуров в них совпадают, и отрицательны – если не совпадают);

– контурная ЭДС, равная алгебраической сумме комплексных действующих значений ЭДС источников, входящих в контур (ЭДС положительны, если их направления совпадают с направлением собственного контурного тока).

Примечание: 1. Обход контура выбирается совпадающим с направлением собственного контурного тока.

2. Если электрическая цепь содержит источники тока, то ветви с источником тока включают в дополнительный контур с известным контурным током, уравнение для которого не составляется.

На основании метода контурных токов для заданной электрической цепи (рисунок 2, рисунок 7) необходимо составить два уравнения для неизвестных двух контурных токови. Ветвь с источником тока включается в дополнительный контур, контурный ток которого известен и равен току источника тока:.

Задаёмся независимыми контурами, указываем в них произвольно направления их контурных токов (рисунок 7).

Составляем уравнения для контуров электрической цепи по методу контурных токов:

Рисунок 7 – Расчётная схема цепи с несколькими источниками энергии

Собственные сопротивления контуров (два одинаковых индекса):

Общие сопротивления смежных контуров (два различных индекса):

Контурные ЭДС:

Для определения контурных токов в электрической цепи (рисунок 7) имеем систему уравнений (с учётом того, что ):

Решение системы уравнений относительно контурных токов можно найти с помощью программы компьютерной математики MathCAD:

По найденным контурным токам определятся токи в ветвях электрической цепи:

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном генераторе (теореме об активном двухполюснике): активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах активного двухполюсника , а внутреннее сопротивление которого равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника, полученного из исходного активного двухполюсника исключением источников энергии при сохранении их внутренних сопротивлений.

Таким образом, сложную разветвлённую цепь по отношению к ветви с сопротивлением и токомможно рассматривать как эквивалентный генератор (ЭГ) (рисунок 8).

Рисунок 8 – Теорема об эквивалентном генераторе

Ток в рассматриваемой ветви на основании метода эквивалентного генератора определится по формуле:

,

где – напряжение холостого хода на зажимах двухполюсника при отключенном сопротивлении ветви с искомым током, взятое по направлению совпадающим с направлением тока ветви;– входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов, к которым подключено сопротивлениев ветви с искомым током (при этом источники энергии исключаются: источники ЭДС закорачиваются при сохранении в схеме их внутренних сопротивлений, а ветви с источниками тока разрываются).