[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБ ЕГО И ПРОФЕССИОНАЛ НОГО ОБРАЗОВАНИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
-
САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНН Й УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛ ТЕТ
БУСЛОВ В. А. , КОВЛЕВ С. Л.
ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕНН Й АНАЛИЗ
К ф р ычислит льной фи ики
САНКТ ПЕТЕРБУРГ
1999
2
Î ë ë íè
|
0.1 |
Îò òîðî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
1 |
В ни . Простр нст с м трикой |
7 |
||
2 |
Аппроксим ции функций |
13 |
||
|
2.1 |
Инт рполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
|
|
|
2.1.1 |
З ч инт pполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
|
|
2.1.2 |
Ч ыш ски сист мы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
|
|
2.1.3 |
Инт pполяция мно очл н ми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
|
|
2.1.4 |
По p шность инт pполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
|
2.1.5 |
Îö íê NN+1(x): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
|
2.1.6 |
Схо имость инт pполяции. Пpим pы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
|
2.1.7 |
Ñïë éíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
|
2.2 |
Аппроксим ции П . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
|
|
|
2.2.1 "Í è íûé"ïî õî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
|
|
|
2.2.2 |
Д т рмин нтно Пр ст л ни полиномо П . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
|
|
2.2.3 Аппроксим ции П скон чно у л нной точк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
|
3 |
×èñë ííî èôô p íöèpî íè |
33 |
||
|
3.1 |
Дифф р нциро ни инт рполяционно о полином . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
|
|
3.2 |
Кон чны p ности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
|
|
|
3.2.1 Îï ð òîð è î î ù íí ÿ ñò ï íü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
|
|
|
3.2.2 Инт pполяционный мно очл н Ньютон ля p ноотстоящих у ло . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
|
4 |
×èñë ííî èíò pèpî íè |
39 |
||
|
4.1 |
Í î ÿùè ñîî ð íèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
|
|
4.2 |
К p туpны фоpмулы Ньютон -Кот с . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
|
|
|
4.2.1 |
Случ й p ноотстоящих у ло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
|
|
4.2.2 Оц нк по p шности к p туpных фоpмул Ньютон -Кот с . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
|
|
4.3 |
Фоpмулы Г усс -Кpистоф ля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
|
|
|
4.3.1 |
Пр лы л р ич ской ст п ни точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
|
|
4.3.2 |
Оpто он льны полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
|
4.3.3 |
С ойст орто он льных полиномо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
|
|
4.3.4 |
Пpим pы оpто он льных полиномо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
|
|
4.3.5 |
По p шность к p туpных фоpмул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
|
4.4 |
Ïpèì pû ê p òópíûõ ôîpìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
|
3
|
4.4.1 |
Число у ло L = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
|
4.4.2 |
Число у ло L = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
|
4.4.3 |
Число у ло L = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
4.5 |
Ñîñò íû ê p òópíû ôîpìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
|
|
4.5.1 |
Схо имость к p туpных фоpмул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
4.6 |
Дру и формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
|
|
4.6.1 Ñïë éí-ê p òóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
|
|
4.6.2 |
Фоpмулы Филон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
|
4.6.3 |
Сост ны фоpмулы Филон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53 |
5 Ñèñò ìû óp í íèé |
55 |
||
5.1 Р ш ни н лин йных уp н ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1.1 О ном рный случ й . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1.2 М то Ньютон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.3 М то с кущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.4 Мно ом рный случ й . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Р ш ни лин йных сист м . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.1 О усло л нность лин йных сист м, по р шность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.2 М то Г усс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.3 L-R р ло ни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.4 М то пpо онки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2.5 М то З й ля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.6 Схо имость м то З й ля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Àë ð è÷ ñêè ñï êòð ëüíû ÷è |
69 |
||
6.1 |
Н которы с ния и м тричной т ории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
|
6.2 |
Cо ст нны числ эрмито ых м триц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
70 |
|
|
6.2.1 |
Инт рполяционный м то . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
70 |
|
6.2.2 Í õî íè ì êñèì ëüíî î ïî ìî óëþ ñî ñò ííî î í ÷ íèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
70 |
|
|
6.2.3 |
Î p òíû èò p öèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
6.3 |
Н эрмито ы м трицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
|
|
6.3.1 |
Дополнит льны с ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
6.3.2М то ит p ций ля м ксим льно о по мо улю со ст нно о числ кp тности 2 случ оp -
|
|
íî îé íîì ëèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
7 Поиск минимум |
77 |
||
7.1 |
Ñëó÷ é î íîé ï ð ì ííîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
77 |
|
|
7.1.1 |
М то олото о с ч ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
77 |
|
7.1.2 |
Ì òî ï p îë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
7.2 |
Функции мно их п р м нных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
|
|
7.2.1 |
Коор ин тный спуск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
|
7.2.2 |
Н искор йший спуск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
80 |
|
7.2.3 |
М то сопря нных н пр л ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
80 |
4
8 Äèôô p íöè ëüíû óp í íèÿ |
83 |
||
8.1 |
Î ùè ñ íèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
|
|
8.1.1 |
Ç ÷ Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
|
8.1.2 |
Êð ÿ ÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
84 |
|
8.1.3 |
Ç ÷ òóðì -Ëèó èëëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
8.1.4 Что поним тся по числ нным р ш ни м . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
8.2 |
Ç ÷ Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
|
8.2.1 |
Получ ни я ных сх м . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
|
8.2.2 Ñõ ì éë p (ì òî ëîì íûõ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
|
|
8.2.3 |
Ì òî û Ðóí -Êóòò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
|
8.2.4 |
Ì òî û À ìñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
8.3 |
Êð ÿ ÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
89 |
|
|
8.3.1 |
Ì òî ñòð ëü û . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
89 |
|
8.3.2 М то с ток (р ностный м то ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
90 |
|
|
8.3.3 |
Схо имость с точных м то о . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
|
8.3.4 |
Ì òî Íóì pî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
8.4 |
Ç ÷ òópì -Ëèó èëëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
|
|
8.4.1 |
Ì òî ñòp ëü û . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
|
8.4.2 |
Ì òî ñ òîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
8.5 |
Р ностный оп p тоp торой прои о ной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
|
|
8.5.1 |
Оп р тор торой прои о ной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
|
8.5.2 |
Р ностный оп р тор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
94 |
|
8.5.3 Ð îëü íò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
|
|
8.5.4 |
Ò îpèÿ î ìóù íèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
96 |
5
0.1Îò òîðî
Пр л мо и ни я ля тся п р ой ч стью уч ник ля сту нто ст ст ннон учных ф культ то и пр ст - ля т со ой и ло ни о ных л кций по числ нным м то м, чит шихся н протя нии ря л т тор ми п р ом с м стр II курс фы ич ско о ф культ т СП ГУ. С этим с я но о р нич ни м т ри л ош ш о уч ник, поскольку ко торому курсу сту нты щ н о л ют ост точной м т м тич ской по ото кой, н о хо имой ля р ли ции мно их числ нных м то о . В ч стности, н ос щ ны опросы числ нно о р ш ния ифф р нци льных ур н ний ч стных прои о ных, н корр ктных ч и ря ру их, относящихся ко торой ч сти курс по числ н- ным м то м, пр по мо о н IV курс фи ич ско о ф культ т , и ото ящимся к пу лик ции к ч ст торой ч сти н стоящ о посо ия. Т м н м н н которы опросы о но о курс числ нных м то о тр уют пр рит льных н ний, ыхо ящих р мки о ' м м т м тич ских с ний, получ мых сту нт ми н I-м и II-м курс , поэтому торы сочли к к н о хо имым т к и о мо ным, ключить соот тст ующих м ст х о ы с ния и функцион льно о н ли и м т м тич ской фи ики, что ы с л ть и ло ни м т ри л р умных пр л х н исимым от приорных н ний чит т ля.
В кни принят нум р ция формул по л м. При нн я и лио р фия ч стично пр ст ля т со ой источник спр очно о м т ри л , но, осно ном, р ссчит н н льн йш и уч ни числ нных м то о .
А торы р ы о мо ности ыр ить с ою л о рность н ш му колл С. .Сл яно у, прочит ш му рукопись и с л ш му ря ц нных м ч ний, и при н т льны Т.В.Фроло ой помощь н ор т кст .
6
Ãë 1
В ни . Простр нст с м трикой
В числ нных м то х м т м тич ск я ч р ш тся к к пр ило при ли нно. Получ мо при ли ни том или ином смысл ол но ыть " ли ко р споло нным"к истинному р ш нию, поэтому понятию ли ости н о хо имо при ть ч ткий м т м тич ский смысл, что ы им ть крит рий ср н ния и о мо ность ут р ть, что т ко -то при ли ни сть "хорош "при ли ни , т ко -то н т. Вс о ' кты, которы и уч ются числ нных м то х, прин л т н которым простр нст м (р личным простр нст м функций, кторным простр нст м) с р личными с ойст ми. О щим ля с х этих простр нст я ля тся поняти р сстояния, которо и я ля тся м рой ли ости эл м нто . Поэтому ст ст нно н ч ть и уч ни числ нных м то о с н и ол о щ о простр нст , ля лю ой п ры эл м нто которо о, опр л но р сстояни . Т ко ым я ля тся м трич ско простр нст о.
Опр л ни . Пусть M н которо мно ст о и ин рн я функция н ы м я м трикой, : M M ! R+ = [0; 1), т к я что ля лю ых эл м нто мно ст M ыполн но
1) (x; y) = 0 , x = y; 2) (x; y) = (y; x);
3) (x; z) (x; y) + (y; z) н р нст о тр у ольник , то п р (M; ) н ы тся м трич ским простр нст ом.
З м тим, что сли н о ном и том мно ст M опр лить ру ую ин рную функцию с ук нными с ойст-ми, то мы у м им ть, соот тст нно, и ру о м трич ско простр нст о.
Структур м трич ско о простр нст по оля т о орить о схо имости посл о т льност й эл м нто нно о простр нст . Им нно, посл о т льность xi í û òñÿ ñõî ÿù éñÿ (ïî ì òðèê ) ê ýë ì íòó x ñëè
lim (xi; x) = 0 : i!1
Н пр ктик , им я ло с посл о т льностями при ли ний xi к точному р ш нию x пост л нной чи, про-рять ыполн ни это о усло ия ч стую н пр ст ля тся о мо ным, поскольку с мо это р ш ни , к к пр ило, н и стно, и сть лишь о мо ность ср ни ть при ли ния xi м у со ой, то сть ыяснять я ля тся ли нн я посл о т льность фун м нт льной (посл о т льностью Коши). Н помним, что посл о т льность xi н ы тся фун м нт льной, сли 8 > 0 9N 8i; k > N (xi; xk) < . М трич ско простр нст о, котором лю я фун м н- т льн я посл о т льность им т пр л, прин л щий этому простр нст у, н ы тся полным. К к и стно, лю о н полно м трич ско простр нст о (M; ) мо но пополнить [5] инст нным о р ом с сохр н ни м р сстояния,сли поним ть по эл м нт ми пополн ния (M ; ) кл ссы эк и л нтных ру ру у фун м нт льных посл о - т льност й (посл о т льности fxng è fyng н ы ются эк и л нтными, сли (xn; yn) ! 0 ïðè n ! 1), ê ÷ ñò
но ой м трики принять сл ующую: (x ; y ) = lim (xk; yk), ýë ì íòû xk, yk я ляются k-ми эл м нт ми и k!1
прои ольных пр ст ит л й fxng è fyng кл ссо эк и л нтных посл о т льност й, от ч ющих эл м нт м x и
7
y соот тст нно. При этом эл м нты простр нст (M; ) сю у плотны (M ; ).
Простым прим ром н полно о м трич ско о простр нст слу ит отр ок (0; 1] c м трикой (x; y) = jx yj. то простр нст о н полно , т к к к посл о т льность 1=n, оч и но, я ля тся фун м нт льной, но пр лом я ля тся 0, и он н прин л ит отр ку (0,1]. Пополн ни м слу ит мкнутый отр ок [0,1].
Ест ст нно, что полнот простр нст , я ля тся сущ ст нным о стоят льст ом ля числ нных м то о , поскольку посл о т льность при ли ний, прин л щих о ному кл ссу о ъ кто , мо т им ть пр л этому кл ссу н прин л щий и, сл о т льно, н о л ть тр у мыми с ойст ми.
К к пр ило числ нных м то х ч поиск р ш ния x м то ом посл о т льных при ли ний мо т ыть
сформулиро н и чи о н хо нии н по и ной точки н которо о с им ющ о ото р ния |
A : |
Ax = x : |
(1) |
Н помним, что точк x н ы тся н по и ной точкой ото р ния A нно о м трич ском простр нст , слиыполн но (1). С мо ото р ни A н ы тся с им ющим или с ти м, сли сущ ст у т т ко число 0 < < 1 , что ля лю ых эл м нто x; y м трич ско о простр нст
(Ax; Ay) (x; y) : |
(2) |
З м тим, что сяко с им ющ ото р ни н пр ры но, поскольку сли xn ! x, òî è (2) ñë ó ò, ÷òî Axn ! Ax. В ным с ойст ом с им ющ о ото р ния я ля тся сущ ст о ни н по и ной точки. Им нно, спр ли Т ор м (принцип с им ющих ото р ний). Всяко с им ющ ото р ни , опр л нно полном м три-
ч ском простр нст им т о ну и только о ну н по и ную точку.
Док т льст о. Пусть x0 прои ольн я точк м трич ско о простр нст . Опр лим посл о т льность xn =
Axn 1. Пок м, что он фун м нт льн я. Бу м счит ть ля опр л нности, что m n, то
(xn; xm) = (Anx0; Amx0) n (x0; xm n)
nf (x0; x1) + (x1; x2) + : : : + (xm n 1; xm n)g
= n (x0; x1)f1 + + 2 + : : : + m n 1g = n (x0; x1) 1 m n
1
n (x0; x1) 1 1 ! 0 :
n!1
Т ким о р ом посл о т льность xn фун м нт льн я и, сл о т льно, силу полноты простр нст им т пр л. О о н чим о ч р x. У имся, что x я ля тся н по и ной точкой. Д йст ит льно, и н пр ры ности ото р ния
A
Ax = A lim xn = lim Axn = lim xn+1 = x : n!1 n!1 n!1
Ост лось у осто риться, что н по и н я точк я ля тся инст нной. Пусть
Ax = x ; Ay = y ;
òî è (2)
(x; y) = (Ax; Ay) (x; y) ;
отку (x; y) = 0, что силу опр л ния м трич ско о простр нст о н ч т, что x = y.
8
В льн йш м мы у м н о нокр тно поль о ться принципом с им ющих ото р ний.
Опр лим т к поняти поря к схо имости. Пусть посл о т льность xn ñõî èòñÿ: lim xn = x è n!1
d = lim |
ln (xn+1; x) |
: |
(3) |
n!1 |
ln (xn; x) |
|
|
Если сущ ст у т кон чный пр л (3), то он и н ы тся поря ком схо имости. Выр ни (3) мо но пис ть иру ой форм . Им нно:
lim |
(xn+1; x) |
= C ; |
(4) |
n!1 |
d(xn; x) |
|
|
C н котор я отличн я от 0 и н р н я скон чности конст нт . И это о ыр ния и но, что ч м ыш поря ок схо имости d, т м ыстр посл о т льность xn ñõî èòñÿ ê ïð ëó.
М трич ско простр нст о я ля тся слишком о щим поняти м. К к пр ило, о ' кты, с которыми прихо ится им тьло, о л ют с ойст ми н только м трич ско о простр нст , но и ря ом ополнит льных с ойст . Н помним пр рит льно н которы опр л ния и стр ктной л ры [10].
Опр л ни . Кл сс G о ' кто (эл м нто ) a, b, c, : : : н ы тся руппой, сли опр л н ин рн я оп р ция, котор я к ой п р эл м нто a, b ст ит соот тст и н который о ' кт (р ульт т оп р ции) a b т к, что:
1)a b я ля тся эл м нтом кл сс ( мкнутость относит льно оп р ции );
2)a (b c) = (a b) c ( ссоци ти ность);
3)G со р ит (л ую) иницу e т кую, что ля лю о о a и G, e a = a;
4)ëÿ ëþ î î ýë ì íò a 2 G G ñóù ñò ó ò (ë ûé) î ð òíûé ýë ì íò a 1 ò êîé, ÷òî a 1 a = e.
Оп р цию , опр ляющую руппу, н ы ют ( стр ктным) умно ни м и ч сто опуск ют при писи: ab = a b. Групп коммут ти н или л , сли лю ы эл м нты п р ст но очны. Опр ляющую оп р цию коммут - ти ной рупп ч сто н ы ют ( стр ктным) сло ни м, о о н ч я +, иничный эл м нт н ы ют нуль и о о н ч ют 0. О р тный эл м нт к a писы ют к к a; при этом пишут a + ( b) = a b.
Н тру но у иться, что к я рупп им т инст нную л ую и пр ую иницы, и эти иницы р ны, р но к к к ый эл м нт им т инст нный л ый и пр ый о р тны и эти эл м нты р ны. Отсю сл уют коны сокр щ ния (ab = ac ) b = c; ca = cb ) b = c) è ñóù ñò î íè èíñò ííî î ð ø íèÿ x óð í íèÿ ax = b (èëè xa = b), ò. . î íî í ÷íî îïð ë íî " ë íè ".
Опр л ни . Кл сс R о ' кто (эл м нто ) a, b, c, : : : н ы тся кольцом, сли опр л ны у ин рны оп р ции, о ычно н ы мы сло ни м и умно ни м, т ки , что:
1)R ñòü ë ðóïï ïî ñëî íèþ;
2)ab 2 R ( мкнутость по отнош нию к умно нию);
3)a(bc) = (ab)c ( ссоци ти ность умно ния);
4)a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc ( истри ути ны коны).
Ç ì òèì, ÷òî a 0 = 0 a = 0. Ä ýë ì íò a =6 0 è b =6 0, ля которых ab = 0, н ы ются соот тст ннол ым и пр ым лит лями нуля. Н прим р, н пр ры ны функции н кон чном инт р л о р уют коммут ти но кольцо, со р щ лит ли нуля. В кольц лит л й нуля и ab = 0 сл у т, что ли о a = 0 ли о b = 0 и йст уют коны сокр щ ния. Если кольцо R со р ит и л ую и пр ую иницы, то они инст нны и со п ют, a R н ы тся кольцом с иниц й. Ан ло ично, сли эл м нт о л т и л ым и пр ым о р тным, то они т к инст нны и со п ют.
Опр л ни . Т ло B кольцо с иниц й, котором ля к о о н нул о о эл м нт сущ ст у т мультиплик - ти ный о р тный (т. . B n f0g ðóïï ïî óìíî íèþ).
Коммут ти но т ло н ы тся пол м.
9
Опр л ни . Н пусто мно ст о L н ы тся лин йным или кторным простр нст ом н пол м F, сли оно у о л т оря т сл ующим усло иям:
1.L рупп по ( кторному) сло нию;
2.Äëÿ ëþ î î ýë ì íò ïîëÿ F è ëþ î î x 2 L îïð ë í ýë ì íò x 2 L, ïðè÷ ì
) ( x) = ( )x ( ссоци ти ный кон ля умно ния н ск ляр);) 1 x = x;
) ( + )x = x + x, (x + y) = x + y ( истри ути ны коны).
Если к ч ст поля F ыступ т пол йст ит льных чис л R или пол компл ксных чис л C, то р лич ют, соот тст нно, йст ит льны ( щ ст нны ) и компл ксны лин йны простр нст .
Всякую функцию f нную н лин йном простр нст L со н ч ниями пол F (f : L ! F) мы у м н ы ть функцион лом. Функцион л f н ы тся лин йным, сли ля лю ых x; y 2 L è ; 2 F ыполн но:
1)f(x + y) = f(x) + f(y) ( ити ность);
2)f( x) = f(x) (о норо ность).
Функцион л f н ы тся н пр ры ным точк x, сли ля лю ой посл о т льности xn è xn ! x ñë ó ò, ÷òî f(xn) ! f(x). Н тру но у иться, что сли лин йный функцион л н пр ры н о ной точк x, то он н пр ры н ио с м L. Д йст ит льно, пусть yn ! y, òî x + yn y ! x и и н пр ры ности функцион л точк x сл у т, что f(x + yn y) ! f(x), отку по лин йности функцион л ключ м, что f(yn) ! f(y). О ычно н пр ры ность лин йно о функцион л про ряют нул ( то сть, сли ля лю ой посл о т льности xn ! 0 ) f(xn) ! 0, то лин йный функцион л н пр ры н).
Опр л ни . Функцион л f, нный н лин йном простр нст L со н ч ниями R+ = [0; 1), í û òñÿ
нормой, сли
1)f(x) = 0 , x = 0;
2)f( x) = j jf(x);
3)f(x + y) f(x) + f(y).
Лин йно простр нст о, н котором н н котор я норм , н ы тся нормиро нным простр нст ом. Норму эл м нт x принято о о н ч ть kxk.
Всяк я норм поро т L и м трику
(x; y) = jjx yjj ;
то сть пр р щ т нормиро нно простр нст о м трич ско . О р тно н рно. Нормиро нно простр нст о, полно по м трик поро нной нормой, н ы тся н хо ым простр нст ом.
Прим ры нормиро нных простр нст
1. |
Прим ром нормиро нно о простр нст мо т слу ить простр нст о функций L[pa;b] ; 1 |
|
p < |
1 |
: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
def |
|
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
f 2 L[a;b] , jjfjjp = Za |
jf(t)j |
|
|
1 |
: |
|
|
|
(5) |
||||||
2. |
Простр нст о н пр ры ных функций C[a;b] с нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
jj |
f |
jj |
= max |
f(t) |
j |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
a t b j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Простр нст о н пр ры ных функций полно по м трик , поро нной этой нормой.
Ещ ол со р т льным о ' ктом я ляются кли о ы простр нст простр нст со ск лярным прои - ни м. В йст ит льном лин йном простр нст L ск лярно прои ни опр ля тся к к ин рн я функция н L ( льн йш м о о н ч м я h ; i) со н ч ниями R, у о л т оряющ я сл ующим усло иям:
10