2. Теорема о неподвижной точке

Теорема 7.2.1. Пусть U – главная вычислимая универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента, h(x) – произвольная всюду определенная вычислимая функция одного аргумента. Тогда существует такое число n, U_n=U_h(n), то есть n и h(n) – номера одной функции.

Приведенная теорема называется теоремой Клини о неподвижной точке или теоремой о рекурсии.

Классическим следствием теоремы о рекурсии выступает утверждение о том, что существует программа, печатающая на любом входе свой собственный текст. Это следствие формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 7.2.2. Пусть U(n, x) – главная вычислимая универсальная функция для класса всех вычислимых функций одного аргумента. Тогда существует такое число p, что U(p, x)=p для любого x.

Теорема 7.2.3. Если W – главное универсальное перечислимое множество, то всякая вычислимая всюду определенная функция h имеет неподвижную точку n, для которой W_n=W_h(n).

Определение 7.2.1. Два множества U₁ и U₂ вычислимо изоморфны, если существует биекция (вычислимая перестановка) f: NN такая, что (x, y)U₁(f(x), f(y))U₂.

Теорема 7.2.4. Любые два главных универсальных множества для класса перечислимых подмножеств натурального ряда вычислимо изоморфны.

Лекция № 8. Тезисы теории алгоритмов

Понятие алгоритма используется в математике давно, но до начала 1920 гг. оно встречалось примерно в таком контексте – для решения такой-то задачи необходимо совершить такие-то действия, чтобы получить искомый результат. В двадцатые годы прошлого столетия математики столкнулись с дачами, для которых они, как ни старались, не могли найти алгоритмы их решения. В математическом сообществе появилась идея, что таких алгоритмов вовсе не существует. Но тут же возникла другая проблема – отсутствие чего следует доказывать. Определение понятия «алгоритм», пригодное для решения многих разнообразных математических задач, в то время отсутствовало. В середине 30-х годов XX века и позднее были предприняты попытки формализации понятия алгоритма – определения универсальной формы записи информации и ограниченного, четко определенного набора элементарных действий по ее переработке, необходимых и достаточных для реализации любого содержательно описанного алгоритма.

Обобщенным результатов этих поисков можно считать следующее утверждение, имеющее естественно-научный характер:

«Тезис формализации. Любой содержательно описанный алгоритм может быть формализован в рамках используемых в теории алгоритмов строгих математических определений понятия алгоритма» [].

Подчеркнем, этот тезис, равно как и другие, которые будут перечислены ниже, не является теоремой, поскольку, с одной стороны, имеются строго определенные математические объекты, а с другой – интуитивные представления о том, что есть алгоритм.

Это обстоятельство становится особенно ясным, если определить понятие интуитивно вычислимой функции примерно следующим образом:

«функция f(x) – интуитивно вычислима, если для вычисления ее значений существует алгоритм».

В этом контексте Тезис Черча-Клини о том, что класс интуитивно вычислимых функций» совпадает с классом «частично рекурсивных функций», есть ни что иное, как предположение о том, что:

– если мы хоть как-то можем вычислить некоторую функцию f(x), то она либо базисная, либо может быть построена из базисных функций конечным числом применения операторов суперпозиции функций, примитивной рекурсии и -оператора (т.е. путем конечного применения ограниченного набора операций);

– если функция f(x) – не является частично-рекурсивной (а такие функции существуют), то она не является интуитивно вычислимой, а потому ее вычисление является алгоритмически неразрешимой проблемой.

Этот тезис называют основной гипотезой теории алгоритмов. В ее пользу приводят множество доводов, важнейшим из которых выступает то обстоятельство среди множества интуитивно вычислимых функций, накопившихся за годы развития математики, не нашлось ни одной, о которой можно было бы сказать, что она не принадлежит к классу частично рекурсивных функций.

Существуют и другие тезисы теории алгоритмов. Вот некоторые из них.

Тезис Тьюринга. Любой вербальный алгоритм в алфавите M может быть реализован некоторой машиной Тьюринга, работающей над алфавитом M.

Тезис Маркова – принцип нормализации. Любой вербальный алгоритм в алфавите M может быть реализован некоторым нормальным алгорифмом над алфавитом M.

О том, что эти два тезиса справедливы (или не справедливы) одновременно, гласит следующая теорема.

Теорема 8.1. Для любой машины Тьюринга (Т) в алфавите М существует нормальный алгорифм (N) над алфавитом М такой, что для всех М^*, N()=Т(). Для любого нормального алгорифма (N) в алфавите М существует машина Тьюринга (Т) над алфавитом М такая, что для всех М^*, Т()=N().

Еще один тезис теории алгоритмов звучит так.

Тезис Черча-Тьюринга. Всякая интуитивно вычислимая функция является вычислимой по Тьюрингу.

Соответственно, справедлива следующая теорема.

Теорема 8.2. Функция f(x₁, …, x_n) частично рекурсивна тогда и только тогда, когда она вычислима по Тьюрингу.

Иными словами, рассмотренные подходы к формализации понятия алгоритм (в терминах рекурсивных функций, машины Тьюринга, алгорифмов Маркова), согласно приведенным теоремам, в принципе эквивалентны.

Более того, следует сказать, что в рамках теории алгоритмов были разработаны различные способы уточнения понятия «вычислимость» с использованием аппарата:

1) -определимых функций (А.Черч, С.К.Клини, 1933–1936 гг.);

2) общерекурсивных функций (Ж.Эрбан, К.Гедель, С.К.Клини, 1934–1936 гг.);

3) -рекурсивных и частично рекурсивных функций (К.Гедель, С.К.Клини, 1934–1936 гг.);

4) машин Тьюринга (А.Тьюринг, 1936 г.);

5) машины Поста (Э.Пост, 1943 г.);

6) нормальных алгорифмов Маркова (А.А.Марков, 1950);

7) МНР-вычислимых функций (Дж.Шепердсон, Х.Стерджис, 1963).

Однако, несмотря на значительные различия в подходах при описании вычислимости, каждое из перечисленных уточнений понятия «вычислимость» приводит к одному и тому же классу вычислимых функций. Заметим, что этот результат рассматривается в теории алгоритмов как серьезное подтверждение справедливости тезисов этой теории. С прагматической точки зрения данный результат означает ровно одно. Если функция не вычислима в соответствии с каким-то из указанных подходов, то она не может быть вычислена в рамках иной другой из указанных формализаций.

Помимо этого, приведенные формализации понятия «алгоритм» позволяют говорить о существовании алгоритмически неразрешимых проблем.