Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Модуль 2_4 Формулы пр

			1				x1	y1		1
S							x	y		1
			2
5.							2		2	1
							x3	y3
1				x2 x1						y2 y1
				x3 x1						y3 y1
2

6.Ax+By+C=0

7.A(x-x0)+B(y-y0)=0

8. x x0 y y0

lm

x x0 lt,

9.y y0 mt, t ( , )

10.y y1 x x1

y2 y1

x2 x1

y kx b,

11.

ktg

xy

12.a b 1,

a0, b 0

13.xcos ysin p 0

14.Ax By C 0

A2 B2

- площадь треугольника с вершинами

(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).

-общее уравнение прямой;

-уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) перпендикулярно нормальному вектору {A,B};

-каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору {l,m};

-параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0,y0)

параллельно вектору l,m ;

-уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2);

-уравнение прямой с угловым

	коэффициентом k, где 0,					,	-
		2			2

угол наклона прямой к оси ox;

-уравнение прямой в отрезках, где (а,0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy;

-нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до

прямой, -угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат;

- нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С;

162

15.d Ax0	By0 C
	A2 B2

- расстояние от точки (x0,y0) до прямой

Ax+By+C=0;

B1

C1

B2

C2

x

,

A1

B1

0

16.

A2

B2

C1

A1

C2

A2

y

0

A1

B1

A2

B2

b b

x0

2

1

,

17.

k1 k2

y

b2k1 b1k2

0

k1 k2

18.

A1B2

A2 B1 0,

k1

k2

19.	A1 A2	B1B2 0,
	k1k2	1

tg A1B2 A2 B1 , A1 A2 B1B2

20.tg k1 k2 , 1 k1k2

k1k2 1,

, если k1k2 1. 2

- координаты точек пересечения двух прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0;

-координаты точек пересечения прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2;

-условия параллельности прямых,

заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0

и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ;

- условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде

A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ;

- угол между двумя прямыми, заданными в общем виде

A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ;

	21.	- уравнение пучка прямых через точку		М,
	A1x+B1y+C1+
		если	A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0	-

+ (A2x+B2y+C2)=0		уравнения двух прямых, пересекающихся
		в точке М.
	Кривые второго порядка
Эллипс
	163

Эллипс - геометрическое место точек M x,y ,

для которых сумма расстояний до двух заданных

точек			F1 c,0				и			F2 c,0 (называемых
фокусами эллипса) постоянна и равна 2a.
	FM		F M		2a и		FF			2c, a c, c2 a2	b2 ,
	1		2				1	2

		x2		y2	1	- каноническое уравнение эллипса.
		a2		b2

Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F1(с,0), F2(-с,0) - фокусы эллипса; 2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле

c a2 b2 ; АВ=2а и

CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси

эллипса; e c , (e 1)- эксцентриситет эллипса, который вычисляется по a

b2

формуле e 1 a2 .

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси. Прямые d1 и d2 , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра

на расстояниях d a , называются директрисами e

эллипса, соответствующими фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы

	постоянно и равно эксцентриситету		r1		r2	e.
			d1		d2
	x acost,	- параметрические уравнения эллипса, где t-параметр, t [0,2 );
	y bsint

(t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox);

164

b2

		a	-		уравнение эллипса в полярных			координатах, связанных с
		1 ecos
	фокусом,			e		a2 b2	- эксцентриситет эллипса,	если координатные оси
						a

совпадают с осями эллипса.

165

Окружность

Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр).

x2 y2 R2 - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат;

(x x0)2 (y y0)2 R2 - с центром в точке

(x0,y0);

x x0 Rcost,

y y0 Rsint

- параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x0,y0);

R - уравнение окружности в полярных координатах;

2 2	cos( ) 2		R2	-	уравнение
0	0	0

окружности с центром в точке ( 0, 0);

2Rcos

Гипербола

Гипербола - геометрическое место точек M x,y , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1 c,0 и F2 c,0 (называемых фокусами гиперболы)

постоянна и равна 2a..

F1M F2M 2a и F1F2 2c , a c, c2 a2 b2 .

	x2		y2	1	- каноническое уравнение гиперболы.
	a2		b2
					166

r1 r2 e. d1 d2

167

Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки

F1(+с,0) и	F2(-с,0) - фокусы гиперболы; 2с	-	фокусное
расстояние,	которое вычисляется по формуле	c				;
				b2 a2

AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось

гиперболы;

b

e

c

1

b2

- эксцентриситет

c2 a2 ;

,

e 1

a2

a

гиперболы.

Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.

	b
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид	y			x	.
	a

Угол между асимптотами зависит от значения

	эксцентриситета			гиперболы			e	c	1,	он	определяется из
					b			a
	уравнения tg					. При	a b			гипербола называется
	2				a
	равнобочной, ее				асимптоты		взаимно				перпендикулярны,

уравнение гиперболы имеет вид x2 y2 a2 . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет

	вид xy	a2
			, то есть равнобочная гипербола является графиком
		2
	обратной пропорциональности.
	Прямые			d1 и d2 ,	перпендикулярные действительной оси
	гиперболы и отстоящие от ее центра на
	расстояниях			d		a	,	называются
	директрисами					e		гиперболы,
	соответствующими				фокусам F1				и F2.
	Отношение			расстояния				любой	точки

гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно

эксцентриситету

x acht,

y bsht, t ( , )

Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях a и b

определяются уравнениями

x2

y2

1

и

x2

y2

1

.

a2

b2

a2

b2

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.

- параметрические уравнения одной ветви гиперболы;

b2

- уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах,

a

связанных с фокусом, e

a

2

b

2

- эксцентриситет гиперболы.

1 ecos

a

Парабола

Парабола - геометрическое место точек M x,y , равноудалённых от заданной

точки F(p/2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).

							p
FM		MK	.	MK				x,
							2

168

y2 2px - каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,

точка О - вершина; OX - ось параболы; точка F(р/2,0) - фокус; x p -

2

уравнение директрисы; e 1- эксцентриситет; p - фокальный параметр

(расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).

	(y y )2					2p(x x )				- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке
			0						0
	(x0,y0);
			p				-	уравнение параболы			в полярных координатах, связанных с
	1 cos
	фокусом;
	x t,
							- параметрические уравнения параболы.
					2pt
	y
	Уравнения прямых
								-	уравнения двух пересекающихся
	a2x2 c2y2						0,
	y		a		x			прямых;
			c
								-	уравнения двух		параллельных
	y2 a2 0,
	y a							прямых;
								- уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.
	y2 0

Преобразования координат

Для приведения кривой Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:

x

sin ,

x x ,

x x

cos y

0

и

y y y0

y x sin y cos ,

,

Ŕ Ń,

где

Ax By

D 0,

4

0

0

и

1

2B

Bx0 Cy0 E 0,

arctg

Ŕ Ń.

,

2

A C

169

(x x )2				(y y				)2		R2					- уравнение окружности с центром
		0					0								в точке O1(x0,y0) и радиусом R;
	(x x )2					(y y			)2			1		- уравнения эллипса и гиперболы с
			0				0
	a2
							b2								центром симметрии в точке
O1(x0,y0);
	y y				b		(x x )					- уравнения асимптот гиперболы;
					a
		0						0
(y y )2				2p(x x )									- уравнение параболы с вершиной в точке O			(x	,y	).
			0							0			1			0	0

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0

линии второго порядка другим уравнением

A1x2 2B1xy C1y2 2D1x 2E1y F1 0.

При этом выражения I		A	C A C и I			A1	B1		A	B
	1	1	1	2		B	C		B	C
						1	1

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1)Эллиптический тип, если I2 AC B2 0.

Кнему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

	x	2			y	2
								1
	a		2		b		2

		2	2
и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке	x			y	0	.
		2		2
a				b

2)Гиперболический тип, если I2 AC B2 0.

Кнему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся

x2 y2

a2 b2 0 .

3)Параболический тип, если I2 AC B2 0.

Кнему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

170

Линии в полярной системе координат

Полярные координаты

OM , 0 , 0 2 .

Связь полярных координат с декартовыми

M(x,y) и M( , ):

	x cos ,		x2 y2 ,
				y
	y sin ,	tg			.

x

Окружности

acos , а=const >0.

2asin , а=const >0.

a

0

Спирали

Архимедова спираль: =а ,0 , 0 .

Гиперболическая спираль: a, 0 , 0 , a > 0.

Логарифмическая спираль: a , a 0, a 1; 0 , 0 .

Розы

Двухлепестковые розы: asin2 , a>0; 0 2 , 0 a .

171