Часть II. Глава 3. Квантово-механические теории электрического пробоя неударным механизмом

Глава 3. Квантово-механические теории электрического пробоя неударным механизмом

То обстоятельство, что в 30-х годах не удалось экспериментально установить электрическое упрочнение при ЭПТД, обусловило появление теорий ЭПТД, фундаментом для которых явилась зонная теория твердого тела, которая была создана в это время.

3.1. Теория Зинера. Теория безэлектродного пробоя

Согласно теории Зинера в сильном электрическом поле энергетические зоны в кристалле претерпевают изменения, как показано на рис. 3.1. В соответствии с этим Зинер предположил, что в сильном электрическом поле электроны туннелируют («просачиваются» сквозь потенциальный барьер) из валентной зоны диэлектрика в зону проводимости. При достаточно большой плотности тока «просочившихся» электронов должен наступить пробой диэлектрика. Видно, что по существу эта гипотеза является повторением идеи А.А. Смурова, но с использованием квантово-механических представлений о зонной энергетической структуре твердого тела.

Рис. 3.1. Зонная структура кристалла:

а) без поля; б) при наложении поля

Потенциальная энергия электрона в поле напряженностью Е равна еЕх, где е – заряд электрона, а х – координата в направлении поля Е. Полная потенциальная энергия электрона в кристалле при наличии поля равна:

W =V (x) − eEx ,							(3.1)
где V (x) – потенциальная энергия электрона при E = 0 .
Тогда уравнение Шредингера будет иметь вид
−	h2		d 2ψ	+ [V( x ) − eEx −W ] ψ = 0 ,			(3.2)
	8π 2m		dx2			о
что соответствует дискретным значениям полной энергии W:
W = eEx +W +α + 2β Cos					2π	j	(3.3)
			o		N

111

Часть II. Глава 3. Квантово-механические теории электрического пробоя неударным механизмом

и энергетической диаграмме наклоненных зон. Причем наклон энергетических зон будет увеличиваться с ростом Е.

В этом случае электрон с энергией W1 может находиться на участках 0 – х1 и х2 – L, т.е. при наличии поля Е может наблюдаться просачивание электронов из валентной зоны в зону проводимости без затрат энергии вдоль прямой х1 – х2. Вероятность такого перехода равна вероятности туннельного эффекта, т.е.

	Р =	еЕа		е−α	,	(3.4)
		h		(1 − е−α )2
	где α =		π 2ma W 2		.	(3.5)
				eh2 E
						W – высота
	Здесь m – масса электрона; h – постоянная Планка;

потенциального барьера; е – заряд электрона; а – постоянная решетки; Е – напряженность электрического поля.

В сильных электрических полях е−α <<1, т.е. (1 − е−α ) →1, тогда

P ≈

eEa

e−α , т.е. с ростом Е вероятность туннельного перехода Р рас-

h

W

тет. Если принять, что еЕ( х

2

− х

) =

W , тогда x

2

− x

=

, а

1

1

eE

α = π 2ma W 2

= π 2ma W

W = π 2ma W ( x

2

− x

).

(3.6)

eh2 E

h2

eE

h2

1

За счет увеличения вероятности туннельного эффекта, т.е. просачивания электронов из валентной зоны в зону проводимости электронный ток достигает больших значений, что в конечном итоге приводит к пробою за счет электростатической ионизации.

Если принять, что плотность электронного тока
jэ = neυдр, где		υдр = μ Е ,		а	n =	NP ,		(3.7)
тогда, подставляя значение Р,						A
				получим			2 1 / 2
					π2ma W
	eNa	3		−	2eh2E
j = neEμ =			2 e					(3.8)
		e μ E					.

Ah

Здесь N – число электронов в валентной зоне в 1 см3;

А – вероятность рекомбинации в единицу времени. Полученная формула дает сильное возрастание тока с ростом на-

пряженности поля, но не дает четкого критерия пробоя. Согласно теории Зинера пробой наступает тогда, когда вероятность туннельного эффекта (просачивания электронов) возрастает в 100 и более раз с рос-

112

Часть II. Глава 3. Квантово-механические теории электрического пробоя неударным механизмом

том значения Е на 10÷15 %. Такое соотношение наблюдается при W =1 эВ, а = 3.10-8 см и при изменении Е от 1 108 до 1.13 108 В/м, что, по мнению Зинера, согласуется с данными эксперимента. Однако такой критерий пробоя произволен и не имеет убедительного физического обоснования. Указанное Зинером соотношение может иметь место и при других напряженностях поля, например при изменении Е от 0.1 108

до 0.11 108 В/м.

Правильнее было бы на основании этой теории определить электрическую прочность как напряженность поля, при которой электронный ток разрушает твердый диэлектрик. Поэтому представляет интерес, какие плотности тока обеспечивают просочившиеся электроны при напряженностях поля, при которых происходит пробой на опыте. При проведении подобных вычислений В.А. Чуенков учитывает также

рекомбинацию электронов с дырками.
Так, для кристалла NaCl N=1022 см-3, а=3.10-8 см,	W =9 эВ. Тогда,
если принять μ =10 см2/В с и A = Q рек υ =Q рекμЕ,	где Qрек ≈10-15

см2, то, в соответствии с выражением (3.8), значение j – исчезающе малая величина. В табл. 3.1 приведены данные расчета и для других случаев.

					Таблица 3.1
W, эВ		Плотность тока j,		А/см2
	Е=108 , В/м		Е=5.108, В/м		Е=109, В/м
9.6	10-186		10-30		10-11
5	10-44		10-16		104
2	13		105		1010

Экспериментально установлено, что для разрушения кристалла NaCl необходима плотность электронного тока порядка 104 А/см 2. Поэтому из приведенных данных можно сделать заключение о том, что туннелирование электронов из валентной зоны диэлектрика в полях, при которых наблюдается пробой, обеспечивает очень малые плотности тока. Иными словами, туннелирование электронов из валентной зоны не может обусловить ЭПТД.

Однако этот механизм может наблюдаться при пробое полупроводников, у которых W не более 2 эВ. Наряду с этим он может обеспечить переход электронов с уровней захвата (из ловушек) в зону проводимости диэлектрика, которые затем могут принять участие в пробое.

113

Часть II. Глава 3. Квантово-механические теории электрического пробоя неударным механизмом

3.2. Теория Фаулера. Пробой электродного происхождения

Возможность электрического пробоя электродного происхождения, в связи с туннелированием электронов из металла в диэлектрик, была рассмотрена Фаулером в 1936 г., а в дальнейшем дополнена Волькенштейном в 1939 г.

Эта теория основана на возможности туннелирования электронов из заполненной зоны металла-катода в зону проводимости диэлектрика. При температуре абсолютного нуля уровень Ферми WF металла –

катода находится в пределах запрещенной зоны диэлектрика (рис.3.2). Предполагая, что уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны диэлектрика, получаем: при энергии электрона We =W F , высота барьера равна

Рис. 3.2. Схема энергетических зон в металле и диэлектрике при наложении электрического поля

12 W , а ширина барьера со-

ставляет х1 , а при энергии элек-

трона	W =W	F	−	1		W высота
	e		2
						W , а ши-
барьера составляет

рина потенциального барьера – х2. Максимальная вероятность перехода будет равна:

		−	π2ma W 2
p				2eE ,	(3.9)
		= e 4h
1
	max

а минимальная вероятность перехода равна:

		= e−	π2ma W 2		14 .
p	2max		h	2eE = p		(3.10)
				1

В соответствии с этим могут быть определены верхний и нижний пределы для плотности тока, обусловленного рассматриваемым процессом. Если принять, что число электронов n, просачивающихся из

металла в диэлектрик через 1 см	2		равно n ≈	e2 E 2
		поверхности в 1 с,			,
				8πhδ
то
j1 = 2en1 p1 (при δ = W ),				(3.11)
j2 = 2en2 p2 (при δ =1/ 2 W ).				(3.12)

Тогда максимальная плотность тока

114

Часть II. Глава 3. Квантово-механические теории электрического пробоя неударным механизмом

			e3E 2		−	π2ma W 2
							2	eE ,
j	=				e		4h		(3.13)
		2πh W
1
а минимальная плотность тока
			e3E2		−		π2ma W 2
							2
j2	=				e		h	eE .	(3.14)
			2πh W
Действительное значение плотности тока из катода в диэлектрик j
будет находиться между этими крайними значениями, т.е.									j1 > j > j2 .

В данной теории отсутствует критерий пробоя. Советский теоретик Ф.Ф. Волькенштейн предложил определять величину пробивной напряженности электрического поля Епр из условия, что при сравни-

тельно небольшом изменении напряженности поля от Е1 до Е2 плотность тока должна возрастать от малого значения (~10-9 А/см2) до большого (102÷103 А/см2). В этом случае величина Епр будет лежать в

пределах Е1 < Eпр < E2 . Этот интервал (Е2 – Е1) будет наибольшим, ес-

ли для Е1 вести расчет по плотности тока j1, а для Е2 – по плотности тока j2. Соответствующие данные приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

	U , эВ		Епр, В/м
	1		6	7
	2		6 l0 < Еnp <6 l0
			2 l07< Еnp <2 l08
	4		1 l08< Еnp <1 l09
	6		2 108< Еnp <2 l09
Для кристалла NaСl (		W =9,6 эВ) значения Епр		должны быть еще

выше, т.е. значительно превосходить экспериментальные значения. Решая уравнение Шредингера с учетом приложенного электриче-

ского поля, Ф.Ф. Волькенштейн обнаружил, что происходит не только наклон энергетических зон, но и их расширение. При этом запрещенная зона сужается. Этот эффект аналогичен штарк-эффекту – расщеплению энергетических уровней у одиночных атомов и молекул, находящихся в электрическом поле. Исходя из этого Ф.Ф. Волькенштейном

формулируется иной критерий пробоя. Пробой произойдет тогда, когда
сужение запрещенного участка W (Е)	станет равным его ширине
W , т.е. при W (Е)= W .

По первоначальным оценкам соответствующая величина Е составила 108 ÷5.109 В/м. Однако экспериментальные исследования длинноволновой границы ультрафиолетового поглощения в щелочногалоидных кристаллах показали, что при поле Е=108 В/м сужение запрещен-

115