Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

4.1. Теории Хиппеля и Фрелиха

Одним из решающих факторов, обусловивших появление теорий пробоя вследствие ударной ионизации электронами, явилось открытие советскими учеными А.Ф. Вальтером и Л.Д. Инге неполного пробоя твердых диэлектриков, его кристаллографической ориентации. Их исследования также показали, что электрический разряд в твердом диэлектрике распространяется в виде узкого канала с большой скоростью. Несколько позднее немецкий ученый Хиппель также наблюдал каналы неполных пробоев в случае однородного поля в таких диэлектриках, как каменная соль, стекло, кварц, известковый шпат, барит. При этом ему удалось установить, что каналы неполных пробоев направляются от анода. Эти закономерности натолкнули Хиппеля на мысль о возможности развития пробоя твердых диэлектриков за счет ударной ионизации электронами.

Действительно, если опираться на квантово-механические представления, в сильных электрических полях в зоне проводимости диэлектриков могут существовать свободные электроны с определенной энергией, заносимые сюда под действием разных факторов (о чем говорилось ранее). Эти электроны при своем движении могут осуществлять ударную ионизацию, участвовать в неионизационных столкновениях, приводя к образованию возбужденных атомов и молекул (экситонов), рекомбинировать и испытывать рассеивание (торможение) на дефектах решетки и тепловых колебаниях атомов и ионов.

Если в газе ускоряемый электрон расходует свою энергию до ионизации на возбуждение газовых молекул или атомов, то в твердом диэлектрике вследствие большой плотности атомов (ионов) электрон расходует свою энергию в основном в результате взаимодействия с колебаниями кристаллической решетки. Кроме того, для ионных кристаллов потенциалы возбуждения и ионизации сближены, и поэтому вероятность возбуждения считается малой.

На рис. 4.1 показана зависимость потерь энергии электроном в 1 с на колебаниях решетки от его энергии. Как видно из рис. 4.1, энергия, теряемая электроном при взаимодействии с колебаниями решетки, зависит от энергии электрона ξ и изменяется по кривой с максимумом.

При малой энергии электрона малы и потери энергии В.

119

Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

При большой энергии электрона потери становятся малыми из-за малости времени взаимодействия электрона с колебаниями решетки. При некоторой энергии электрона ξкр = 0.1÷0.2 эВ потери энергии по-

лучаются максимальными. Как считает Хиппель, если электрическое поле достаточно для того, чтобы электроны достигли энергии ξкр , со-

ответствующей максимуму потерь, то дальше электроны будут ускоряться и достигнут энергии ионизации независимо от ее величины. Эту напряженность поля Хиппель отождествил с электрической прочностью Еnp. Таким образом, величина Еnp может быть определена из усло-

	вия А = В при ξ =ξкр , где А –
	энергия,		полу-чаемая
Рис. 4.1. Зависимость приобретаемой	электроном от поля в 1 с.
	Поскольку		ξкр
и теряемой энергии электрона от его	соответствует		медленным
энергии		то
	электронам,		критерий

Хиппеля был назван низкоэнергетическим критерием, а сам пробой стал называться пробоем медленными электронами. Количественная разработка теории Хиппеля была дополнена Калленом. Поэтому она получила название теории Хиппеля–Каллена.

Иной критерий пробоя был выдвинут в 1937 г. Фрелихом. Опираясь на представления теории ударной ионизации Хиппеля, Фрелих считает, что в твердом диэлектрике вследствие тепловых флуктуаций возможно появление быстрых электронов, в том числе с энергией, равной энергии ионизации и большей. Исходя из этого Фрелих считает, что нарушение электрической прочности обусловлено ускорением именно тех электронов, которые при отсутствии поля обладали энергией, близкой к энергии ионизации, т.е. обусловлено быстрыми электронами. Фрелих показывает, что энергия, приобретаемая такими электронами пропорциональна квадрату напряженности поля и энергии электрона в степени 32 .

А= С Е2ξ3 2 .	(4.1)
1

Потери энергии быстрых электронов при взаимодействии с колебаниями решетки за 1 с определяются выражением

В = С ξ−1 2 .	(4.2)
2

120

Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

Точки пересечения кривых А= f (ξ) с кривой B = f (ξ) (рис. 4.1) соответствуют равенству A = B при разных напряженностях поля. При заданной напряженности поля Е1 электроны с энергией ξ1' >ξ1 будут

ускоряться в электрическом поле, т.к. для них потери энергии меньше энергии, получаемой от поля. И наоборот, электроны с энергией

ξ1'' <ξ1 будут замедляться, т.к. для них B > A. С ростом напряженности поля кривая А= f (ξ) при E = E2 лежит выше и условие равновесия достигается при энергии электронов ξ2 . Фрелих рассматривает два

случая:	1. когда ξ > I ,	2. когда ξ < I .
В	первом случае	должны ускоряться электроны с энергией

ξ >ξ1 > I . Однако время существования электронов с энергией ξ > I

весьма мало по сравнению со временем существования электронов с энергией ξ < I . Поэтому передаваемая ему энергия за столь короткое

время также весьма мала и число ионизаций практически не изменяется, т.е. стационарный режим электропроводности не нарушается.

Во втором случае, т.е. при ξ < I должны ускоряться и те электроны, энергия которых лежит в интервале ξкр <ξ < I . Такие электроны

будут ускоряться полем и вызывать ударную ионизацию. Число электронов будет возрастать, и стационарный режим электропроводности может нарушаться. Таким образом, критерием пробоя по Хиппелю является равенство А= В при ξ = 4hω , а критерием пробоя по Фрелиху –

равенство А= В при ξ = I .

В обоих случаях приобретаемая от поля энергия

	A =	e2 E2	τ ,	(4.3)
		m

где m – масса электрона; τ – время между двумя столкновениями электрона (время релаксации).

Потери энергии электрона на колебаниях решетки в обеих теориях определяются следующим образом:

B = hω∑(ФLe −ФL a ),	(4.4)
L

где hω – колебательный квант решетки (фонон); ФLe ,ФL a – веро-

ятности испускания и поглощения электроном фонона с волновым числом колебаний решетки L.

При рассмотрении взаимодействия электрона с колебаниями решетки Фрелих использует динамическую теорию Борна–Кармана. Согласно этой теории волновой вектор колебаний узлов кристаллической решетки L зависит от длины волны λ и числа элементарных ячеек в

121

Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

кристалле N . При этом каждому значению L, относящемуся к какомулибо одному узлу кристаллической решетки, соответствует 3 оптических колебания с высокой частотой и 3 акустических колебания с низкой частотой. В свою очередь, каждое из них состоит из продольного колебания, т.е. совпадающего с каким-либо заданным направлением, и двух поперечных колебаний. Фрелих принимает, что электрон при своем движении в кристаллической решетке взаимодействует лишь с оптическими колебаниями и, конкретно, с продольными оптическими колебаниями.

Зная В и τ , можно найти значение пробивной напряженности поля Епр:

Епр = 1	Вm .	(4.5)
е	τ
В соответствии с критериями пробоя по Хиппелю и Фрелиху
В4hω >> BI , а	τI >>τ4hω . Из этого следует, что значения Епр по Хип-
пелю будут выше, чем		Епр по теории Фрелиха. Этот вывод согласует-

ся с физическими предпосылками обеих теорий. Следует отметить, что обе теории формулируют лишь условия возникновения ударной ионизации, но не рассматривают сам механизм ударной ионизации и формирование электронной лавины. Не рассматривают они, как уже отмечалось, и функцию распределения электронов по скоростям.

4.2. Теории пробоя, основанные на решении кинетического уравнения. Теория Чуенкова

Попытки составления и решения кинетического уравнения для электронов проводимости в кристалле были предприняты в работах Франца (1939 г.), Геллера (1951 г.), Писаренко Н.Л. (1940 г.), Ахиезера, Лившица и др. В качестве предпосылки при составлении кинетического уравнения Францем принималось допущение, что электроны при взаимодействии с решеткой отдают ей всю свою энергию. Таким образом, он фактически рассматривал лишь медленные электроны (с энергией, которая меньше 4hω ), составляя для них функцию распределения по направлениям, учитывая действие поля и соударений. Такое грубое допущение делало невозможным дальнейшее развитие его теории, т.к. оно не позволяло рассматривать электроны с энергией, которая больше 4hω .

Учитывая это, в 1955 г. Францем был предложен другой метод для вычисления Епр, основанный на приближенном решении кинетическо-

го уравнения для электронов с учетом процессов ударной ионизации, рекомбинации и внутренней эмиссии (туннельного эффекта). Это по-

122

Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

зволило найти зависимость концентрации электронов проводимости от времени. Сам электрический пробой трактуется как проплавление диэлектрика электронным током.

Более строго к составлению и решению кинетического уравнения для электронов подошел Чуенков, в работах которого рассматривается функция распределения электронов по энергиям и направлениям. Для стационарного состояния кинетическое уравнение для электронов в ионном кристалле имеет вид

еЕ	∂f (ξθ )	=ϕрасс +ϕион +ϕвозб +ϕрек ,	(4.6)
	∂рz

где f (ξ,θ) – функция распределения электронов по энергиям и направлениям относительно оси z ;

рz – составляющая импульса электрона в направлении поля;

θ– угол между направлением напряженности поля и импульсом электрона;

ϕ– изменение функции распределения, обусловленное рас-

сеиванием электронов на колебаниях решетки, ионизацией, возбуждением ионов решетки и рекомбинацией электронов с ионами решетки.

В таком общем виде решение данного уравнения практически невозможно. Поэтому Чуенков для упрощения этого уравнения делает следующие допущения:

1. Поскольку в твердом теле потенциал возбуждения близок к потенциалу ионизации ионов, то вероятность возбуждения значительно меньше вероятности ионизации. Поэтому величиной ϕвоз в правой час-

ти равенства можно пренебречь.

2. Вероятность рекомбинации в основном характерна только для очень медленных электронов с энергией ξ << hω , поэтому величиной

ϕрек в правой части равенства также можно пренебречь, чтобы учесть

еепосле решения кинетического уравнения.

Врезультате этих упрощений кинетическое уравнение принимает

вид

еЕ	∂f (ξθ )	=ϕрасс +ϕион .	(4.7)
	∂Pz

Если при увеличении напряженности поля эта функция распределения электронов сдвигается в сторону высоких энергий, то стационарный режим электропроводности становится невозможным, концентрация свободных электронов будет возрастать и наступит пробой диэлектрика. Однако и этот, относительно простой, критерий пробоя, не позволяет легко решить данное кинетическое уравнение, т.е. определить величину Епр. В качестве приема, упрощающего решение этого

123

Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

уравнения, Чуенков использует разбиение энергетического спектра электронов на три области (группы), для каждой из которых это уравнение может быть подвергнуто дальнейшему упрощению. Чуенков рассматривает следующие три области, удовлетворяющие следующим неравенствам:

1.	hω ≤ξ ≤ξ '' ;	(4.8)
2.	ξ '' ≤ξ ≤ I ;	(4.9)
3.	ξ ≥ I .	(4.10)

Здесь ξ"– величина энергии электрона, обладая которой или при

ξ >ξ" электрон при столкновении с колебаниями решетки уже не может изменить направление своего движения на обратное.

В связи с этим в первой области энергий (hω ≤ξ ≤ξ '' ) наблюдает-

ся в основном рассеивание электронов на колебаниях решетки. В эту же область энергий попадают и электроны, образованные при ударной ионизации (при ударной ионизации вместо одного быстрого электрона получаются два медленных). При этом Чуенков учитывает не только рассеивание на оптических колебаниях, но и на коротковолновых акустических колебаниях для случая появления быстрых электронов.

Вследствие малого времени релаксации электрическое поле в этой области практически не оказывает влияния на функцию распределения. Поэтому при решении кинетического уравнения можно ограничиться первыми двумя членами разложения.

Во второй области энергий (ξ '' ≤ξ ≤ I ) преобладают электроны

двигающиеся под малыми углами к направлению поля. Поэтому электрическое поле не оказывает существенного влияние на изменение функции распределения электронов. С учетом этого функция распределения принимает вид

еЕ	∂f (ξθ)	= 0 .	(4.11)
	∂P
	z

В третьей области энергий (ξ ≥ I ) рассеиванием электронов на

колебаниях решетки можно пренебречь. Здесь учитывается только влияние напряженности электрического поля и ионизационные столкновения. В соответствии с этим кинетическое уравнение имеет вид

eE	∂(ξ,θ)	= −βNθ(ξ)υF(ξ,θ) .	(4.12)
	∂P
	z

124

Часть II. Глава 4. Теории пробоя твердых диэлектриков вследствие ударной ионизации электронами

Здесь N – число ионов в единице объема; β – число электронов,

находящихся на внешней валентной оболочке ионизируемого иона; υ

– скорость электрона; θ = S(ξ − I ) – эффективное сечение ионизации.

Полученные таким образом три функции распределения электронов для трех областей сшиваются Чуенковым по методу Коши, т.е. с соблюдением условий непрерывности функции на границах областей. Сшитая функция распределения электронов содержит лишь две постоянных интегрирования, одна из которых нормировочная.

В случае стационарного состояния электропроводности число электронов, переходящих из первой области во вторую, равно числу электронов, переходящих из второй области в третью, и следовательно, равно числу ионизаций. Судьба вторичных электронов, образовавшихся в результате ударной ионизации, зависит от их энергии. Если их энергия меньше равновесной энергии ξ р, при которой наблюдается

равновесие между приобретаемой А и теряемой В энергией (А=В) при данной напряженности поля, то такие электроны частично будут тормозиться решеткой и пополнять 1 и 2 области, а частично рекомбинировать. Если их энергия будет больше энергии ξр , то они будут уско-

ряться электрическим полем. Если после ионизации больше половины электронов обладают энергией ξ <ξp , то будет иметь место стацио-

нарная электропроводность. Если же будет иметь место обратное, т.е. ξ >ξp , то процесс умножения электронов будет нарастающим, что, в

конце концов, приведет к пробою. Учитывая это, Чуенков вводит понятие о дополнительной энергии ξ1 2 . Иными словами, половина элек-

тронов после ионизации обладает энергией выше ξ1 2 , а другая половина – меньше ξ1 2 . Естественно, что при условии ξ1 2 <ξp имеет место стационарное состояние, а при условии ξ1 2 >ξp стационарный

режим электропроводности нарушается и наступает пробой диэлектрика. Таким образом, условием пробоя будет являться равенство

ξ1 2 ( Епр ) =ξp ( Епр ).		(4.13)
Исходя из этого критерия можно определить электрическую проч-
ность	еE ,
ξ1 2 = 0.589		(4.14)
	βNS
где N – плотность ионов;		β – число электронов на внешней обо-
лочке ионизуемого иона; S –		параметр, определяемый через эффек-
тивное сечение ионизации.

125