- •Билет №1.Числовые множества. Модуль. Элементарные ф-ции. Графики. Преобразование графиков.
- •Алгебраические:
- •Билет №2. Числовые последовательности. Определение предела числовой последовательности.
- •Билет №4. Свойства пределов числовой последовательности .
- •Билет №5. Пределы ф-ций. Свойства пределов ф-ций.
- •Билет №6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бм.
- •Сравнение бесконечно малых
- •Билет №9. Разрывы функций.
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Билет № 12.Понятие производной функции. Свойства производной.
- •Билет № 13 .Геометрический смысл производной.
- •Билет № 14. Уравнение касательной к графику.
- •Билет №15. Связь понятий. Дифференцируемость ф-ции в точке и ее непрерывность.
- •2) Существует ф-ция в каждой точке непрерывная и не в 1ой точке, не имеющая производной.
- •Билет №16.Дифференциал ф-ции. Произв. Суммы, произведения и отношения 2х ф-ций.
- •Правила дифференцирования.
- •Билет №22. Формулы Тейлора и Маклорена.
- •Билет №25. Исследование функции на выпуклость.
- •Билет №27. Предельные величины в экономике.
- •Билет №28. Эластичность спроса.
- •Билет №29. Оптимизационные задачи в экономике.
Билет №6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бм.
Бесконечно малая - числовая функция, которая стремится к нулю.
Последовательность называется бесконечно малой, если .
Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Ф-ция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Ф-ция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является ф-ция, представляющая собой разность ф-ции и её предела, то есть если , то , .
Бесконечно большая - числовая функция, которая стремится к бесконечности определённого знака. Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (+/-). То есть, напр., ф-ция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность называется бесконечно большой, если .
Ф-ция называется ББ в окрестности точки , если .
Ф-ция называется ББ на бесконечности, если либо .
Сравнение бесконечно малых
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
-
Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.
-
Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.
-
Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и .
-
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Билет №7. 2 замечательных предела.
Замечательные пределы - термин, использующийся в математическом аналие для обозначения известных математических тождеств со взятием предела.
Первый замечательный предел:
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().
K - точка пересечения луча с окружностью, а точка L - с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H - проекция точки K на OX.
Очевидно, что (1)
(где — площадь сектора )
(из : )
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый 1-сторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Второй замечательный предел:
Доказательство для натуральных значений x
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем 2ой замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим 2 случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда.
Из 2х этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
Билет №8. Понятие непрерывной функции.
Непрерывная функция - ф-ция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
ε-δ определение Пусть и .
Функция непрерывна в точке Xo, если для любого существует такое,
что для любого Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции . Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.