- •Билет №1.Числовые множества. Модуль. Элементарные ф-ции. Графики. Преобразование графиков.
- •Алгебраические:
- •Билет №2. Числовые последовательности. Определение предела числовой последовательности.
- •Билет №4. Свойства пределов числовой последовательности .
- •Билет №5. Пределы ф-ций. Свойства пределов ф-ций.
- •Билет №6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бм.
- •Сравнение бесконечно малых
- •Билет №9. Разрывы функций.
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Билет № 12.Понятие производной функции. Свойства производной.
- •Билет № 13 .Геометрический смысл производной.
- •Билет № 14. Уравнение касательной к графику.
- •Билет №15. Связь понятий. Дифференцируемость ф-ции в точке и ее непрерывность.
- •2) Существует ф-ция в каждой точке непрерывная и не в 1ой точке, не имеющая производной.
- •Билет №16.Дифференциал ф-ции. Произв. Суммы, произведения и отношения 2х ф-ций.
- •Правила дифференцирования.
- •Билет №22. Формулы Тейлора и Маклорена.
- •Билет №25. Исследование функции на выпуклость.
- •Билет №27. Предельные величины в экономике.
- •Билет №28. Эластичность спроса.
- •Билет №29. Оптимизационные задачи в экономике.
Билет №22. Формулы Тейлора и Маклорена.
Ряд Тейлора - разложение функции в бесконечную сумму степенных ф-ций.
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
-
Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,
-
Пусть
-
Пусть - произвольное положительное число,
тогда: точка при или при :
Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:
- остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)
Остаточный член - разность между заданной ф-цией и ф-цией ее аппроксимирующей. Тем самым оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.
Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .
Можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:
Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .
Билет №23. нахождение асимптот графика функции.
Асимптота – прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.
Асимптота может быть вертикальной или наклонной.
Вертикальная А. имеет уравнение x=b , причем f(x)→+∞ (-∞) при x→a (односторонне).
Пусть функция f (x) определена для всех x. Если существуют такие числа k и b, что f(x)-kx-b = 0 при х, то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f (x).
k = lim f(x)/x при x→+∞ (x→-∞)
b = lim (f(x)-kx) при x→+∞ (x→-∞)
Пример разных асимптот на разных бесконечностях:
y=
x→+∞ k = lim = lim = 1 b=0
x→-∞ k = lim = lim = -1 b=0
Билет №24. Локальный экстремум. Исследование ф-ции на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения ф-ции на промежутке.
Экстремум - максимальное или минимальное значение ф-ции на заданном множестве. Точка, в кот. достигается экстремум, называется точкой экстремума. Если достигается минимум - точка min, если максимум - точка max. Также выделают понятие локальный экстремум (минимум/максимум).
Пусть дана функция и - внутренняя точка области определения Тогда
-
называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
-
называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
Необходимые условия сущ.:
-
Из леммы Ферма вытекает следующее:
Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .
Достаточные условия существования локальных экстремумов
-
Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
-
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии и является точкой локального максимума. А если и
то является точкой локального минимума.
-
Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .
-
Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.