2. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли и предельные теоремы.

5.1. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза?

5.2. Найдите вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей две стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0.9.

5.3. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.

5.4. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не менее 4-х раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,8.

5.5. Известно, что 25% населения не подвержены гриппу во время его эпидемии. Найти вероятность того, что в подгруппе из 5 человек заболеет 3 человека.

5.6. Вероятность сдать каждый из четырех экзаменов для студента составляет 0,7. Найти вероятность того, что

а) студент сдаст 2 экзамена;

б) не сдаст 1 экзамен;

в) не сдаст хотя бы 1 из экзаменов.

5.7. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестерок при трех бросаниях игральной кости?

5.8. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Какова вероятность того, что

а) из пяти больных поправятся четверо?

б) из пяти больных поправятся не менее четырех?

в) из пяти больных поправятся не более четырех?

5.9. Вероятность того, что покупателю нужна мужская обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из шести покупателей, по крайней мере, двум необходима обувь 41-го размера.

5.10. Среди 12 проверяемых ревизором договоров семь оформлены неправильно. Найти вероятность того, что среди пяти договоров, произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся правильно оформленными:

а) ровно три договора;

б) не менее трёх договоров.

5.11. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей

а) два мальчика;

б) не более двух мальчиков;

в) более двух мальчиков;

г) не менее двух и не более трех мальчиков.

Вероятность рождения мальчика и девочки принять равной 0,5.

5.12. Вероятность того, что саженец яблони приживется, равна 0,8. Найти вероятность того, что из восьми посаженных яблонь приживется 7 или 8.

5.13. Вероятность солнечной погоды в некоторой местности для каждого дня равна 0,4. Какова вероятность того, что в течение трех дней хотя бы один день будет солнечная погода?

5.14. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости число очков кратное 3, выпадет больше двух, но меньше пяти раз?

5.15. На контрольной работе ученикам предложено 10 вопросов, на каждый из которых дано два ответа: правильный и неправильный. Для получения зачета нужно указать не менее 80% правильных ответов. Какова вероятность получить зачет при простом отгадывании?

5.16. В мастерской работает 6 моторов. Вероятность перегрева мотора к обеденному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреется не менее трех моторов.

5.17. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее трех?

5.18. В мастерской работают пять человек. Рабочий использует электроэнергия в среднем 12 минут в час. Какова вероятность того, что не менее чем трем рабочим одновременно понадобится электроэнергия?

5.19. Какова вероятность того, что не менее трех человек из шести родились осенью?

5.20. В волейбольном матче игра происходит до тех пор, пока одна из команд не выиграет трех партий. Вероятность победы команды А в каждой партии равна 0,8. Определить вероятность того, что команда А победит со счетом 3:1.

5.21. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из трех телевизоров:

а) не более чем один из них потребует ремонта;

б) хотя бы один не потребует ремонта.

5.22. В ящике лежит несколько тысяч одинаковых предохранителей. Треть из них сделана первым заводом. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что на первом заводе изготовлены:

а) два предохранителя;

б) менее двух предохранителей;

в) более двух предохранителей?

5.23. Вероятность попадания при каждом выстреле рана 0,4. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого необходимо не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов.

5.24. В кошельке лежат 8 монет достоинством 5 копеек,и 2 монеты достоинством 3 копейки. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет 15 очков, если герб принимается за 0?

5.25. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключается): две партии из четырех или три партии из шести?

5.26. Что вероятнее: выиграть в бильярд у равносильного противника три партии из четырёх или пять партий из восьми?

5.27. (Проблема Смита) В 1693 г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости шесть раз, второму не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при 18 бросаниях.

5.28. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске первого баскетболиста равна 0.6, второго – 0.7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

5.29. Партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем контрольной выборки, чтобы вероятность обнаружить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0.95.

5.30. Вероятность выигрыша лотерейного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что у владельца шести билетов

а) выигрышными окажутся два билета;

б) хотя бы один билет окажется выигрышным?

Сколько необходимо приобрести лотерейных билетов, чтобы с вероятностью не менее 0,95 выиграть хотя бы по одному билету?

5.31. Известно, что из числа зрителей определённой телепрограммы 70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трёх наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока. Рассчитать вероятности числа лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.

5.32. В условиях предыдущей задачи найти наивероятнейшее число лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.

5.33. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 120 изделий?

5.34. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0.7. Найдите вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов.

5.35. Вероятность рождения мальчиков равна 0.515. Найдите наивероятнейшее число девочек из 600 новорожденных.

5.36. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течении года для каждой лампы 0.8. Найти вероятность того, что к концу года горят три лампы. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

5.37. Определите наиболее вероятное число выпадения герба при 25 подбрасываниях монеты.

5.38. Чему равно наивероятнейшее число нестандартных среди 500 деталей, если вероятность для каждой из них быть нестандартной равна 0.035?

5.39. При проведении эксперимента монету подбрасывали 4096 раз, причем герб выпал 2068 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?

5.40. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди500 приборов окажется от410 до 430 (включительно) годных.

5.41. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700. Вероятность появления изделия высшего сорта в партии рана 0,8.

5.42. Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 появилась не более 60 раз?

5.43. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

5.44. Текст содержит 20000 букв. Каждая буква может быть неправильно напечатана с вероятностью 0.0004. Какова вероятность того, что в тексте не менее двух опечаток?

5.45. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность звонка одного абонента позвонить в течение часа равна 0.005. Какова вероятность того, что в течение часа позвонит один или два человека?

5.46. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадает не менее 260 и не более 274 раз?

5.47. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет в пределах от 564 до 600.

5.48. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 300 грибов будет 75 белых?

5.49. Завод отправил в магазин 5000 лампочек. Вероятность того, что лампочка разобьется при транспортировке, равна 0,0002. Какова вероятность того, что в магазин привезли а) ровно 3 разбитые лампочки, б) ровно одну разбитые лампочку, в) не более 3 разбитых лампочек, г) более 3 разбитых лампочек?

5.50. При социологических опросах граждан каждый человек независимо от других может дать неискренний ответ с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 22500 опросов число неискренних ответов будет не более 4620?

5.51. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти вероятность того, что из 500 пассажиров а) опоздает только один; б) опоздает хотя бы один пассажир.

5.52. При штамповке деталей получается в среднем 90% продукции высшего качества. Найти вероятность того, что среди 900 деталей будет от 790 до 820 высшего качества.

5.53. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена: а) не более 110 раз; б) не менее 110, но не более 130 раз.

5.54. При облучении гибнет в среднем 99,8% бактерий. Найти вероятность того, что среди 1000 облученных бактерий

а) не погибнут 2 бактерии;

б) хотя бы одна бактерия не погибнет.

5.55. Некоторого кандидата на выборах по результатам социологического опроса готовы поддержать 20% избирателей. Найти вероятность того, что из 500 человек, принявших участие в голосовании, за этого кандидата проголосуют

а) 90 избирателей;

б) хотя бы 90 избирателей;

в) не менее 70 и не более 90 избирателей.

5.56. За время обучения в академии в среднем 15% студентов отчисляются за неуспеваемость. В этом году на 1 курсе было принято 200 студентов. Какова вероятность того, что

а) диплом об окончании академии получат не менее 180 человек из этого набора;

б) группа №1, в которой обучается 25 человек, окончит академию без потерь?