2. Двумерные случайные величины.

7.1. Независимые дискретные случайные величины Х и Y принимают только целые значения: Х от -5 до 6 с вероятностью 1/12; Y от -5 до 10 с вероятностью 1/16. Найдите вероятность Р(ХY=0), Р(Х+Y=0).

7.2. Независимые дискретные случайные величины Х и Y принимают два значения 1 и 2. При этом Р(Х=1)=0,7; Р(Y=1)=0,2. Найдите .

7.3. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условное математическое ожидание М(Х/Y= 3), М(Y/Х=3). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).

Х\Y	1	3	4
1	0,06	0,18	0,24
3	0,12	0,13	0,27

7.4. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условное математическое ожидание М(Х/Y= 5), М(Y/Х=5). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).

Х\Y	2	3	5
4	0,06	0,18	0,27
5	0,12	0,13	0,24

7.5. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условное математическое ожидание М(Y/Х=1), М(Х/Y=5). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).

Х\Y	2	4	5
1	0,12	0,13	0,24
3	0,18	0,06	0,27

7.6. Бросают две игральные кости. Х- число очков на первой кости, Y- минимальное число очков, выпавших на двух костях. Составьте совместный закон распределения Х и Y.

7.7. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите закон распределения случайной величины (Х + Y). Найдите ковариацию cov(XУ;Х+Y) и коэффициент корреляции r(XУ;Х+Y). Являются ли независимыми случайные величины Х и Y.

Х\Y	-1	0	1
-1	0,14	0,15	0,21
1	0,16	0,20	0,14

7.8. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите закон распределения случайной величины (Х - Y). Найдите ковариацию cov(X+Y;Х-Y) и коэффициент корреляции r(X+У;Х-Y). Являются ли независимыми случайные величины Х и Y.

Х\Y	0	1	2
0	0,14	0,12	0,3
1	0,13	0,20	0,11

7.9. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите закон распределения случайной величины (ХY). Найдите ковариацию cov(3X+2; 2Y-3) и коэффициент корреляции r(3X+2; 2Y-3). Являются ли независимыми случайные величины Х и Y.

Х\У	1	2	3
2	0,21	0,07	0,23
3	0,11	0,20	0,18

7.10. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y, условные законы распределения случайной величины Х при условии Y=4 и случайной величины Y при условии Х=4.

Найдите вероятность Р(Х>Y).

Х\Y	3	4	7
4	0,15	0,23	0,15
8	0,21	0,09	0,17

7.11. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y).

Х\Y	-1	1
-1	0,3	0,2
1	0,1	0,4

Найдите коэффициент корреляции.

7.12. Известно, что D(X)=1, D(Y)=4, а коэффициент корреляции r(X;Y)=0,8. Найдите дисперсию случайной величины Z=5Х+3Y.

7.13. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания р=0,6. Случайные величины Х- число попаданий; Y- число промахов. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y. Найдите коэффициент корреляции r(X;Y).

7.14. Два стрелка производят по одному выстрелу каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,7 и 0,4. Случайные величины Х- число попаданий первого стрелка; Y- число попаданий второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y.

7.15. Два стрелка производят по одному выстрелу каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,3 и 0,9. Случайные величины Х- число попаданий первого стрелка; Y- число промахов второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y.

7.16. Два стрелка производят по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,7 и 0,4. Случайные величины Х- число попаданий первого стрелка; Y- число попаданий второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y. Найдите вероятность Р(Х>Y).

7.17. Два стрелка производят по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно: 0,6 и 0,8. Случайные величины Х- число промахов первого стрелка; Y- число попаданий второго стрелка. Найдите двумерное распределение случайных величин Х и Y. Найдите вероятность Р(Х>Y).

7.18. В коробке 10 шаров: 3 белых и 7 красных. Случайным образом достают два шара. Случайные величины Х- количество белых шаров, извлеченных из коробки, Y- количество красных шаров. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y). Найдите ковариацию cov(X;Y) и коэффициент корреляции r(X;Y).

7.19. В ящике пять шаров: два шара с цифрой 1, два шара с цифрой 2, один шар с цифрой 3. Случайным образом один за другим достают два шара, не возвращая их обратно. Случайные величины Х- номер на первом шаре, Y- номер на втором шаре. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y). Найдите ковариацию cov(X;Y) и коэффициент корреляции r(X;Y).

7.20. В ящике пять шаров: два шара с цифрой 1, два шара с цифрой 2, один шар с цифрой 3. Случайным образом один за другим достают два шара, возвращая их обратно. Случайные величины Х- номер на первом шаре, Y- номер на втором шаре. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y). Найдите ковариацию cov(X;Y) и коэффициент корреляции r(X;Y).

7.21. В ящике пять шаров: три белых и два красных. Случайным образом достают один шар. Случайные величины Х- количество извлеченных белых шаров, Y - количество красных шаров. Найдите совместный закон распределения случайных величин (Х, Y).

7.22. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y).

Х\Y	-1	1	3
-1	0,05	0,2	0,01
1	0,1	0,4	0,02
2	0,15	0,05	0,02

Найдите Р(Х=1/Y=1), Р(Y=-1/Х=1). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=min{X,Y}.

7.23. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y).

Х\Y	-1	1	3
-1	0,05	0,2	0,01
1	0,1	0,4	0,02
2	0,15	0,05	0,02

Найдите Р(Х=-1/Y >-1), Р(Y=-1/Х < 2). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=mах{X,Y}.

7.24. Случайные величины Х и Y таковы, что имеют равные дисперсии. Найдите r(U;V), где U=X+Y, V=X-Y.

7.25. Х- случайная величина. Дано М(Х)=1, . Найдите cov(X;X).