2. Дискретные случайные величины.

6.1. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки. Найти математическое ожидание и дисперсию.

6.2. Составить закон распределения числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений события А.

6.3. Монета подбрасывается 9 раз. Найти закон распределения случайной величины X, равной числу выпавших гербов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.4. В мишень стреляют 6 раз. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0.7. Найти закон распределения случайной величины X, равной числу дырок в мишени. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Чему равно наивероятнейшее число попаданий?

6.5. Рукопись объемом в 1000 страниц содержит 1000 опечаток. Найти закон распределения случайной величины X, равной числу опечаток на одной странице. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.6. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.

6.7. В лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша на сумму 200 руб. и 100 руб. Стоимость билета 10 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для лица, купившего 2 билета.

6.8. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди четырех отобранных, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

6.9. Вероятность допустить ошибку при составлении бухгалтерского баланса равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 5 балансов предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.

6.10. Куплено пять лотерейных билетов. Найти закон распределения и его числовых характеристики для числа выигрышных билетов среди данных пяти, если на сто билетов в среднем приходится 10 выигрышных. Каково наивероятнейшее число выигрышных билетов?

6.11.Испытание состоит в том, что бросают две монеты. Событие А в одном испытании состоит в выпадении одного орла и одной решки. Найти математическое ожидание и дисперсию числа наступления события А в 6 испытаниях.

6.12. Испытание состоит в том, что бросают три монеты. Событие А в одном испытании состоит в выпадении двух орлов и одной решки. Найти математическое ожидание и дисперсию числа наступления события А в 6 испытаниях.

6.13. Из урны, в которой 4 белых шара и 5 черных, наугад вынимают 3 шара. Найти распределение, математическое ожидание случайной величины, равной числу вынутых белых шаров.

6.14. При стендовой стрельбе по тарелочкам стрелок производит 8 выстрелов. Вероятность попадания в одном выстреле у него 0,6. Построить закон распределения случайной величины, равной числу разбитых тарелочек.

6.15. При игре в кости бросают два кубика. Результат - сумма очков на двух кубиках. При выбрасывании дубля (одинаковые значения на двух кубиках) число очков удваивается. Построить закон распределения такой случайной величины и посчитать ее математическое ожидание.

6.16. Есть две лотереи: в первой - билет стоит 100 руб., вероятность выигрыша 0,1, а выигрыш равен 1500 руб.; во второй - билет стоит 200 руб., вероятность выигрыша 0,2, а выигрыш равен 500 руб. Вы купили по одному билету каждой лотереи. Построить закон распределения и найти математическое ожидание случайной величины, равной Вашему доходу, т.е. выигрыш минус стоимость билетов.

6.17. Из урны с пятью шарами с номерами от 1 до 5 вынимают 3 шара. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной сумме номеров вынутых шаров.

6.18. В мешке по две монеты достоинством 1, 2 и 5 рублей. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной суммарному достоинству наугад вынутых двух монет.

6.19. На маршруте от склада к магазину грузовик встречает 3 светофора, на каждом из которых задерживается с вероятностью 0,6. Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу остановок грузовика на светофорах.

6.20. Из урны, в которой 3 белых шара и 5 черных, наугад вынимают 4 шара. Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу оставшихся в урне черных шаров.

6.21. По мишени производится 4 выстрела с вероятностью попадания в каждом из них (независимо от других) 0,6. Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу попаданий в мишень.

6.22. На пути от склада к магазину 4 поста ГИБДД, на каждом из них грузовик задерживают с вероятностью 0,3. Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу пройденных до первой остановки постов.

6.23. Из девяти часов пять нуждаются в ремонте. Часы просматриваем по очереди до тех пор, пока не найдем сломанные. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины - числа просмотренных часов.

6.24. При игре в Black Jack карты приносят следующее число очков: от двойки до десятки - значение карты, картинки - по 10 очков, а тузы - 11 очков. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков одной вынутой из колоды карты.

6.25. Охотник, имея пять зарядов, стреляет в цель до первого попадания. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины - числа израсходованных зарядов, если вероятность поражения мишени в каждом выстреле равна 0,7.

6.26. В урне 12 белых шаров, пронумерованных от 1 до 12; 6 черных шаров, имеющих четные номера от 2 до 12; и, наконец, 4 красных шара, номера которых делятся на 3 (от 3 до 12). Вынимается один шар. Найти математическое ожидание и дисперсию номера этого шара.

6.27. Три независимые фирмы получают кредит в банке. Вероятность получить кредит для первой фирмы равна 0,9, для второй - 0,8, для третьей фирмы - 0,6. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины - числа фирм, получивших кредит.

6.28. В мешке 5 монет по 2 рубля, 3 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Наугад извлекаются две монеты. Найти закон распределения суммарного достоинства вынутых монет.

6.29. Тест состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено три ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти М(Х), D(X), F(X).

6.30. Вероятность успеха в одном испытании равна 0,4. Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию числа испытаний до первого успеха, если проводится не более четырех испытаний.

6.31. Вероятность успеха в одном испытании равна 2/3. Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию числа испытаний до первой неудачи, если проводится не более трех испытаний.

6.32.Распределение случайной величины задано таблицей:

X	-2	-1	2	4	6
р	0,1	0,25	0,5	?	0,1

Найти р₄ математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

6.33. Распределение случайной величины задано таблицей:

X	-2	-1	2	3	4
р	0,2	0,4	0,15	?	0,15

Найти р₄, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

6.34. Известно, что X и Y – независимые случайные величины, причем М(Х)=2; D(X)=3; M(Y)=-1; D(Y)=5. Найти M(Z), D(Z), если Z=2X-3Y+1.

6.35. Дано распределение случайной величины Х:

X	-1	0	х3	4
р	0,2	р2	0,3	0,4

Найти х₃ и р₂, если известно, что М(Х)=2.

6.36. Дано распределение случайной величины Х:

X	-3	х2	1	х4	5
р	0,2	0,3	0,1	0,1	0,3

Найти х₂ и х₄, если известно, что М(Х)=1 и 3х₂+х₄=0.

6.37. Дано распределение случайной величины Х

X	-2	0	3
р	0,3	0,5	0,2

Найти: 1) M(X); D(X); σ(X); 2) построить F(X); 3) p().

6.38. Дано распределение случайной величины Х

X	-1	1	2	5
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти: 1) M(X); D(X); σ(X); 2) построить F(X); 3) p().

6.39. Даны распределения двух независимых случайных величин X и Y:

X	-1	2	3
р	0,3	0,5	0,2

Y	1	3
р	0,4	0,6

Найти: 1) закон распределения случайной величины Z=X-2Y; 2) M(Z); D(Z).

6.40. Даны распределения двух независимых случайных величин X и Y:

X	0	2
р	0,3	0,7

Y	-4	1	2
р	0,2	0,3	0,5

Найти: 1) закон распределения случайной величины Z=XY+1; 2) M(Z); D(Z).