Контрольные вопросы:

1. Натуральное число как результат измерения величины (на примере изме­рения длины отрезка).

2. Арифметические операции над натуральными числами, рассматривае­мыми как меры отрезков.

3. Связь с начальным курсом математики.

Литература: (2) гл. II, 13 пп 58,59; (3) гл. III, § 16, пп 76-79; (4) гл. III, 16, 17; (6) гл. VIII, с. 249-250, 263-265.

Раздел VI. Рациональные числа

Лекция № 31. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Контрольные вопросы:

1. Задачи, приводящие к понятию обыкновенной дроби.

1. Равносильные (равные) дроби. Сравнение обыкновенных дробей. Ос­нов­ное свойство дроби.

2. Операции над обыкновенными дробями.

3. Отношение равносильности (равенства) обыкновенных дробей на мно­же­стве обыкновенных дробей и его свойства.

4. Положительные рациональные числа. Представление их обыкновен­ными дробями.

6. Множество неотрицательных рациональных чисел.

Литература: (2) гл. III, § 16, пп. 70-73; (3) гл. III, § 19, пп 94-96; (6) гл. XI, с. 333-347, гл. IX, с. 282-290.

Множество рациональных чисел Положительные рациональные числа

Большинство приложений математики сводятся к 2-м задачам: подсчету числа элементов конечного множества и измерению величин. При перечислении числа элементов конечного множества ответ всегда выражается натуральным числом. Задача же измерения величин далеко не всегда может быть выполнена на множестве N. Дело в том, что процесс измерения любой величины состоит в сравнении (сопоставлении) этой величины с некоторой единицей измерения этой величины e . Если единица измерения величины e содержится в ней целое число раз, то результат измерения выражается натуральным числом. В противном случае результат измерения нельзя выразить никаким натуральным числом. Поэтому для выражения меры величины приходится расширить запас чисел, введя числа отличные от натуральных. Кроме того, необходимость расширения понятия числа вытекает из того, что на множестве Z не всегда разрешимо уравнение вида bx = a, где a, b Z и b ≠ 0.

Расширить некоторое множество X до некоторого множества Y в математике означает выполнимость следующих условий:

1) XY;

2) операции в множестве Y должны быть введены так, чтобы при переходе ко множеству X они имели тот же смысл.

Поскольку появление новых чисел (дробей) исторически связано с измерением величин, то рассмотрим необходимость их введения на примере измерения длин отрезков.

Пусть дан произвольный отрезок a и единичный отрезок e .

a

e

e₁

Если отрезок e укладывается целое число раз в отрезке a (например k раз), то пишут, что a = k e. В этом случае натуральное число k – это мера отрезка a при единице измерения e: m_e (a) = k. Чаще же единица длины e в измеряемом отрезке a не укладывается целое число раз. Поэтому для выражения результата измерения приходится расширять запас чисел, вводя числа отличные от целых. Для этого единицу измерения e делят (дробят) на n равных частей с расчетом, чтобы 1/n-я такая часть содержалась в отрезке a целое число раз (например, m), тогда натуральное число m будет показывать, сколько раз в отрезке a содержится не сама единица измерения e, а ее n-я часть, служащая общей мерой и отрезка a и отрезка e, т.е. является новой единицей измерения e₁.. Тогда для выражения результата измерения отрезка a единицей измерения e вводят новое число, обозначаемое символом и называемое дробным или дробью. Условились в этом случае писать m (a)= .

Одну из равных частей единицы называют долей единицы. Так, если единицу разделить на 5 равных частей, то часть этой единицы называется пятой долей.

Одна доля или собрание нескольких долей называется дробным числом.

Определение: Обыкновенная дробь – это упорядоченная пара целых чисел (m,n), где n≠0, которая записывается в виде символа , где m – числитель дроби, n – знаменатель дроби.

Если m < n, то – правильная дробь,

m≤ n, то- неправильная дробь.

Сумма, произведение, разность, и частное двух дробей и вычисляют по правилам:

+ = - = * =

: = (n≠0, p≠0, q0)

Определение: Две дроби и (n ≠ 0, q ≠ 0), называются равными, если m=p и n=q.

Определение: Две дроби и называются эквивалентными (равносильными) ( ~), если mq = np .

Запишем эти определения кратко: = (m = p) (n = q).

~ mq = np .

Например: ~ , так как 3*8 = 4*6, ~ , так как (-2)*14 = 7*(-4).

Теорема: Отношение равносильности на множестве дробей обладает следующими свойствами:

1) рефлексивности: любая дробь равносильна сама себе;

2) симметричности: если ~, то ~.

3) транзитивности: если ( ~) ( ~), то ( ~).

Доказательство:

1. Рефлективность.

Пусть дана дробь . Докажем, что любая дробь равносильна сама себе: ~ .

Так как mn = nm в силу коммутативности операции умножения, то ~ .

2. Симметричность. Дано: ~. Доказать: ~.

Так как ~ , то mq = np qm = pn или pn = qm ~.

3. Транзитивность: Дано: ( ~) ( ~). Доказать: ~.

Так как ~ mq = np . Умножим обе части равенства на t: mqt = npt.

Так как ~ pt = qs . Умножим обе части равенства на n: npt = nqs.

Тогда по свойству транзитивности отношения равно будем иметь: mqt = npt =nqs mqt = nqs по свойству сократимости операции умножения mt = ns ~. ч т.д.

Следствие: Отношение равенства на множестве дробей является отношением эквивалентности.

Определение: Будем говорить, что дробь < mq < np. В этом случае говорят, что дроби вступили в отношения «<». Аналогично «≤» «>» «≥».

Теорема: (основное свойство дроби): Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим дробь равносильную данной. (доказать самостоятельно, аналогично предыдущей теореме).

Пользуясь основным свойством дроби любую дробь с отрицательным знаменателем можно заменить эквивалентной ей дробью, с положительным знаменателем. Для этого и числитель, и знаменатель дроби нужно умножить на (-1): ~ .

Процесс деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число k ≠ 0, называется сокращением дроби на число k. Если при этом k ≠ 1, то дробь называется сократимой.

Иными словами: Сокращение дроби – это замена данной дроби другой, эквивалентной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Определение: Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на 1.

Например, ; ; - несократимые дроби.

Теорема: Если две дроби и с положительными знаменателями эквивалентны и не равны, то, по крайней мере, одна из них сократима.

Дано: ~, ≠ ; b>0, d>0 Доказать: или сократима.

Доказательство:

1. Если a=0 и c=0, то справедливость утверждения очевидна: дробь сократима, по меньшей мере, на b.

2. Пусть a ≠ 0 и c ≠ 0.Доказательство проведем от противного.

Пусть и- несократимые дроби; то есть HOД (a,b)=1, HOД (c,d) =1.

Так как ~, то ad = bc. Тогда ad b, но, так как HOД (a,b)=1, то d b.

Из того же равенства ad = bc следует, что bcd, но так как HOД(c,d) =1, то bd. Если (db) ^ (bd), то d = b и (d > 0, b > 0).

Заменим в равенстве ad = bc b на d и получим ad = dc. Тогда a = c (в силу сократимости операции умножения). Если (a = c) и(b = d), то = , то есть дроби будут равны. Получили противоречие с условием теоремы наши предположение, что ни одна из дробей несократима, неверно.

Следствие 1: Если две дроби (с положительными знаменателями) эквивалентны и несократимы, то они равны.

Следствие 2: Среди бесконечного множества попарно эквивалентных между собой дробей существует только одна несократимая дробь.

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей эквивалентными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:

1) найти HOK знаменателей дробей;

2) вычислить дополнительные множители, разделив НОК на знаменатель каждой дроби;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Например, пусть даны дроби: и. Приведем их к общему знаменателю.

НОК (7,4) = 28. Тогда, найдя их дополнительные множители (4 и 7 соответственно), получим: и.

Теорема: Любая дробь единственным образом представима в виде: = S +, где S Z и – правильная несократимая дробь, то есть 0≤p<q, НОД(p, q)= 1.

Отношение эквивалентности на множестве дробей разбивает это множество на попарно непересекающиеся классы.

Определение: Класс эквивалентных дробей, которым принадлежит дробь , будем обозначать символом K() и называть рациональным числом.

Множество всех рациональных чисел будем обозначать Q. При этом любая дробь, принадлежащая указанному классу, называется представителем рационального числа.

Например, дроби ; ;; являются представителями рационального числа K(), то есть K()={… ;; ;;;;; …}.

Каждый такой класс – множество бесконечное и он может быть представлен любым своим представителем. Поэтому любое рациональное число может быть названо именем любой своей дроби (то есть имен у рационального числа бесконечное множество, а класс один).

Покажем, что любое целое число есть число рациональное. Действительно,

K() = {... ;;;;; …}.

Например, K(5) ={… ;;;;; ... ;; ...}.

В силу произвольностивыбора можно утверждать, чтоZ Q.

Покажем, что 0 также может быть представлен классом эквивалентных дробей:

K(0) = {…;…;;;…; ;…}.

Определение: Дробь (b>0) называется положительной, если a>0, и отрицательной, если a<0.

Определение: Класс эквивалентных положительных дробей будем называть положительным рациональным числом.

Множество положительных рациональных чисел будем обозначать, множествоотрицательных рациональных чисел –. ТогдаQ = Q‾ {0}Q+.

Множество {0}= – есть множество неотрицательных рациональных чисел.

Лекция № 32. ОПЕРАЦИИ НАД НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Контрольные вопросы:

1. Сравнение положительных рациональных чисел.

2. Сложение, законы сложения.

3. Умножение, законы умножения.

4. Вычитание и деление положительных рациональных чисел. Условия суще­ствования разности и частного.

5.Свойства множества неотрицательных рациональных чисел (бесконеч­ность, плотность, счетность, упорядоченность).

Литература: (2) гл. III, § 16, пп. 70-73; (3) гл. III, § 19, пп 94-96; (6) гл. XI, с. 333-347, гл. IX, с. 282-290.