Свойства операций на множестве рациональных чисел

Теорема: Для любых рациональных чисел a,b,c Q справедливы следующие законы и свойства арифметических операций:

1) a+b=b+a коммутативность сложения;

ab=ba коммутативность умножения;

2) (a + b)+c = a+ (b + c) ассоциативность сложения;

(ab)c=a(bc) ассоциативность умножения;

3) (a + b)c=ac + bс дистрибутивность умножения относительно сложения;

c(a + b)=ca + cb

4) a + c = b +c a = b сократимость сложения;

ac = bc a = b (при c ≠ 0) сократимость умножения;

5) a < ba + c < b + c монотонность сложения;

a < bac < bc (при c > 0) монотонность умножения;

6) a + 0 = a; ;

7) .

Доказательство основано на аналогичных законах и свойствах для целых чисел, а также на определениях рационального числа и операций сложения и умножения для рациональных чисел.

Докажем дистрибутивность умножения относительно сложения: (a + b)c=ac + bc.

Пусть a = K(), b = K(), c = K().

a + b=K()+K() = K()

ac + bc = K()K()+ K()K() = K() + K() = K() =

K().

(a + b)c = K()K() = K().

Очевидно, что (a + b)c = ac + bc ч.т.д.

Свойства множества положительных рациональных чисел

Прежде всего, отметим, что множество Z является подмножеством множества рациональных чисел Q, т.е. ZQ.Действительно, множество рациональных чисел вида K() составляет множество целых чисел Z. Кроме того, во множестве Q относительно чисел вида K() справедливы все правила (свойства) арифметических действий, правила сравнения. Покажем это.

1. Два рациональных числа K() и K() равны когда a = b, т.к.

K() = K() (a = c)(b=d).

2. K() < K() a < b.

Таким образом, сравнение рациональных чисел вида K() сводится к сравнению целых чисел. Результаты арифметических операций над числами вида K() также не выводят нас из этого множества. Например,

1) K()+K()=K()=K()

2) K() *K()=K()

3) K() -K() =K()

Действительно, K() -K() =K()K() +K() =K()

K() = K() a = b + x x = a – b.

4) если a b, то a = nb, nZ, тогда K() : K() = K() = K() = K().

Таким образом, арифметические операции над рациональными числами сводятся к арифметическими операциям над целыми числами. Поэтому отождествим рациональное число K() с целым числом а и в дальнейшем будем рациональное число K() обозначать просто а и называть целым.

Если разделить целое число а = K() на целое число b = K() ≠ 0, то получим

a : b = K() : K() = K(). Следовательно, рациональное число K() есть частное чисел a и b ≠ 0. Тогда дробь можно рассматривать как частное a : b и наоборот. Поэтому в дальнейшем рациональное число K() будем обозначать дробью и понимать как частное двух целых чисел а и b ≠ 0 . Тогда приведенные ранее правила арифметических действий в новых обозначениях будет выглядеть следующим образом:

+ = ; ­ = ; * = ;

: = .

Определение: Говорят, что рациональное число меньше рационального числа , если существует положительное рациональное число такое, что выполняется равенство

+ = ,т.е. (< ) ( ) [ + = ].

Следствие 1: (< ) (ad < bc)

Следствие 2: Из двух дробей с равными положительными знаменателями меньше та, у которой числитель меньше: (n N), (< ) (a<b).

Теорема: Для любых (; Q) имеет место точно одно из трех соотношений:

(< ) (= ) (< ).

Доказательство:

Рассмотрим разность чисел - . По определению разности рациональных чисел: -=,такое, что =+.

Разность может быть больше 0, равно 0 или меньше 0.

1) > 0, тогда < (по определению < на множестве Q).

2) = 0, тогда = .

3) < 0, тогда рациональное число> 0 > 0.

Рациональное число является результатом разности -. Пользуясь определением разности запишем: = +. Откуда следует, что < , что и требовалось доказать.

Таким образом, отношение «меньше» на множестве Q ассиметрично и связно.

Теорема: Бинарное отношение «меньше» на множестве Q обладает свойством транзитивности:

(; ; Q) [(< ) ( < ) (< )].

Доказательство

1) из < () [+ = ] (1)

2) из < () [+ = ] (2)

Из (1) и (2) получим (+) + = + (+ ) = .

Т.к. и , то(+ ) < , что и требовалось доказать.

Т.к. отношение «меньше» на множестве Q ассиметрично, транзитивно и связно, то оно является отношением строгого линейного порядка, а множество Q – линейно упорядоченное множество.

Теорема: Между любыми двумя рациональными числами заключено бесконечно много чисел множества Q: (a ,b Q)( c Q) [a < c < b].

Доказательство

Рассмотрим 2 произвольно выбранных рациональных числа. Не нарушая общности рассуждений, представим их рациональными числами с одинаковыми знаменателями и. Пусть<. Тогда будем иметь:a < b . Рассмотрим рациональное число .

Т.к. a < b, то 2n < a + b < 2b |:2n (n>0)

< < < < .

Итак, мы показали, что между 2-мя произвольно выбранными рациональными числами заключено хотя бы одно число того же множества Q.

Аналогично можно показать, что между числами итакже существует хотя бы одно рациональное число. Продолжая этот процесс, мы убедимся, что между числамиисуществует бесконечно много рациональных чисел из множества Q.

Эта теорема выражает свойство плотности Q.

Теорема: Множество положительных рациональных чисел Q бесконечно.

Множество называется бесконечным, если оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству. Кроме того, всякое бесконечное множество имеет счетное подмножество.

Мы уже отметили, что каждое целое число есть число рациональное. А значит ZQ. Тогда по свойству транзитивности отношения включения: . А ранее было доказано, что- множество счетное и бесконечное. Следовательно,Q - множество бесконечное и в нем нет наибольшего и наименьшего числа.

Теорема: Множество Q - счетное.

Доказательство

Рассмотрим множество несократимых дробей и для каждой несократимой дроби рассмотрим число, равное сумме ее числителя и знаменателя.

∑ = 2. Этому числу будет соответствовать несократимая дробь: .

∑ = 3. Этому числу будут соответствовать несократимые дроби: и.

∑ = 4. Этому числу будут соответствовать несократимые дроби: и.

Заметим, что дробь не берем, так как она сократима.

∑ = 5. Этому числу будут соответствовать несократимые дроби: ,,,.

и т.д.

Выпишем полученные числа и поставим в соответствие им числа натурального ряда:

...

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

В верхнем ряду не может быть пропущено ни одно рациональное число, т.к. каждая дробь имеет определенную сумму числителя и знаменателя, значит рано или поздно оно появится. Тем самым будет задано взаимнооднозначное соотношение между множествами рациональных и натуральных чисел: ~ N, т.е. - счетное множество.

А множество ~ . Тогда и все множество будетсчетным.

Замечание: Множество обладает теми же свойствами, что и множествоQ:

1) бесконечное; 2) линейно-упорядоченное; 3) счетное; 4) плотное; 5) не имеет наибольшего и наименьшего элемента.

Лекция № 33. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, КАК БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ.

Контрольные вопросы:

1. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.

2. Понятие процента. Основные задачи.

3. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. Бесконечные перио­дические десятичные дроби.

4. Представление периодических десятичных дробей обыкновенными дро­бями.

5. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.

6. Связь с начальным курсом математики.

Литература: (2) гл. III, 16, п 74; (3) гл. III, § 19, п. 97; (6) гл. XI, с. 348, с. 352-356.

Лекция № 34. ПРИЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.