- •Контрольные вопросы:
- •Сумма целых неотрицательных чисел существование и единственность суммы
- •Основные законы сложения целых неотрицательных чисел
- •Произведение целых натуральных чисел
- •Контрольные вопросы:
- •Разность целых неотрицательных чисел
- •Частное целых неотрицательных чисел
- •Контрольные вопросы:
- •Раздел VI. Рациональные числа
- •Контрольные вопросы:
- •Множество рациональных чисел Положительные рациональные числа
- •Арифметические операции во множестве рациональных чисел
- •Свойства операций на множестве рациональных чисел
- •Свойства множества положительных рациональных чисел
- •Контрольные вопросы:
- •Раздел VII. Текстовые задачи
- •Контрольные вопросы:
- •Контрольные вопросы:
Арифметические операции во множестве рациональных чисел
Определим во множестве Q операции сложения, умножения, и их свойства.
1. Сравнение. Пусть даны два рациональных числа K() и K().
Определение: Два рациональных числа называются равными, если они представлены эквивалентными дробями.
Другими словами K() = K() ad = bc
Определение: Суммой двух рациональных чисел K() и K() называется рациональное число K().
Таким образом, K() + K() = K()
Теорема: Сумма двух рациональных чисел K() и K() не зависят от выбора их представителей.
Доказательство:
Пусть даны два рациональных числа K() и K(), их сумма определяется рациональным числом K() . Пусть K() и K(), их сумма по определению определяется K(). Покажем, что K() + K() = K() + K(), а для этого нужно показать, что ~.
Доказательство:
Так какK() ~ a'b = b'a Умножим обе части равенства на dd'.
Так как K() ~ c'd = d'c Умножим обе части равенства на bb'.
a'bdd' = b'add'
+
c'dbb' = d'cbb'
a'bdd' + c'dbb' = b'add' + d'cbb'
bd(a'd+ b'c') = b'd'(ad + bc)
Это равенство означает, что ~ , то есть
K().
Определение: Произведением двух рациональных чисел K()и K() называется рациональное число K().
Таким образом, K() * K() = K().
Теорема: Произведение двух рациональных чисел K() и K() не зависит от выбора их представителей.
Дано: K(); K() – рациональные числа, K() * K() = K().
ПустьK() и K(), тогда K() * K() = K().
Доказать: K() = K(), то есть ~.
Доказательство:
Так как K(), то ~ a'b = b'a
так как K(), то ~ c'd = d'c
Перемножим почленно эти равенства: a'bc'd=b'ad'c или (ac)(b'd')=(bd)(a'c'). Это равенство означает, что ~, то есть K().
Определение: Разностью двух рациональных чисел K() и K() называется рациональное число K(), которое удовлетворяет равенству:
K() + K() = K().
Теорема: Разность любых двух рациональных чисел существует и единственна.
Доказательство:
I. Существование.
а) Найдем вид числа K(). По определению разности оно удовлетворяет условию:
K() + K() = K().
По определению суммы K() + K() = K() K() = K( ).
Но два рациональных числа равны, если ~, то есть если
ady = b(cy + dx). Тогда, ady = bcy + bdx ady - bcy = bdx y(ad – bc) = bdx
~ K() = K( ).
б) Покажем, что найденное рациональное число является разностью чисел K() и K(). Проверим выполнимость равенства: K() + K() = K().
K() + K() = K() = K() = K() = K(), так как~ .
Итак, существование разности доказано. Докажем ее единственность.
II. Единственность разности.
Предположим, что существует две разности рациональных чисел K() и K(), то есть K() – K() = K() и (1) K() – K() = K() (2)
Покажем, что K() = K(). Из (1) следует, что K() = K() + K(); из (2) следует, что K() = K() + K(). Тогда K() + K() = K() + K().
По определению суммы имеем: K() = K(), что возможно, если ~.Тогда по определению равносильных дробей имеем:
Определение: Частным от деления рационального числа K() на рациональное число K() ≠ 0, называется рациональное число K(), удовлетворяющее уравнению:
K() * K() = K()
В дальнейшем будем использовать обозначение:
K() : K() = K()
Теорема: Частное от деления любого рационального числа K() на рациональное число K()≠ 0 существует и единственно.
Доказательство:
I. Существование.
а) Определим вид частного двух рациональных чисел.
По определению K() : K() = K() K() * K() = K().
K() * K() = K() K() = K() ~ cxb = dya или xbc =yad, это означает, что ~ , то есть K() = K().Таким образом, вид частного определили.
б) покажем, что это число является частным от деления рационального числа K() на K(). Тогда должно выполняться равенство: K() * K() = K().
K() * K() = K() = K(), так как ~ .
Итак, существование доказано.
II. Единственность.
Пусть существуют два частных K() и K() от деления рационального числа K() на K() ≠ 0. Тогда выполняются равенства:
K() * K() = K() (1) K() = K()
K() * K() = K() (2) K() = K()
K() = K() ~ ~ K() = K().
Следствие: Частное рациональных чисел находится по формуле:
K() : K() = K().
Замечание: Операции сложения, умножения и деления на множестве (положительных рациональных чисел) определяется так же, как и наQ. Операция вычитания на существует не всегда.
Теорема: Для того, чтобы разность положительных рациональных чисел a и b существовала необходимо и достаточно, чтобы b < a.
(доказательство аналогично теореме на N)
Теорема: Сумма и произведение положительных рациональных чисел являются положительными рациональными числами.
Пусть рациональное число K() задается дробью ;
K() задается дробью .
1. Так как K() положительное, то a > 0 и b > 0 (1) ab > 0. Аналогично cd > 0 (2). Умножим (1) на d² >0, а (2) на b² >0
abd² >0 и cdb² >0 сложим их: abd² + cdb² >0 (ad+cb)bd >0 . Тогда
>0 , но =++>0, ч.т.д.
2. Если ab>0 и cd>0 , то (ab)(cd)>0 (ac)(bd)>0 *>0, ч.т.д.