- •§ 21. Непрерывность функции
- •1. Основные определения.
- •4. Непрерывность сложной функции
- •5. Применение непрерывности функций при вычислении пределов
- •§22. Точки разрыва и их классификация
- •§23. Свойства непрерывных функций
- •1. Свойства функций, непрерывных в точке
- •2. Свойства функций, непрерывных на промежутке
- •§24. Непрерывность обратной функции
- •§25. Непрерывность элементарных функций
- •1. Определение элементарной функции.
- •2. Степенная функция.
- •3. Показательно- степенная функция
- •4. Гиперболические функции
- •5.Обратные тригонометрические функции
- •§26. Равномерная непрерывность функций
3. Показательно- степенная функция
Показательно-степенной функцией называется функция вида , она определена.
По свойству логарифма можно записать: , тогда
. (1)
Рассмотрим композицию функций: . Еслиинепрерывны, то в силу непрерывности логарифма и показательной функции (1) непрерывна.
1) Пусть ,,А и В - числа.
Выясним, чему равен .
.
В силу непрерывности показательной функции
. (2)
В (2) может быть числом,, либо можно рассматривать односторонние пределы.
Из (2) следует .
2) Но является неопределенностьюв следующих случаях:
а) B=0, lnA=+ A=+, тогда ;
б) B=0, lnA=- A=0, тогда ;
в) B=, lnA=0 A=1, тогда .
Пример. а) ;
б) .
4. Гиперболические функции
Частным случаем показательной функции является. Черезex определяются гиперболические функции:
- гиперболический синус;
- гиперболический косинус;
- гиперболический тангенс;
- гиперболический котангенс.
Все гиперболические функции являются элементарными, так как являются результатом арифметических операций над показательными функциями ex и e-x. Следовательно, они являются непрерывными в своих областях определения. Название "гиперболические" они получили потому, что удовлетворяют уравнению гиперболы, подобно тому, как тригонометрические функцииX=cosx, Y=sinx называют "круговыми" , т.к. удовлетворяют уравнению окружности . Названия гиперболический синус, косинус, тангенс, котангенс происходит от того, что между ними имеют место соотношения, напоминающие или совпадающие ссоответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями.
; ;
; .
shx, chx, thx определены на ,cthx определена на .
5.Обратные тригонометрические функции
1. Рассмотримна-возрастает и непрерывна наD(f), E(f)=[-1;1]. Значит, эта она имеет обратную функцию, определенную, возрастающую и непрерывную на [-1;1]. Эта функция обозначается , D(arcsinx)=[-1;1], .
Arcsinx - это такой угол из , синус которого равенx.
2. Рассмотрим f(x)=cosx на D=[0;] - непрерывна и убывает, E(f)=[-1;1]. Следовательно, существует обратная функция, определенная, непрерывная и убывающая на [-1;1]. Она обозначается y=arccosx, D(arccosx)=[-1;1], E(arccosx)=[0;]. Arccosx - это такой угол из [0;], косинус которого равен х.
3.Рассмотримf(x)=tgx на - непрерывна и возрастает,. Следовательно, существует обратная функция, определенная, непрерывная и возрастающая на. Обозначается y=arctgx, D(arctgx)= . Arctgx - это такой угол из , тангенс которого равен х.
4. Рассмотрим f(x)=сtgx на - непрерывна и убывает,. Значит, существует обратная функция, определенная, непрерывная и убывающая на . Обозначается y=arсctgx, D(arсctgx)=, . Arctgx - это такой угол из , котангенс которого равен х.
Имеют место тождества:
, .
§26. Равномерная непрерывность функций
Понятие непрерывности функции относится к отдельно взятой точке, т.е. является свойством функции в точке. Непрерывность функции f на <a;b> определяется как ее непрерывность в каждой точке этого промежутка.
f(x) непрерывна в т. x0 .
Можно доказать, что (на примере)
Проблема: возможна ли ситуация, чтобы не зависело от x0, где x0 меняется на <a;b>, т.е. чтобы
Определение 1. f(x) называется равномерно непрерывной на промежутке <a;b>, если .
Определение 2. f(x) не является равномерно непрерывной на <a;b> если
Теорема 1. Если f(x) равномерно непрерывна на <a;b>, то она непрерывна на < a;b>.
Доказательство.
Возьмем .По условию для выбранного .
Пусть x2=x0, x1=x. Тогда выполнено. Значит (по определению) функция непрерывна в точкеx0, а так как она произвольно взята из промежутка <a;b>, то функция непрерывна на всем промежутке.
Замечание. Обратное утверждение не верно.
Пример. непрерывна на (0;1). Докажем, что она не является равномерно непрерывной на (0;1).
Пусть . Выберем. Найдем , а . Возьмемх2(0;1), а . Тогда,
.
По определению 2 функция не является равномерно непрерывной на (0;1).
Теорема 2. (Кантора) Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно непрерывна на [a;b].
Доказательство.
(От противного) Пусть f(x) не является равномерно непрерывной на [a;b], тогда по определению 2
.
Возьмем последовательность положительных чисел :.
Для найдутся такие точки[a;b], такие, что , но.
Для [a;b]: , но .
Для [a;b]: , но .
. . . . . . . . . . . . . . . .
Для [a;b]: , но .
. . . . . . . . . . . . . . .
Этот процесс продолжаем бесконечно. В результате из [a;b] выделится 2 ограниченные последовательности
:
:
Из последовательности по т. Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть .Покажем, что и сходится к точке x0.
.
Так как , то .
Выберем .
Тогда, т.к. , то из (1) и (2) для выбранного .
По условию f(x) непрерывна на отрезке [a;b], следовательно, она непрерывна в точке x0[a;b]. Тогда по определению предела функции по Гейне для последовательностей исоответствующие и последовательности значений функцииидолжны сходиться кf(x0), тогда при, но это противоречит тому что (а, следовательно, и ).