- •III. Приложения определённого интеграла
- •§1. Площадь плоской фигуры
- •3. Условия квадрируемости фигур
- •4. Кривые с нулевой площадью
- •5. Свойства площади
- •6. Вычисление площади плоской фигуры
- •I. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
- •II. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •III. Площадь в полярных координатах
- •§2. Кубируемые тела и их объёмы
- •1. Понятие кубируемого тела и его объема
- •2. Объём прямого цилиндрического тела
- •3. Вычисление объёма тела вращения
- •§3. Вычисление длины гладкой кривой
- •1. Понятие спрямляемой кривой и её длины
- •2. Вычисление длины гладкой кривой
- •§4. Площадь поверхности
3. Условия квадрируемости фигур
Теорема 1. Чтобы плоская фигура F была квадрируема необходимо и достаточно, чтобынашлись плоские многоугольные фигурыP, Q: , для которых выполнено. (2)
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть F – квадрируема . (3)
На основании свойств верхней и нижней грани :
(4)
(5)
Из (4) и (5), учитывая (3), получим
.
В силу (3) отсюда следует (2).
2) Достаточность.
Пусть , для которых.
Из (1) и (2) следует . Так как- произвольное положительное число, то. Следовательно, по определению 12,F- квадрируема.
Теорема 2.(обобщение теоремы 1) Для того, чтобы плоская фигура F была квадрируема необходимо и достаточно, чтобы нашлись две квадрируемые фигуры, такие, что.
Определение 13. Множество точек плоскости К имеет площадь нуль, если это множество можно заключить в многоугольную фигуру со сколь угодно малой площадью.
многоугольная фигура F: , такая, что .
Теорема 3. Для квадрируемости фигуры F необходимо и достаточно, чтобы её граница имела площадь 0.
Доказательство.
1) Необходимость.
ПустьF – квадрируема. Докажем, что . Зафиксируем. Т. к.F квадрируема, то , для которых(по теореме 1). Многоугольная фигура Q\P содержит границу фигурыF. Так как , то. Тогда по определению 13.
2) Достаточность.
Пусть
.
Тогда по определениюнайдется многоугольная фигураС:
,
для которой.
Не умаляя общности доказательства,
можно считать, что многоугольная фигураС
не содержит в себе целиком F.
Тогда из точек фигуры F,
не попавших в С,
составится многоугольная фигура Р,
содержащаяся в F.
Если к Р
присоединить С,
то получится многоугольная фигура
,
которая содержитF.
Так как
,
то по теореме 1 фигураF
квадрируема.
P P
4. Кривые с нулевой площадью
Теорема 4. Кривая Г, заданная уравнением ,или уравнением вида, где, имеет площадь 0.
Доказательство.
Проведём для кривой Г: . Фиксируем. Так как, то она равномерно непрерывна на. Следовательно, для числа(6)
выполнено . (7)
Разобьёмна частичные отрезки. В силу непрерывностиf на , а, значит, и на каждом частичном отрезке, она имеет на нем наименьшее и наибольшее значения. То есть:,. Т.к., то. Значит, для точекивыполняется неравенство (6). Тогда согласно (7). Заключим кривую Г в ступенчатый многоугольник, состоящий изn прямоугольников . Найдём его площадь.
.
По определению 13 .
Теорема 5. Плоская фигура F квадрируема, если её граница состоит их конечного числа частей, каждая из которых представляет собой кривую, определяемую уравнением видаy=f(x), a≤x≤b или x=φ(y), c≤y≤d, где fC[a;b], φC[c;d].
Доказательство.
Каждая из частей границы имеет по теореме 4 площадь 0. Но частей конечное число. Следовательно, . Тогда по теореме 3 фигураF квадрируема.
5. Свойства площади
Теорема 6 (аддитивность площади). Если фигура F разбита на две квадрируемые фигуры ибез общих внутренних точек, то фигураF квадрируема и . (8)
Доказательство.
Так как иквадрируемы, то,. Но . Следовательно, F квадрируема. Докажем равенство (8).
Зафиксируем . Так какиквадрируемы, то
1), (9)
2). (10)
Рассмотрим многоугольные фигуры и. Ясно, что. Т. к., то. Но.
Так как , то выполняется условие:
. (11)
Т.к. ,
,
то, сложив эти неравенства, получим
. (12)
Из (9),(10) следует что
.
Тогда из (11), (12) получаем, что числа инаходятся между одними и теми же, причем сколь угодно близкими, границамии. Следовательно,. Отсюда следует равенство (8).
Теорема 7 (монотонность). Если - квадрируемые фигуры, то.
Теорема 8 (инвариантность). Если , то.
Доказательство следует из инвариантности площади многоугольной фигуры и определения площади плоской фигуры через площадь многоугольной фигуры.
Лк (2ч)