- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1. Метрические пространства. Пространство
- •§2. Понятие функции нескольких переменных
- •§3. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2. Повторные пределы
- •3. Непрерывность функции n переменных
- •§4. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных
- •2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных
- •§6. Производная по направлению. Градиент
- •1. Производная по направлению
- •2. Градиент
- •§7. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Частные производные высших порядков
- •2. Дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§8. Неявные функции
- •1. Неявные функции одной переменной
- •2. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3. Неявные функции нескольких переменных
- •4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
- •§ 9. Экстремум функции нескольких переменных
- •1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
- •2. Экстремум неявно заданной функции
- •3. Нахождение наибольших и наименьших значений
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Лк (2ч)
§1. Метрические пространства. Пространство
Раньше изучались функции одной переменной f(x), которые были определены на . Рассмотрим некоторые свойства множеств, на которых задаются функции нескольких переменных.
Множество {x,y}, состоящее из двух элементов, называется парой. Пара, как и любое множество, определяется своими элементами. Упорядоченная пара (x,y) определяется еще и порядком следования элементов, т.е. . Аналогично определяется упорядоченная тройка, четверка и т.д. Упорядоченный набор изn элементов обозначается .
Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, содержащее все упорядоченные наборы, где, т.е.
.
Если , тоназываетсячисловой плоскостью. Каждой упорядоченной паре чисел (x,y) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка М(x,y), и наоборот, каждой точке на плоскости соответствует пара (x,y). Поэтому точка на плоскости отождествляется с упорядоченной парой.
Прямое произведение называетсячисловым трехмерным пространством.
- n-мерное пространство .
Упорядоченный набор называется точкой пространства , число -i-й координатой этой точки.
Обозначается ,М.
В пространстве определяется сложение элементов, умножение элемента на действительное число. Пусть,:
1) ;
2) .
Пусть Е – непустое множество.
Определение. Метрикой (расстоянием) на множестве Е называется неотрицательная функция =(х,у)0, определенная х,уЕ и удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам метрики):
(х,у)=0 х=у (аксиома тождества);
(х,у)=(у,х) (аксиома симметрии);
(х,z)(х,у)+(у,z) (аксиома треугольника).
Определение. Множество Е с введенной на нем метрикой называется метрическим пространством и обозначается (Е,).
Т. о., метрическим пространством называется пара, состоящая из множества Е и метрики на Е. Элементы метрического пространства Е называются его точками.
В пространстве метрика определяется следующим образом:
, (1)
где и.
- метрическое пространство, n-мерное евклидово пространство (можно задать другую метрику и получить- другое метрическое пространство).
В случае n=1, т.е. в ,; в случаеn=2, т.е. в ,.
Покажем, что расстояние в , определяемое формулой (1), удовлетворяет всем аксиомам метрики.
1).
2) (х,у)=(у,х), т.к. .
3) Пусть . Покажем, что
. (2)
Докажем вначале, что имеют место неравенства:
- неравенство Коши-Буняковского (3)
- Неравенство Минковского (4)
Доказательство (3).
Рассмотрим квадратный трехчлен относительно :
.
Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (3).
Доказательство (4).
(4) следует из (3). Рассмотрим
.
Извлекая корень из обеих частей, получим (4).
Полагая в неравенстве Минковского a=x-z, b=z-y, получим (2), т.е. аксиома 3 для (х,у) выполнена.
Пусть - фиксированная точка,.
Определение 1. n-мерным открытым шаром в пространстве называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству:.
Фиксированная точка a называется центром шара, число - радиусом шара.
При n=1, .
При n=2, - открытый круг с центром в точке а(а1,а2), радиусом .
При n=3, - обычный шар (без ограничивающей его сферы ) в трехмерном пространстве.
Определение 2. Замкнутый шар в - .
Определение 3. Окрестностью точки называется любой открытый шар, содержащий эту точку.
Обозначается .
- проколотая окрестность точки а.
Пусть задано множество .
Определение 4. Точка a называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки а, целиком лежащая во множестве Е:
Совокупность всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е. Обозначается int E.
Например, .
Определение 5. Точка называетсявнешней точкой множества Е, если , не содержащая ни одной точки множества Е.
Определение 6. Точка называетсяграничной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а имеются как точки принадлежащие Е, так и точки не принадлежащие Е.
Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.
Определение 7. Точка называетсяпредельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от а.
Определение 8. Точка называетсяизолированной точкой множества Е, если она не является предельной точкой множества Е.
У изолированной точки а множества Е , не содержащая ни одной точки множестваЕ.
Пример. .
Внутренние точки (1;3),
внешние точки ,
граничные точки {1;3;7},
предельные точки [1;3],
изолированная точка {7}.
Теорема 1. Точка а - предельная точка множества Е тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много точек множества Е.
Определение 9. Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Определение 10. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Примеры. 1) (а;b), - открытые множества,
2) [a;b], - замкнутые множества,
- открытые множества.
Определение 11. Множество называетсядополнением множества Е.
Теорема 2. Если множество Е открыто, то СЕ – замкнуто, если множество Е замкнуто, то СЕ – открыто.
Определение 12. Множество Е называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий в себе множество Е: .
Теорема 3. Множество Е - ограничено.
Определение 13. Непрерывной кривой L в пространстве , соединяющей точки иназывается множество, где функциинепрерывны на [a;b], .
Определение 14. Множество Е называется связным (линейно связным), если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.
Определение 15. Множество называетсяобластью, если оно открыто и связно.